Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В случае, если система замкнута, т. е. если окружающая среда не сообщает ей тепла и не совершает над ней никакой работы, то при любом спонтанном процессе энтропия 8 возрастает. Когда система приходит в равновесие, 8 достигает своего максималь- ного значения. Можно показать, что для любого естественного, т. е. необра- тимого, процесса мы имеем ФЗ ) †.
Действительно, при необрате тимом изменении изолированной системы о1~ = О, однако Ю ) О. Таким образом, если допустить, что возможен произвольный процесс, уравнейие (1.38) следует переписать в виде в Вв ВА» Г тз т' (1.42) Для совершенного газа энтропию 5 (или удельную энтропию з) можно выразить в явном виде в зависимости от 1Г и Т (или от р и Т). Подобно величинам Е и Н, энтропия Я определяется лишь с точностью до постоянного слагаемого: Я ГФЕ+ рак М Г не+ран + сопзс. т Следовательно, = з = ) е,— + И!и и + сопз1. Г лт (1.43 а) 3 зоез Ге. 1.
Сведения ив термодинамики 34 Используя равенство Г «1«У«р Т мы получим также — = г = 1 с — — ее 1п р + сопз1. й е «Т М' «' ит (1.43б) Написанные выше соотношения справедливы для термически совершенного газа. Если газ совершенен также и калорически (с„и с, постоянны), то соотношения (1.43а) и (1.43б) можно написать в таком виде: з — з = с 1п —.— ет 1п— Т и ~ (1АЗв) 1 Ре г — з1 = с„1п — + )е!и — „ )» (1.43г) 1 1 где р„и1 и Т, соответствуют некоторому начальному состоя- нию.
1.10. Каноническое уравнение состояния. Свободная энергия н свободная энтальпия В случае малого обратимого изменения состояния имеет силу равенство Т«Ь = М« и, следовательно, «Е = Т«8 — р Н/, (1.44а) или «Н= Т«8+ Р«р. (1.44б) В написанных нами уравнениях (1.44а) и (1А4б) фигурируют теперь шдяько параметры соплояния, так как «9 мы заменили на Т«Ь. Из этих уравнений становится ясным, что в качестве независимых переменных для Е естественно выбрать 8 и У, а для Н вЂ” переменные 8 и р. Таким образом, из уравнений (1.44) получается (1.4ба, б) Если для простой системы функция Е(8, 1') известна, то из уравнений (1.45) получаются оба уравнения состояния — калорическое и термическое.
То же самое справедливо и в случае, когда Н известна как функция Н(8, р). Переменные 8, Т, У и р называются сопряженными переменными. Соотношения Е = Е(8,М), н = н(8,р) ПГО. Каноническое уравнение состояния 33 называются иногда „каноническими уравнениями состояния"; достаточно иметь какое-либо одно из ннх, чтобы полностью охарак- теризовать простую систему. Вторая форма канонического уравне- ния используется в так называемых диаграммах Молье, на которых процесс изображается в плоскости с координатами Н и Б. Диа- грамма Молье удобна для графического представления процесса течения. Например, течение жидкости внутри теплоизолирован- ного сопла (типа аэродинамической трубы) оказывается частично изэнтропическим ($ = сопе1), а частично — изэнтальпическим (Н = сопз1).
Желая дать пример канонического уравнения со- стояния, рассмотрим вновь термически и калорически совершенный газ. В этом случае, как легко получается из уравнений (1.43в) и (1.2ба), каноническое уравнение, записанное для единицы массы, выглядит так: се = сопз1 ° с ев/в рв/сл. (1.47) Следовательно, уравнения (1.4ба) и (1.466) дают соответственно Т = —, = сонэ( ° е'~с р" ~се = — в ал а дв (1.48а) о = — = сопз1 77евlс. рСи~с.й-ъ = — (1 486) э» ка др Таким образом, из уравнения (1.48а) получим калорическое урав- нение состоянйя л = с,Т+ сопз1, а из уравнения (1.486)— термическое уравнение состояния ро = йТ.
Практически не всегда целесообразно пользоваться в качестве независимых переменных величинами 8 и У или Б и р. Поэтому логично поставить вопрос о построении функций, связанных с Е, Б и Н и имеющих в качестве естественных независимых перемен- ных У, Т и р, Т. Рассуждение такого рода уже позволило нам ввести с помощью уравнения (1.20) функцию Н. Введем функцию Р, так называемую свободную энергию (назы- ваемую иногда функцией осуществимой энергии или работы), и функцию Π— свободную энтольлию (наэываемую иногда свободной энергией Гиббса, а также термодинамическим потенциалом), определяя их следующими равенствами: г=Š— ТБ, (! .49а) (1.496) О = Н вЂ” ТБ.
Очевидно, что из равенств (1.49а) и (1.496) мы найдем йг = йŠ— 8йТ вЂ” ТйБ = — $йТ вЂ” рйУ, (1.50а) ~И = йН вЂ” Б'йТ вЂ” Тй$ = — БйТ+ Уйр. (1.506) Следовательно, естественными независимыми переменными для р являются У, Т, а для 6 — переменные р, Т. Аналогично уравне- 3* — яо Гл. У. Сведения ив термвдиналеики ниям (1.45) мы имеем (1.51а) (1.516) В качестве примера укажем, что удельная свободная энтальпия совершенного газа выражается так: д = 1 с„«Т — Т ) с„— + 1е Т 1п р — Тз, + л;, ~ (1.52) что следует непосредственно из уравнений (1.2б) и (1.436).
1.11. Соотношения взаимности Зачастую очень полезное соотношение между калорическим и термическим уравнениями состояния легко выводится из дифференциальной формы выражения второго начала: Т«з = «й — е«р. (1.53) Так как з = з(р,Т), то отсюда следует, что «з = — «Т+ — «р ав ав ат ар и аналогично этому, поскольку )е = И(р,Т), то «И = — а.т «Т+ —,«р а» д» др и, следовательно, из уравнения (1.53) получается ов 1 ໠— — ° ат т ат ав 1 аа ар = т (ар е)' Уравнения (1.54) называются „соотношениями взаимности".
Мы можем исключить из них з, дифференцируя уравнение (1.54а) по переменной р, а уравнение (1.546) по переменной Т, и почленно вычитая одно из другого; таким путем мы получаем 1 дв» д 1 Где — — — ( — — е) = О, т эрот ат т (ор' (1.54а) (1 546) или — =и — Тат. ~ (1.55) др Уравнение (1.55) дает связь между калорическим и термическим уравнениями состояния. 7.72. Энтропия и процессы переноса В качестве примера рассмотрим случай совершенного газа, когда йг. О= Р отсюда получается, что э» вт — = — — Т вЂ” =О эР Р Р и, следовательно, И = И(Т).
Соотношения, аналогичные уравнению (1.55),могут быть написаны также и для функции е(п,Т). 1.12. Энтропия и процессы переноса При необратимых изменениях состояния в системе неизбежно возникают „токи". Увеличение энтропии за время необратимого процесса должно быть связано с наличием этих токов. Мы могли бы выйти за пределы классической термодинамики и выяснить, нельзя ли определить скорость увеличения энтропии за время необратимого процесса. Можно сказать, что в течение процесса энтропия создается и сохраняется в системе. Следуя таким путем, можно составить уравнение неразрывности для удельной энтропии примерно аналогично тому, как получается уравнение неразрывности для плотности.
А именно, можно выразить связь скоростей изменения удельной энтропии в фиксированном объеме за счет двух причин: за счет общего притока энтропии к данному объему и за счет оозрасепания энтропии в самом объеме. Частные примеры применения такой процедуры будут даны в последующих главах. На данном же этапе мы интересуемся главным образом выражением для приращения энтропии в рассматриваемом объеме. Ясно, что это приращение должно зависеть от наличия „токов", так как при отсутствии последних энтропия не возрастает. С другой стороны, токи зависят от скорости изменения в пространстве таких параметров состояния,как температура, концентрация массы и т.
п., а также от величины таких параметров переноса, как коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии и т. и. Формальные выражения для величины возрастания энтропии в рассматриваемом объеме должны удовлетворять по меньшей мере таким требованиям: а) Прирост энтропии должен быть равен нулю при отсутствии токов. б) Величина прироста должна быть положительной.
В простейшем случае малых одномерных токов в изотропной среде (такими средами являются в классической гидромеханике все жидкости) при этих требованиях получается следующий Гл. 1. Сведения ив термодинамики 38 результат. Если обозначить через и скорость изменения энтропии в единице объема за единицу времени, то для случая теплопровод-. ности получим где через )е обозначается коэффициент теплопроводности. Величина прироста энтропии за счет изменений количества движения в направлении течения, как это получается при наличии звуковых или ударных волн, выражается в виде т (ок) где через й обозначается коэффициент вязкости.
1.13". Условия равновесия Если в дальнейшем невозможны никакие спонтанные процессы, то это означает, что система достигла состояния устойчивого равновесия. Для любого спонтанного процесса Ю вЂ” Следоваац т' тельно, система будет в устойчивом равновесии, если для любого процесса т' (1.56) или (используем первое начало) если Т бЯ вЂ” (ЬЕ + р 8*к') О, (1.57а) Т бЯ вЂ” (дН вЂ” 1' бр) О.
(!.57б) Обозначение Щ 88 и т. д. относится к так называемому „виртуальному" измененйю, т. е. к малому изменению переменных, допускаемому налагаемыми на систему ограничениями. Из неравенств (1.57) получаются специальные условия, которым должны удовлетворять „термодинамические потенциалы" Я, Е, Н, Г и 6 при различных видах ограничений.
1. Для замкнутой системы, как, например, для случая газа, заключенного в неподвижный теплоизолированный сосуд и имеющего возможность расширяться, дЕ = О, д'к' = О, а следовательно, бЯ- О, р (1.58) т. е. энтропия достигает своего максимального значения (при любом возможном процессе 8 может только уменьшаться и, следовательно, Я имеет максимум). 2. Если параметры й и Т или р и Т остаются постоянными, то мы вводим в рассмотрение Р = Š— ТБ и 6 = Н вЂ” ТЯ. Из 7.74». Смеси завершенных газов 39 неравенств (1.57) следует, что при равновесии дР-О, дТ=О, д(7=0; дбз-О, ЬТ=О, бр=О. ~ (1.59) )» (1.60) Свободная энергия Р и свободная энтальпия 6 имеют минимум в состоянии равновесия при соответствующих ограничениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
