Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если же постоянство параметров течения имеет место в каждом сечении, то это уравнение можно записать в виде диА = сопз( = т, (2. 2) и оно справедливо вдоль всей трубки. Можно продифференцировать зто уравнение; в результате получится дифференциальная форма уравнения неразрывности для установившегося течения: — „(р'иА) = О. ~ (2.3) Гл. е. Газовал динамика одномерных течений для случая неустановившегося течения уравнение неразрывности составляется следующим образом. Масса, заключенная между сечениями 1 и 2 (фиг. 9), равна оА Ах и увеличивается д со скоростью —,(рААх). Последняя величина должна быть равна разности между потоками массы через сечение 1 и сечение 2, т.
е. равна общему притоку массы'): — — х (Е иА) е)х = —, (а А Ах). д д дх ае Величина едх не зависит от времени, так что на нее можно разделить обе части уравнения, получая в результате ах (Е иА) + ~ (д А) = О. а д ~ (2.4) 2.3. Уравнение энергии В п. 1.8 для вывода условий равновесия в процессе дросселирования было использовано первое начало термодинамики. Этот процесс является процессом течения, что видно из сравнения его, например, с опытом по необратимому расширению, который также описан в и.
1.8 и состояния равновесия в котором являются статическими. В последнем случае мы имеем е,=е„ тогда как в процессе дросселирования Л =де. Разница между обоими случаями обусловливается тем, что в последнем из них совершается „работа течения". Таким образом, основной термодинамической величиной для движущейся жидкости является энтальпия, а не внутренняя энергия. При рассмотрении процесса дросселирования в и. 1.8 течение предполагалось настолько медленным, что кинетической энергией потока можно было пренебречь. Тот же метод рассмотрения можно распространить и на течения с произвольными скоростями путем простого включения кинетической энергии в полную энергию жидкости.
Энтальпия жидкости И определяется при этом как та энтальпия, которая была бы измерена „наблюдателем", движущимся вместе с жидкостью. Условие равновесия состоит в том, что по отношению к этому наблюдателю не должны иметь места токи энергии, количества движения и т. д. (см. и. 1.5). ') Мы исключаем иа рассмотрения те случаи, когда увеличение потока массы может быть обусловлено наличием аелючннка между рассматриваемыми сечениями. г.З. Уравнение энергии В уравнение легко включить также внешний приток тепла и допустить возможность изменения площади поперечного сечения движущегося потока; таким путем можно получить уравнение энергии для одномерного течения.
Подробности этого вывода, который можно сравнить с приведенным в п. 1,8 выводом для процесса Джоуля — Томсона, даются ниже. Ф и г. 1О. Система для расчета баланса энергии в потоке. В качестве „системы" мы выбираем некоторую массу жидкости, заключенную между сечениями 1 и 2 (фиг. 10). На нижнем рисунке система показана так, как если бы ее границами в сечениях 1 и 2 служила не жидкость, а поршни.
Зти поршни заменят жидкость, окружающую систему, и помогут создать более ясное представление о той работе, которая производится над системой, состоящей из данной массы жидкости. За тот небольшой период времени, в течение которого жидкость перемещается в область, ограниченную сечениями 1' и 2', этой жидкости сообщается некоторое количество тепла и. В соответствии с законом сохранения энергии и + Работа над системой = Увеличение полной энергии.
(2.5) Гз. г. Газовая динамика одномерных течений 58 Для вычисления работы предположим, что объем, перемещаемый из сечения 1 в сечение 1', является удельным объемом и„ соответствующим единице массы. Тогда при стационарном течений из сечения 2 в сечение 2' также перемещается единичная масса, т. е. объем о,. Работа, совершаемая поршнями над системой за время этого йеремещейия, равна р,о,— реве (добавочная работа могла бы быть совершена расположейной между сечениями 1 и 2 машиной, но мы будем считать, что таковая отсутствует). Следовательно, мы имеем Работа нвд системой = рдо — р,и,.
(2.6) Теперь следует подсчитать, наконец, изменение полной энергии системы. Включаемая в эту систему движущаяся жидкость обладает не только внутренней энергией е, но также и кинетической энергией '/еив (на единицу ее массы). Таким образом, полная энергия единицы массы жидкости в рассматРиваемом сечении Равна е + '/е ив. СРавниваЯ полнУю энеРгию системы после ее перемещения с той же энергией до перемещения, мы увидим, что произошло увеличение энергии за счет перемещения из сечения 2 в сечение 2', равное е, + '1е и'„а также уменьшение энергии за счет перемещения из сечения 1 в сечение 1', равное е, + '/е и',.
Окончательный результат получается таким: Увеличение энергии = (е + — ие) — (е! + — ид~) ° (2.7) Теперь уравнение энергии для установившегося течения') принимает такой вид: а + Р и — Рзиз = (е + — иее) — (е, + — и!о) (2.8) Обозначения можно' несколько упростить путем введения в рассмотрение знтальпии «=в+ ри. Тогда получим Ч «е «з+ я и' з ии 1 е 1 Р (2.8а) Как показано на фиг. 10, а представляет собой „внешний приток тепла", т. е.
тепло, сообщаемое из области, расположенной вне трубы (теплота конденсации, теплота химической реакции и т. п. включаются в величину «). ') Соответствующее уравнение для неустановнвщегася течения выводится в гл. 7 (см. уравнение (7.25Ц. З.В. Ларомеары шормолеенил При 4 = 0 получается уравнение энергии для адиабатического пмчения "з+ 2 из =" + — из 1 1 1 )и (2.9) Уравнения (2.8) и (2.9) определяют связь между параметрами течения в двух его равновесных состояниях (1) и (2). Они справедливы даже и в тех случаях, когда между сечениями 1 и 2 проявляется влияние вязкости, теплвпередачи или имеют место другие условия, ведущие к отклонению от равновесия, если только состояния (1) и (2) сами по себе являются равновесными.
Если равновесие существует во всех точках потока, то и уравнение равновесия остается справедливым повсюду, так что его можно записать в форме И+ 2 и = сопе1, 1 (2.10) пригодной для любого сечения. Но тогда можно написать это уравнение и в дифференциальной форме: И+ иди = О. (2.10 а) Если газ является термически совершенным' ), то Ь зависит только от Т, и вышеприведенное уравнение можно записать в таком виде: с йТ + и а'и = О. (2.10б) Если этот газ является также и калорически совершенным, то теплоемкость с„будет постоянной, так что в результате получим с„Т + — и' = сопв1 1 2 р (2.1 Ов) (термически и калорически совершенный газ мы будем называть иногда просто совершенным, за исключением тех случаев, когда необходимо будет установить четкое различие между этими двумя определениями). 2.4. Параметры торможения Константу, фигурирующую в уравнении (2.10), удобнее всего вычислить в той точке, где и =0 и жидкость находится в равновесии.
Тогда получим й+ — и'= до. (2.1 1) Величину Ио называют энтальпией торможения, поскольку она ') То есть если он удовлетворяет уравнению состояния совершенного газа в форме (1.10). Гл. 3. Газовая динамика одномерным течений 60 должна быть равна энтальпии внутри большого сосуда (наподобие показанных на фнг. 11), где скорость практически равна нулю. Более того, если течение между двумя сосудами, показанными на фиг. 11, происходит без притока тепла, то величийа йо выражает также и значение энтальпии во втором сосуде.
Иначе говоря, при адиабатичсском течении й;=й,. (2.!2) По существу это равенство ничем не отличается от того результата, который был получен нами в и. 1.8 при рассмотрении процесса дросселирования. Роль „местного сопротивления'", или „дросселя", Фиг. 11. Течение между двумя сосудами прв адвабатвчеевом течевав й, = Ь+ Мат = а' играет здесь труба, соединяющая два сосуда. Теперь мы рассмотрим более подробно особенности течения в этой трубе. В случае совершенного газа И = с,Т и уравнение энергии имеет вид соТ+ — и' = с,т,; 1 а (2.13) (2.14) Чтобы установить, каковы следствия этого неравенства для совершенного газа, воспользуемся уравнением (1.43в): 4 — го =й!и —;+ с 1п —. Ра Ра Т,' (2.15) где Т, — температура торможения.
Если газ совершенный, то температура в обоих сосудах будет одной и той же независимо от соответствующих давлений, т. е. (2.12а) Если же газ не является совершенным, то равенство (2.12а) не обязательно будет выполняться, тогда как равенство (2.12) останется в силе. Согласно второму началу'термодинамики, энтропия во втором сосуде не может быть меньше, чем в первом, т. е.
зо за~ 11. 2.4. параметры оюрможениз 61 Так как Т; = Т„то последнее слагаемое правой части равно нулю, а поэтому необходимо, чтобы выполнялось неравенство ро (2.14а) Ро Это соответствует тому интуитивному представлению, что давление в сосуде, расположенном ниже другого сосуда по течению, не может быть больше давления в этом втором сосуде. Действительно, такой вывод справедлив для любого газа, так как из определения энтропии') следует, что а поэтому увеличение энтропии при постоянной энтальпии торможения должно приводить к уменьшению давления торможения. То необратимое увеличение энтропии (и соответствующее ему уменьшение давления торможения), на которое указывает неравенство (2.14), происходит за счет возрастания энтропии в процессе течения газа между сосудами.
Энтропия не будет возрастать только при условии отсутствия каких-либо диссипативных процессов, т. е. если движущаяся жидкость повсюду находится в равновесном состоянии. Превращение неравенств в равенства в,' = з, и р,' = ро соответствует только такому иззнтропическому течению. Те параметры, которые мы называли параметрами торможения, характеризуют также иногда словом „полный", например „полное давление". Этот термин применяется, кроме того, и в более широком смысле: для определения условий не только в сосудах, но и в любой точке течения. Местные полные значения параметров течения в любой его точке определяют те условия, которые достигались бы там при приведении движуи1ейся жидкости к состоянию покоя иззнтпопичецспзс путемг Например; при д а атическом течении совершенного газа местная температура торможения повсюду равна Т„тогда как местное давление торможения меньше, чем ро, или в лучшем случае равно ему; каждое конкретное значение зависит от степени диссипации энергии жидкости вверх по течению от рассматриваемой точки.
Воображаемый процесс местного торможения является изэнтропическим, а поэтому местная энтропия торможения равна, по определению, местной энтропии равновесия; это значит, что з,'= з' и, следовательно, нет необходимости в использовании индекса. Тогда в случае совершенного газа местная энтропия связана с полным давлением посредством уравнения (2.15), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
