Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассмотрим теплоизолированную трубу, внутри которой в некотором ее сечении имеется местное сопротивление, например дросселирующий клапан, пористая Гя. 1. Сведения ив термодинамики 28 пробка или экран (фиг. 4). Жидкость протекает слеванаправо через зто местное сопротивление настолько медленно, что приходящаяся на единицу ее массы кинетическая энергия — пв прене- 1 2 брежимо мала в сравнении с приходящейся на единицу массы энтальпией.
В том, что именно зто условие служит должным критерием справедливости наших выкладок, мы убедимся в дальнейшем при рассмотрении тех случаев, когда кинетическая энергия учитывается. 1 Чзй 1„1в Ф и г. 4. Процесс дроссеяироваиия. В качестве исследуемой системы выберем массу жидкости, заключенную между двумя контрольными поверхностями, одна из которых находится слева от местного сопротивления, а другая — справа от него. Контрольные поверхности движутся вместе с жидкостью и вместе со стенками трубы образуют оболочку системы.
Остальная часть жидкости, пространство вне трубы и местное сопротивление представляют собой все вместе окружающую среду. Проследим теперь за состоянием системы в два момента времени, 1в и 14, которые для удобства можно выбрать таким образом, чтобы за время 1в — 14 через местное сопротивление прошла единичная масса жидкости. Внутренняя энергия за это время должна измениться за счет перехода единичной массы со стороны (1) на сторону (2): АЕ= е, — е,. (1.34) Окружающая среда не передавала системе тепла, но совершила над ней некоторую работу И", поскольку контрольные поверхности были смещены на различные расстояния, подвергаясь при этом противодействию различных давлений (совершенно очевидно, что контрольные поверхности можно заменить поршнями, не изменив этим физической картины процесса).
Таким образом, суммарная работа, произведенная над системой, определяется равенством 'вг" = 'в~ + йГ = 1 р(1 + ') рй . ($> (е) 29' 1.Э. Понятие энтропии. Второе начало Так как р, и р, постоянны, то мы получаем и~ = М вЂ” рос (1.35) в силу того, что изменение объема с каждой стороны равно объему, приходящемуся на единицу массы. Наконец, первое начало дает АЕ=Ф, или г +рде,=-е +ров, т. е. (1.36) Таким образом, при адиабатическом протекании через местное сопротивление энтальпия, приходящаяся на единицу массы, остается одной и той жг вверх и вниз по потоку от создающего это сопротивление обьекта.
Этот результат имеет фундаментальное значение в приложении ко многим задачам о течении жидкости и, как это будет видно в гл. 2, легко обобщается на случай течений с большой скоростью. В частном случае совершенного газа мы имеем (1.Зба) Т =Т,. Как известно из истории, этот эксперимент был выполнен Джоулем и Томсоном (лордом Кельвином) и имел целью путем измерения значений Тз и Т, установить форму функциональной зависимости внутренней энергии газа от его температуры.
1.9. Понятие энтропии. Второе начало Процессы, исследованные в предыдущем пункте, а также и некоторые другие процессы, как, например, эксперимент Джоуля с гребным колесом, имеют одну общую черту — они проходят в одном направлении. В адиабатической системе давления и температуры стремятся выравняться, как зто получается при расширении газа или при смешении объемов газа, имевших первоначально различные' температуры; газ потечет через местное сопротивление только при условии, что давление вверх по потоку больше, чем вниз по потоку, и т.
д. Общие наблюдения этого типа создают экспериментальные основы второго начала термодинамики. Остается найти на основе этих наблюдений четко выраженный и поддающийся математической формулировке закон. Рассмотрим вновь случай расширяющегося газа. Возможно ли на основании измерений, произведенных при двух равновес- ЗО Га. П Сведения иа термодинамики ных состояниях, определить, какое из этих состояний путем спонтанного процесса может перейти в другое? Очевидно, можно, например, утверждать, что состояние, при котором имеет место разрыв давлений, является неустойчивым и некоторый спонтанный процесс должен перевести это состояние в состояние с постоянным повсюду давлением.
Рассматривая второй пример из п..1.8, можно было бы сделать аналогичное утверждение в случае налйчия разрыва температур. Использовать подобный критерий необратимости вполне возможно, но не очень целесообразно ввиду его недостаточной общностй. Сделаем попытку отыскать столь общий критерий, чтобы указанные простые условия явились его следствиями в частных случаях. В качестве такого критерия можно использовать новый параметр состояния 8, называемый энтропией. Как 8, так и Т являются величинами, играющими особую роль в термодинамике.
Формальное введение параметра 8 можно провести следующим образом. Внутренняя энергия Е обладает свойствами потенциальной энергии; при обратимом изменении состояния адиабатически изолированной системы мы имеем [см., например, уравнение (1.27)] т. е. мы получаем, что давление равно производной от внутренней энергии по обьему или что сила равна производной от Е по перемен)гнию. Можно задать вопрос — нельзя ли найти аналогичное соотношение для температуры Т? Для ответа на него попытаемся рассматривать Е как функцию двух переменных, притом такую, чтобы ее частные производные равнялись соответственно р и Т; вторую переменную мы обозначим через 8. Таким образом, мы попытаемся записать Е =- Е(8, 1/), причем эта функция такова, что ~ (1.37) и, следовательно, е)Е= — йУ+ — Ю = — рйУ+ Те(8.
Первое начало, сформулированное в виде соотношения (!.8а), дает нам НЕ = — ре('к'+ аие; У.9. Поннтие энтропии, Второе начало сравнивая два выражения, получаем Те)8 = е(с1. (1.37а) Следовательно, величина Т йЯ равна элементарному притоку тепла, получаемому системой при обратимом процессе. Интегрируя последнее соотношение, получим з г ле7 ов — Вл= / — ' ,I т А 1ь (1.38) где при вычислении интеграла нужно иметь в виду обратимый процесс, приводящий из состояния А в состояние В.
С помощью уравнений (1.37) величина 8 была определена как некий параметр состояния. Следовательно, установить связь изменения этого параметра с элементарным притоком тепла ей~ можно' только при наличии термодинамического равновесия системы, откуда следует, что процесс должен считаться обратимЫм. Покажем теперь, что определяемая с помощью уравнений (1.37) или (1.38) величина 8 обладает теми свойствами, которых мы от нее ожидаем.
С этой целью мы проведем подробный вывод соотношения того же типа, что и уравнение (1.38), для некоторого простейшего необратимого процесса, например для процесса смешения калорически совершенного газа, в котором первоначально имел место разрыв температур (второй пример из пункта 1.8). Рассмотрим процесс, который обратимым путем возвращает систему к начальным условиям.
В состоянии В мы имеем газ с массой М, + М, при температуре Т,; мы собираемся вернуть систему в состояние А, в котором масса М, имеет температуру Т„а масса М,— темйературу Т,. Для простоты будем считать, что М,=М,=М. Мы будем действовать в такой последовательности: разделим сосуд с помощью перегородки на две равные части. Очевидно, что в каждой из этих частей будут находиться одинаковые массы газа.
Далее, одну из частей нагреем до температуры Т;, вторую— охладим до температуры Т, (предполагается, что Т, > Т,) обратимым путем, т: е. путем медленного добавления или отнятия тепла. После этого оказывается, что температуры соответствуют состоянию А, но давления будут различными, например р, и р,. Тогда мы начнем медленно двигать перегородку в сторону области пониженного давления до тех пор, пока давления не станут равными.
Этот последний этап процесса должен производиться так, чтобы температура поддерживалась постоянной, т. е. с дополнительным подводом тепла к системе. Таким образом, отдельные составляющие интеграла ) — можно ей7 вычислить в два приема: Гя. П Сведения ив я(ермвдинимики 32 (а) ~' (((1 ~' ((и+ рдУ ~ дЕ ~'дЕ или = — Мс„(!п+'+ 1п в); (а! (1.39а) (б) р Р т 1 У"р т 1 "бр т т Ре или — ~ — = М)7(!и Р +!и Р ) (1.39б) Рв Рв <ы Но с помощью равенства (1.33б) можно выразить Тв через Т, и Т;.
Тъ+ Тв в= а из уравнения состояния получается, что р Тв, р р, т, ' р, т, В результате получаем, что при с„ = 14 + с„ приращение энтропии выражается равенством Яв — Яя = — ) — — ! — = Мс 1п ' ° (1.40) е а7 е д(7 (т,+ т,)в Т ( Т Р 4ТТ (а) (Ы Заметим, далее, что ' Т > 1, если Т, 4- .Т„и та же (т,+ т)в 1 в величина равна 1, если Т, = Т,. Следовательно, Яв>84 во всех случаях, кроме одного тривиальйого, когда температуры с самого начала одинаковы.
Для процесса расширения совершенного газа, фигурировавшего в качестве первого примера в пункте 1.8, можно аналогичным образом показать, что Я — ЯА = Ме(!П (р. + Рв)', 4р р С другой стороны, для рассмотренного в п. 1.7 адиабатического обратимого процесса (1Е -1- р(1У = О и, следовательно, из равенств (!.37) или (1:37а) сразу же получается, что Яи — 8„= О. г.р.
Понятие ентронии. Второе начало ЗЗ Отсюда следует, что определяемая с помощью соотношений (1.37) или (1.38) функция 8 действительно обладает, по крайней мере для случая совершенного газа, ожидаемым свойством. Можно показать, что это утверждение в равной мере справедливо и для любых возможных вариантов термодинамической системы. Дока- зательство можно провести, пользуясь понятием о так назы- ваемом цикле Карно или более изящным и прямым методом Каратеодори.
Это доказательство читатель найдет в обычных учебниках термодинамики. Теперь можно дать следующую формулировку второго начала: а. Существует экстенсивный параметр состояния 8 — энтро- пия, а также интенсивный параметр Т вЂ” абсолютная темпера- тура. Приращение энтропии при обратимом переходе от состоя- ния А к состоянию В определяется равенством в Г (Й2 Г .) т А где интеграл вычисляется для любого обратимого процесса, пере- водящего систему из А в В, а Т равно той температуре, которая получается из уравнения состояния совершенного газа. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
