Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Удельная теплоемкость с определяется следующим равенством: (1.16) Иначе говоря, с выражает то количество тепла, которое необходимо для повышения температуры единицы массы системы на 1 градус. Численное значение с зависит от характера процесса, происходящего при сообщении тепла. В случае простой системы энергия е и давление р зависят только от и и Т. Следовательно, 1.7. Лрименение первого начала к обратимым процессам 23 (1.17 а) (1.17б) Переменная е является функцией о и Т, следовательно, уравнение (1.15) можно записать в виде') ае аг с!е = —. Й> + — ЙТ = Ид — р с!о ат и получить равенства С„= — е ае ат (!.18) Поскольку с!о входит в уравнение (1.15) явным образом, то о и является тем параметром состояния, который было бы естественно использовать при составлении выражения для переменной е. Если сохранять о постоянным, то получается простое выражение типа (!.18), тогда как процесс, происходящий при постоянном р, приводит к более сложному выражению (!.19).
Уместно поэтому задать вопрос, не существует ли другого параметра состояния, аналогичного е, для выражения которого естественно было бы выбрать в качестве независимой переменной давление р. Такой функцией является энгпальпия, или тепло- содержание, й, определяемая выражением й=е+ро, (1.20) (1.19) или Н = Е+ р)l. ') В термодинамике принято указывать с помошью индексов те переменные, которые сохраняются постоянными при вычислении тех или иных част- НЫХ ПрОИЗВОдНЫХ.
ТЗК, НаПрИМЕр, ОбОЗНаЧЕНИЕ (аг(сл)т уКаЗЫВаЕт На та, Чта Т сохраняется постоянным. Мы будем использовать такие обозначения только тогда, когда могут быль какие-то сомнения относительно того, какая переменная считается постоянной. любой обратимый процесс можно представить в виде графика на диаграмме о-Т (фиг. 2). Разумеется, с тем же успехом мы могли бы выбрать диаграмму р-Т или р-о, поскольку р = р (о, Т). Из сказанного следует, что если нам известна удельная теп.
лоемкость при двух различных процессах, то мы будем знать с при всех других процессах. Обычно выбирают удельную тепло- емкость при постоянном объеме с„и удельную теплоемкость при постоянном давлении с,. Таким образом, Гя. Д Сведения ив термодинамики 24 Следовательно, аИ = Не + рбо + и ар, и основное уравнение первого начала может быть записано в виде бИ = й~ + о ар.
~ (1.21) Мы снова можем составить выражения для с, и с„, получая (1.22) (1.23) аа ат В случае совершенного газа имеем е = е(Т), И = е(Т) + ро = е(Т) + КТ'= И(Т). Следовательно, из равенств (1.18) и (1.19) получим ае с =— 6Т' ;=~.+р( —,",) =с.+г. и аналогичным образом из равенств (1.22) и (1.23) найдем дб с = — ° ат с, = с„— о ( Р ) = с„— )е. Следовательно, в случае совершенного газа получаются важные соотношения с, — с,=)е, ~ (1.24) е(Т) = ) с„йТ + сопз1, ~ (1.25) И(Т) = 1 сг йТ + сопз1.
~ (!.26) Иногда газ называют калорически совершенным при условии, что с„и с„являются постоянными, не зависящими от Т. В этом более специальном случае мы имеем е = с, Т+ сопз1, (1.25а)- И = ср Т + сопз1. (1.2ба) Заметим, что равенство (1.24) справедливо независимо от того, являются ли с„и с„постоянными или нет. Адиабатический обратимый процесс. Очень важным для дальнейших приложений, в которых рассматривается течение 1.7. Применение переого начала и обратимим процессам 25 или (1.28) сй = и с(р. Из соотношения (1.27) получим де ае — Ь+ — 11Т= — р Ь а ат а из соотношения (1.28) — бр+ — с17 = и с(р. аа ди ар ат при адиабатическом обратимом процессе Следовательно, мы получаем — „„= —,( — + р) ат 1 де ат 1 аа — = — ~ — -") ар ср др (1.29) (1.30) йр р а» ~Ь о йе (1.31) В частном случае совершенного о ат т ~ь р ат т ир о ар р ~~о газа оказывается, что (1.29а) (1.30а) ср сн с, (1.31 а) Так как )с = с — с„, то правые части трех последних соотношений можно выразить в виде функций отношения-н = у.
Велис с, чина т будет зависеть от Т, если только газ не предполагается также и калорически совершенным. Однако в любом случае эти соотношения для совершенного газа оказываются интегрис ат руемыми. Так, например, можно получить, что!пи = — ) - ( ) т(р — 1' жидкости, является представление об адиабатическом обратимом процессе. Так называется процесс, при котором отсутствует приток тепла к системе или отвод тепла от нее и при котором работа 'производится обратимым путем. В этих условиях можно использовать уравнение (1.15) или уравнение (1.21) в зависимости от того, выберем ли мы в качестве независимых переменных о, Т или р, Т. Таким образом, адиабатический обратимый процесс определяется соотношением 11е = — р Ии, (1.27) Гл.
1. Сведения из термодинамики 26 при постоянном у соотношения становятся предельно простыми: з = сопз1 Т-'лт — ц, р (1.29б) Р = сопз1 Ттдт-ы Р (1.30б) р = сопз1 ° з у. Р (1.31б) 1.8. Применение первого начала к необратимым процессам В качестве первого типичного необратимого процесса рассмотрим адиабатическое расширение газа. Интересующая нас система представляет собой сосуд с жесткими теплонепроницаемыми стенками. Сосуд разф' деляется диафрагмой на два объема, г; и уз (фиг. 3). Оба объема заполнены одним и тем же газом, имеющим одинаковую температуру Т. Однако давления р, и р, различны.
Теорией течения газа ,4 при таких условиях мы будем чв Т заниматься в последующих Фнг. 3. теилонзолзроззвный сосуд главах; сейчас же нас интес разделяющей диафрагмой. ресует лишь термодинамическая сторона процесса. Пусть в"момент времени 1 = 0 диафрагма разрывается. Вследствие этого возникает мощный поток газа; в направлении пониженного давления распространяется ударная волна, в направлении повышенного давления — волна разрежения, и после отражения и преломления создается сложная система волн. Под влиянием вязкости и теплопроводности эти волны затухают, и в конечном итоге газ снова оказывается в покое в новом состоянии термодинамического равновесия.
Применим теперь первое начало к исследованию процесса перехода от начального состояния к конечному. Окружающая среда не передавала системе тепла и не совершала над ней никакой работы. Следовательно, на основании уравнения (1.5) имеем (1.32) Ев — ЕА = 0 Как мы увидим позднее, адиабатический обратимый процесс является иззнтропическим, т. е. это процесс, при котором энтропия Я остается постоянной.
Разумеется, приведенные примеры не исчерпывают всех приложений первого начала к обратимым процессам. Однако они определяют общий характер требуемых выкладок. Пз. Применение первого начала к необратимым процессам 27 В процессе расширения газа его внутренняя энергия остается постоянной. Если рассматриваемый газ можно приближенно считать совершенным, то Е = Е(Т) и, следовательно, из равенства (!.32) полу- чается (1.32а) Тв = ТА. При адиабатическом необратимом расширении совершенного газа температура в начальном и в конечном состоянии оказывается одной и той же. Как известно из истории, подобный эксперимент произвел Гей-Люссак; он измерил значения температуры в начальном и в конечном состояниях и, найдя их одинаковыми, сделал отсюда вывод, что для совершенного газа Е = Е(Т).
В качестве второго примера рассмотрим подобное же устройство, но предположим теперь, что в обоих отсеках газ находится под одним и тем же давлением р, но при разных температурах Т, и Т,. Предполагается, что диафрагма не проводит тепла. Если теперь перегородку удалить, то температура стремится к выравниванию и вновь возникают токи, которые, однако, в конечном итоге затухают. Для сравнения начального и конечного состояний вновь может быть использовано равенство (1.32). Пользуясь понятием удельной энергии с и обозначая через М, и М, массы газа в соответствующих отсеках„можем напи- сать Ел = М,е(Т„ое) + Мое(Т„ов), Е, = (М, + М,) е(Тв, ов) (!.33) Таким образом, в частном случае совершенного газа мы получаем, что М,е(Т,) + М, е(То) = (Ме + Мв) с(Тв).
(1.33а) Если, кроме того, газ является калорически совершенным, то е = с, Т и величина Тв выражается в явном виде: Т мт1+мт в= М,+М, (! .ЗЗб) В качестве заключительного примера рассмотрим наиболее важный для гидромеханических приложений необратимый процесс, а именно процесс дросселирования, или процесс Джоуля— Томсона. Здесь мы будем применять первое начало непосредственно к движущейся жидкости, находящейся в стационарных условиях, в отличие от статических условий, имевших место в предшествующих примерах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
