Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 10
Текст из файла (страница 10)
также таблицу в конце книги). Отношение д[п, является для этих газов почти универсальной функцией отношения Т,[Т. Следовательно, уравнение (1.86) можно записать в следующей удобной форме: Ф=1+А [,— "). (1.87) Функция ср(Т,'[Т) — одна и та же для всех рассматриваемых газов. Для числовых оценок удобно использовать следующие значения чя): 0,8 О,б 0,4 Т,!Т 0,2 0,1 — 0,057 — 0,18 — 0,005 0,015 0,009 Значения р, и Т, приводятся в таблицах в конце книги. ') Значения отношения Ь/е, взяты со стр. 140 книги Гуггенгейма [О и ее е и й е 1 ш Б. А., Тнегшодупаш!се, Ашесегдаш, 19501.
Поправочные члены др(йТ для различных газов оказыва различными, так как Ь|гг представляет собой, очевидно, ха теристическую функцию температуры для каждого конкрет газа. Однако для ограниченного числа рассматриваемых нами газов имеется возможность ввести безразмерные переменные и переписать уравнение (1.85) в универсальной форме. Пусть через Т„ р, и п, обозначаются соответственно критические температура, давление и удельный объем.
Заметим, что 5(Т) имеет размерность объема. Уравнение (1.85) может быть записано в безразмерных переменных: — = 1+ — — —— Ре Рвиа Р Тв д(Т) . (1.86) КТ ЙТс Рв ™с 1ЛВ. Реальные гагы в гагоаай динамике Уравнение состояния диссоциирующего двухатомного !мза было дано в п. 1.16 !уравнение (1.77)р — =!+а. ,рр йг (!.88) причем ср и с„связаны следующим соотношением: с„— с„= И. (1.90) Уравнения (1.89) и (1.90) следуют непосредственно из уравнения ро =йТ.
Характер изменения с в зависимости от Т нельзя выявить с помощью термодинамики; для этого нужно обращаться к экспериментам или к статистической механике. Классическая статистическая механика приводит к простому выражению с, через и1, т. е. „число степеней свободы" соответствующей молекулярной модели (см. гл. 14): (1.9!) Для случая гладкой сферы или материальной точки и = 3. Эта модель подходит для таких одноатомных газов, как Не, Аг и т.д., причем экспериментами подтверждается, что для этих газов, 4* — э~в Следовательно, здесь величина 2 простым образом связана со степенью диссобиабии а; последняя величина является в свою очередь функцией р и Т. Характеристическая температура диссоциации была выражена через теплоту реакции посредством равенства дв — — 1в1И (можно было бы поступить аналогичным образом для выражения связи между силами Ван-дер-Ваальса и теплотой парообразования 1„, однако в этом случае принято использовать критические параметры). Величина 1л связана с той силой, которая удерживает атомы внутри молекулы; величина 1„— с силами взаимодействия молекул.
Следовательно, 1л»1„', а отсюда получается, что диапазон температур, в котором йроявляется влияние диссоциации, отстоит обычно очень далеко от того диапазона, в котором играют существенную роль силы Ван-дер-Ваальса. Таким образом, при решении какой-либо определенной задачи газовой динамики весьма редко приходится заботиться об одновременном учете этих обеих воздействий. Те же рассуждения применимы и к случаю ионизации, когда учитываются силы, удерживающие электрон в атоме, а также соответствующая энергия ионизации 1ь Калорическое уравнение состояния.
Калорическое уравнение состояния совершенного газа имеет вид 1! ~ ср йТ + Йь~ (1.89) рл. К Сведения ив термодинамики действительно, с = — К б 2 в очень широком диапазоне температур, почти от состояния конденсации до начала ионизации. Таким образом, одноатомные газы по своим свойствам очень близки к калорически совершенному газу. Простейшей моделью двухатомной молекулы является жесткая гантель, имеющая п~ — — 5.
Двухатомные газы (а также „линейные" трехатомные газы вроде СОе) при температуре, близкой к комнатной, также обладают теплоемкостями, соответствующими равенству (1.91) при п~ — — 5, т. е. Однако с повышением температуры Т величина с„становится больше, чем ')е И'), так как атомы в двухатомной молекуле связаны не жестко, а могут колебаться. По классическим представлениям, эти колебания должны были бы добавить 2 степени свободы, и нам следовало бы ожидать получения значения с„Я.
9 с 7 ОеЯТ й 2 1 вй (де/2Т) ) (1.92) где символ О„обозначает характеристическую температуру возбуждения энергии колебаний (значения б, для различных двухатомных газов приводятся в конце книги в табл. 1). Форму- ') При низких температурах значение ср может быть меньшим, чем '/, й, вследствие „замораживания" вращательных степеней свободы. Однако для Гчн О, и др. температура, характеризующая прекращение вращательного двйжения, близка к 2' К и, следовательно, не входит в интересующий нас здесь диайазон.
Эффекты вращательного движения имеют значение только для Не. Температуру, при которой удельная теплоемкость изменяется от '/з Й до е/е )с, так же, как и функциональную зависимость со(Т) в переходной области, нельзя определить с помощью классической статистической механики, но можно найти, пользуясь квантовой статистической механикой.
Удельная теплоемкость. двух- атомного газа в диапазоне температур между областью диссоциации и областью эффектов Ван-дер-Ваальса очень хорошо представ-- ляется с помощью формулы К1В. Реальные газы в газовой динамике 53 ла (1.92) показывает, что при Т.к О„с //е- '/„а при Т л Оо с Я - '/„ как и ожидалось.
Статистическое происхождение формулы (1.92) прослеживается в и. 14.7. Аналогичное поведение обнаруживают и трехатомные газы вроде Н,О; первоначально они имеют, однако, б степеней свободы, и, следовательно, постоянный член равен '/, = 4, причем здесь обычно играют существенную роль несколько видов вибрации. Наконец, любое отклонение термического уравнения состояния от соотношения для идеального газа влияет на калорическое уравнение состояния, поскольку оба они связаны соотношением (!.55): —'," =о-т( — ") . Используя уравнение состояния в форме (1.84), имеем аа вт еахь ар р 1ат/; (1.93) Кроме того, разность с,— с„~60, так как из формулы (1.22) следует, что ср — сь = (о — а ) ( ) и, следовательно, (х ар) с, — с„=!с (1.94) ах ар Данный краткий обзор указывает на пределы применимости приближенной модели совершенного газа.
Основные выводы. 1. При низких температурах и высоких давлениях газ становится термически и калорически несовершенным из-за наличия межмолекулярных сил. В этих условиях Е Ф 1 и й = й(р,Т). 2. При высоких температурах и низких давлениях Е=! и й = й (Т), но с = с„(Т), так как увеличение с за счет возбуждения колебательных стейеней свободы зависит от температуры. 3. При еще более высоких температурах с ~1 и й = й(р,Т) вследствие диссоциации и ионизации, т. е.
вследствие наличия процессов, изменяющих число частиц. 4. Газ оказывается совершенным как термически, так и калорически, если Т, «к Т «О„и р «к р,. 5. Одноатомные газы не испытывают воздействий, связанных с возбуждением колебательных степеней свободы и с диссоциацией. Глава 2 ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИИ 2.1. Введение Мы начнем изучение движения сжимаемых жидкостей с рассмотрения случая одномерного течения. К этому классу можно отнести течение в канале или в трубке типа изображенной на фиг.8. Трубка характеризуется заданным законом изменения площади ее поперечного сечения вдоль оси А = А(х); что касается параметров самого течения, то они в каждом из поперечных сечений оказываются постоянными, т.
е. р = р(х), о = о(х) и т. д. Аналогичным образом и скорость и, направленная по нормали к сечению, должна быть постоянной в каждом из этих Ф и г. 8. Одномерное течение в тРУбке. сечений: и и(х). Если тече- ние является нестационарным, или неустановившимся, то все эти величинычбудут также и функциями времени е.
Обусловленные таким образом ограничения не так уж велики, как это могло бы казаться. Если, например, имеются такие сечения, в которых параметры течения непостоянны, то полученные результаты' можно все же использовать на участке между теми сечениями, где они оказываются постоянными, т. е. зависят лишь от одной пространственной координаты. Зачастую можно использовать эти результаты даже и для таких сечений, где параметры непостоянны, предполагая при этом, что мы имеем дело с должным образом выбранными средними значениями. Кроме того, результаты расчета по одномерной теории могут быть применены к отдельным трубкам тока трехмерного течения общего вида'). В гл.
7 мы увидим, какие дополнительные соотношения должны выполняться для того, чтобы можно было воспользоваться подобным приемом. ') В гл. т координата, отсчитываемая вдоль линии тока, обозначается через в, здесь же оказывается более удобным обовначить ее через х.
д.д. Уравнение нераврывноети В случае несжимаемой жидкости вся информация, касающаяся одномерного течения, содержится практически в одном кинематическом соотношении: „и обратно пропорционально А"; давление же вычисляется независимым путем, с помощью уравнения Бернулли. С другой стороны, в случае течения сжимаемой жидкости изменение плотности приводит к наличию взаимозависимости между уравнениями неразрывности и количества движения, так что связь между скоростью и площадью сечения уже не будет такой простой. 2.2. Уравнение неразрывности Если течение в изображенной на фиг. 8 трубке является установившимся, то масса жидкости, проходящая через данное сечение, должна впоследствии пройти й через все другие сечения, находящиеся ниже по потоку.
Это всего лишь одна из формулйровок риА оий ~ — (рил) ам Фиг. 9. Схема течения в некотором участке трубки. Масса жидкости иа атом участке равна ЕА Ае. закона сохранения массы. Поток массы через любые два сечения с постоянными параметрами течения будет одним и тем же, т. е. о,и,А, = раиаАа. 1 (2.1) Такая форма уравнения неразрывности является весьма общей, поскольку она прг(годна даже и тогда, когда в промежуточных сечениях параметры течения непостоянны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
