Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 13
Текст из файла (страница 13)
х. Газовая динамика одномерных течений течении жидкости с чрезвычайно малыми вязкостью и теплопроводностью члены, нарушающие условия равновесия, не будут пренебрежимо малыми в областях с очень высокими градиентами. Такие области должны встречаться во всех реальных течениях. Их разновидностями являются пограничные слои, вихревые следы и вихревые нити, а также (в сверхзвуковом течении) ударные волны. Тот прогресс, который достигнут за последнее время в уяснении особенностей течения жидкости, существенным образом связан с успехами в исследовании как самих упомянутых узких областей неравновесного состояния, так и вопросов их включения в поле течения невязкой жидкости. 2.8. Скорость звука) число Маха Одним из основных параметров в теории течения сжимаемой жидкости является скорость звука а. Как будет показано в следующей главе, зто та скорость, с которой в сжимаемой жидкости распространяются малые возмущения (волны). Связь скорости звука со свойством сжимаемости данной жидкости выражается формулой а'= (+) .
~ (2.22) Возмущения, создаваемые в жидкости звуковой волной (если выразиться более точно, создаваемые звуковой волной градиенты температуры и скорости), настолько малы, что процесс, происходящий в каждой частице жидкости, является почти иззнтропическим'). Чтобы упростить расчет скорости движения волны, предполагают, что этот процесс строго иззнтропический (см. пп.
3.2 и 3.6). В соответствии с этим при подсчете производной в формуле (2.22) пользуются соотношением для иззнтропического процесса. В случае совершенного газа последнее соотношение имеет вид р = сопз1 пт, что приводит к результату а'= — = уйТ. УР е ~ (2.23) ') Эту особенность объясняют обычно тем, что происходящие в звуковой волне изменения являются очень бнсшрыми, так что частица жидкости йе может ни потерять тепло, ни воспринять его. Такие объяснения не только не относятся к делу, но и вводят в заблуждение. В действительности причина иээнтропичности такого процесса состоит в том, что происходящие с частицей изменения оказываются дасшашачно медленнмми для того, чтобы градиенты скорости и температуры оставались малыми. Тзк, например, если значительно увеличить частоту волны постоянной амплитуды, то эти градиенты становятся настолько большими, что рассматривать подобные процессы как иээнтропические уже невозможно. с.е.
Свявь между скоростью и плоидсдью сечения трубки тока 69 Скорость звука в движущейся жидкости является существенным критерием влияния сжимаемости только в том случае, если эту скорость сравнивают со скоростью самого течения. Тем самым вводится безразмерный параметр, называемый числом Маха, М = —. и а ~ (2.24) Это наиболее важный параметр в теории течения сжимаемой жидкости. Очевидно, что в заданном течении число М будет изменяться от точки к точке не только и связи с изменениями величины и, но и потому, что в соответствии с формулой (2.23) величина а также зависит от местных условий. Соотношение, связывающее местное значение а с местным значением и, будет получено ниже.
Теперь же следует лишь отметить, что при адиабатическом течении увеличение скорости и всегда соответствует увеличению числа М. Если скорость течения превышает местную скорость звука, то число Маха превышает единицу и течение называется сверхзвуковым. При числах Маха, меньших единицы, течение является дозвуковым. При течении несжимаемой жидкости аЕ = О, так что данное уравнение сводится к простой формулировке правила, е н г. ш. Критическое заключающегося в том, что увеличение сечение трубки тока.
скорости пропорционально уменьшению площади. Можно найти путь к модификации этого правила е учетом влияния сжимаемости, если для определения связи между изменениями скорости и плотности использовать уравнение Эйлера (2.18а), которое можно переписать в виде') вр Фр ве ее ийи = — — = — — — = — а'— ве е ') Аднэбэтнчсскос течение повязкой жидкости является нээнтропнчсскнн; слсдоввтьвьно. врМе (зр,~зе).
ср. п. 3.6. 2.9. Связь между скоростью и площадью сечения трубки тока Некоторые эффекты с1йнмаемпслм. очень просто продемонстрировать, если рассмотреть становившееся а набатич с ое течение в трубке тока с переменно площадью сеченйя(фиг. 15). Из уравне- Л)оитичвокоо ния неразрывности (2.2) получаем своение /// е и А и 70 Га.
2. Газовая динамика одномерных аичений Если ввести число Маха, то отсюда получается "о М. "'. в и' (2.26) Это уравнение хорошо иллюстрирует роль числа М как критерия влияния сжимаемости. При очень малых числах Маха изменения плотности столь малы в сравнении с изменениями скорости, что при расчете поля течения ими можно пренебречь; иначе говоря, можно считать, что о = сопв1. Определения „несжимаемой жидкости", эквйвалентные данному, выражаются также равенством а = или равенством М = О. Подстановка соотношения (2.26) в уравнение (2.25) дает связь между скоростью или площадью сечения трубки тока в форме Ви — ВА/А . ~ (2.27) й =1 — М*' это указывает на следующие эффекты изменения числа Маха.
!. При М = О уменьшение площади приводит к увеличению скорости в той лсе пропорции. 2. При значениях числа М в интервале между О и 1, т. е. при дозвуковых скоростях, рассматриваемая форма связи остается качественно такой же, как при течении несжимаемой жидкости, когда уменьшение площади приводит к увеличению скорости, однако скорость изменяется при этом сильнее, так как знаменатель в правой части меньше единицы. 3. При сверхзвуковых скоростях знаменатель в правой части становится отрицательным, и увеличение скоопштв раздается за сч .
Тем, кто привык мыслить понятиями, характерными для течения несжимаемой жидкости, такая особенность может показаться весьма примечательной. Она обусн ловлена тем обстоятельством, что при сверхзвуковых око остях оплотнеет ыст ее м еличивается скорость", так что для сохранения неразрывности массы площадь должна увеличиваться. Все зто очевидно из уравнения (2.26), показы- . вающего, что при М ) 1 уменьшение плотности превышает увеличение скорости. Остается решить вопрос о том, что происходит при звуковой скорости; когда М = 1.
Рассмотрим трубку тока, в которой скорость непрерывно увеличивается от нуля и в конечном итоге становится сверхзвуковой. Как показывают проведенные выше рассуждения, эта трубка тока в своей дозвуковой части должна сужаться, а в сверхзвуковой части — расширяться. В том месте, где точно выполняется условие М = 1, должна быть горловина", или критическое сечение (см. фиг.
15). Это очевидно также и из уравнения (2.27), показывающего, что при М = 1 величина йи/и может быть конечной только в том случае, если йА/А = О. гЛО. Соошноимния, лолуниемые ив уравнения энергои 71 Та же последовательность рассуждений применима и к случаю, когда скорость непрерывно уменьшается от сверхзвуковой до дозвуковой. Мы приходим к важному выводу о том, что значение М = 1 может быть достигнуто только о критическом сечении трубки тока 1обратное утверждение несправедливо; иначе говоря, в критическом сечении число М не обязательно равно 1.
Однако если это равенство не выполняется, то, как показывает уравнение (2.27), в критическом сечении оказывается ди = 0; иначе говоря, скорость достигает здесь максимума или минимума в зависимости от того, является ли течение дозвуковым или сверхзвуковым]. При числах М, близких к единице, поток очень чувствителен к изменениям площади, так как знаменатель в правой части уравнения (2.27) при этом мал. 2.10. Соотношения, получаемые из уравнения энергии Как было показано в п.
2.3, уравнение энергии для случая адиабатического течения совершенного газа') имеет вид — и'+ е,Т= СТ~ е (2.28) Умножая все члены последнего уравне получим — = — = 1+ — Ме. ио тв у иэ Т 2 ~ (2.30) Теперь можно использовать соотношения изэнтропичности (2.21а) и получить следующие формулы: Р = (1+ У вЂ” ' Ме)"'" ", 2 ~ (2.3!) е (1+7 — 1М) е Значения То и а, в соотношениях (2.28) — (2.30) постоянны во всех точках течения, так что можно считать их параметрами торможения, получаемыми в реальном сосуде.
Значения ре и ро в соотношениях (2.31) и (2.32) — это местные опараметрй ') Бслн гаа яе является калорвческв совершенным, то нельзя вместо И писать срг. Если использовать выражение для скорости звука аа = у)гТ, то отсюда получается иа иэ дэ + ~ (2.29) 2 у — 1 у — 1 ния на (у — 1)/ае, 72 Гя, 2. Гаоооая динамика одномернык течений торможения".
Они постоянны во всех точках только при изэнтропическом течении. Полученные здесь соотношения между термодинамическими параметрами и числом Маха для случая воздуха (У = 1,40) затабулированы (см. табл. 11 и 111 в конце книги). При подсчете константы в уравнении энергии можно вместо значений параметров, достигаемых в сосуде, использовать значения в любой другой точке течения.
Особенно полезно использовать для этого то сечение трубки тока, где М = 1, т. е. критическое. Параметры течения в этом месте называются „критическими" и отмечаются звездочкой вверху. Так, например, скорость течения и скорость звука записываются соответственно как ио и а*. Однако поскольку число Маха равно 1, то эти величины равны между собой, т. е. и* = ао.
Тогда уравнение энергии дает следующее: + — + — У а*о . (2.33) 2 У вЂ” 1 2 У вЂ” 1 2 У вЂ” 1 Сравнивая это уравнение с уравнением (2.29), получим, что соотношение, связывающее скорости звука в критическом сечении и в сосуде, имеет вид и ' ие у+! (2.34) Таким образом, отношение критической температуры к температуре торможения в данной жидкости является постоянным, так что величина Т* постоянна во всех точках адиабатического течения. Численные значения для воздуха оказываются такими: т О'833' О'913 (2.35) ео ие Можно получить также и отношения критических давления и плотности к соответствующим параметрам торможения.
Для этого используются соотношения изэнтропичности совместно с формулой (2.34) или же в формулах (2.31) и (2.32) число М приравнивается единице. В результате получаются такие выражения: (2.35а) Оч ~ У+1! Разумеется, для того чтобы можно было использовать критические значения в качестве характерных параметров, вовсе не обязательно существование в потоке критического сечения. При решении некоторых задач, особенно задач о трансзвуковых течениях, удобно использовать приведенную скорость и!а*. а!1. Уравнение Бернулли; динамическое давление 73 Для нее будет использоваться иногда следующее обозначение: М* = и/а* (2.36) (такое обозначение не находится в строгом соответствии с данным нами правилом обозначения величин звездочкой вверху, так как согласно этому правилу М*= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
