Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 12
Текст из файла (страница 12)
— з = — !с !про!Ро ! с ! » ез = — ~ни — — вр). т( е 62 Гл. 2. Головая динамика одномерных течений поскольку Т; = Т,. Следовательно, измерение полного давления дает возможность измерить энтропйю течения. При соответствующих условиях это измерение можно осуществить с помощью простого насадка Пито (см. гл. 5). Для того чтобы параметры течения стали равны параметрам торможения, недостаточно равенства нулю скорости; необходимо также, чтобы имели место условия равновесия. Например, термометр, погруженный в поток, не будет измерять местную полную температуру, так как хотя на его поверхности течение и приводится в состояние покоя, но жидкость там не находится в-равновесии; проявляющееся здесь обычно сильное влияние вязкости и теплопередачи объясняется наличием мощных „токов" энергии и количества движения.
Вопрос об определении давления и температуры на поверхности с учетом вязкости и теплопроводности будет разбираться в гл. !3. 2Л. Уравнение Эйлера В этом пункте мы применим к потоку жидкости закон Ньютона. Этот закон утверждает, что Сила = Масса х Ускорение. Воспользуемся методом Эйлера, т. е.
проследим за ускорением частицы жидкости в то время, как при перемещении вдоль трубки тока эта частица попадает в различные условия. Ускорение определяет собой степень изменения скорости во времени и обусловливается воздействием двух причин. Так как, во-первых, условия течения изменяются вдоль трубки, то существует градиент скорости 8и/дх в направлении потока. Быстрота изменения скорости пропорциональна этому градиенту, а также величине самой скорости перемещения частицы. Таким образом, нконвективная" часть ускорения, обусловленная наличием градиента скорости, выражается в виде Ои и— зх Во-вторых, если течение является неустановившимся, или йестационарным, то условия в данном сечении могут изменяться.
Это изменение даст нсстапионарную часть ускорения: зи зе Тогда общее ускорение частицы выражается следующим образом: (2.!6) 2.5. Уравнение Эйлера +Л;(рл)ах ,ив+~-фА)йю Ф и г. 12. Давление, действующее на~частицу жнлкости. частицы, показанной на фиг. 12,в, и, следовательно, для расширяющейся или сужающейся трубки тока. В последнем случае справедливость этого результата легко доказать непосредственно, если учесть давление на наклонные грани. При этом расчете силы ни в какой мере не было учтено влияние вязкости, т.
е. не были приняты во внимание ни касательные напряжения на боковых гранях, ни нормальные вязкостные напряжения на гранях, расположенных перпендикулярно потоку. Уравнение (2.17) сйраведливо только при словии что мо но п енеб ечь этим т. е. для течения нев11дцйй жидкости. татума р~ л ю 1, гк~р а.югб подставлены теперь в уравнение, соответствующее закону Ньютона; записывая это уравнение для единицы массы, получим просто а -1, или Это уравнение называется уравнением Эйлера.
~ (2.18) Теперь мы должны рассчитать силу, действующую на частицу. Рассмотрим частицу, показанную на фиг. 12,а. При столь простой форме частицы нетрудно рассчитать силу, действующую в направлении оси х; она равна — — „(бхА). Разделив зто значение на др объем частицы Аах, получим силу — др/дх, приходящуюся на единицу объема. Наконец, после деления на плотность получается сила, лриходяецаяея на единицу массы: 6= — —— 1 др (2.17) е дх Применяя теорему Гаусса (гл. 7), можно доказать, что этот результат справедлив для частицы любой формы, например для частицы, изображенной на фиг. 12,б.
Следовательно, он справедлив и для' 64 Гя. г. Газовая динамика одномерных еяечений В случае установившегося течения первый член левой части равен нулю. Тогда оставшиеся члены в обеих частях уравнения оказываются полными производными и можно написать, что или+ Р =О, ~ (2.18а) о или, в интегральной форме, и' е ир — + ) — =сопз1 г .) е т. е. уравнение Бернулли для течения сжимаемой жидкости. Входящий в это уравнение интеграл будет подсчитан позднее.
Теперь мы заметим лишь, что в случае несжимаемой жидкости о = ио и уравнение Бернулли принимает хорошо известную форму — р и'+ р = сопз1. 1 о (2.188) 2.6. Уравнение количества движения Часто бывает удобным рассматривать течение в области пространства, ограниченной некоторыми фиксированными поверхностями и сечениями; так мы поступали при выводе уравнения неразрывности (см.
фиг. 9). Придерживаясь этой точки зрения, следовало бы также вывести уравнение, характеризующее изменения количества движения внутри „контрольного пространства". Это уравнение можно получить нижеследующим образом, комбинируя уравнение Эйлера с уравнением неразрывности. После умножения всех членов уравнения Эйлера (2.18) на А и всех членов уравнения неразрывности (2.4) на и получаем соответственно аи аи ар аА — +ииА — = — А— ае ах ах П ае (йА) + П а (киА) = О. а а Складывая почленно эти уравнения и должным образом объединяя некоторые члены, получим уравнение количества движения для одномерного течения: — (ипА) -1- — (ии'А) = — А — = — — (рА) + Р— а а ар а аА ае ах ах ах ах Затем, произведя в обеих частях уравнения интегрирование по х между какими-либо двумя сечениями, придем к такому результату: 2 2 (аиА) их + ази3 А, — а,и, 'А, = р,А, — Р,А, + ~ рпА. 1 1 З.б.
Уравнение количества движения Первый интеграл в этом уравнении характеризует количество движения той жидкости, которая заключена между сечениями 1 и 2 (фиг. 13). Для подсчета последнего интеграла можно ввести понятие о среднем давлении р . Таким образом, — ) (риА) с(х+ раи, А, — д,и, А, = рА, — рА, + д Г в в + р (А,— А). (2.!9) Левая часть этого уравнения определяет собой скорость изменения количества движения в пространстве между сечениями 1 и 2; Рг "г Сила = г сои А 6ст Аг Ас г г Ф нг.
13. Действующие силы н баланс количества движения для контрольного объема. количество авювевии объема равно 1 ввл вл. 1 там фигурируют два члена, один из которых соответствует неслгационарным изменениям внутри пространства, а второй возникает за счет переноса или притока количества движения в это пространство через концевые сечения. Правая же частьопределяетсобой проекцию на ось х силы, создаваемой давлениями в концевых сечениях и на стенках трубки. В случае установившегося течения первый член правой части уравнения (2.19) равен нулю. Интегральная форма уравнения количества движения является фактически более общей, чем указывалось до сих пор, поскольку она остается справедливой даже при наличии сил трения и областей диссипации энергии внутри контрольного пространства, если только те и другие отсутствуют в концевых сечениях 7 и 2.
Наличие этой общности подтверждается следующими соображениями. Интегрирование членов, входящих в дифференциальное уравнение количества движения, соответствует физически сложению сил, действующих на примыкающие один к другому элементарные объе- 5 вова Гл. л. Гаоооал динамика одномерных елечений Ь с еА) (риеА 1риеА) А)Ь, 1'р 'А) фи А~ Ф и г. 14. Схема суммирования сил, действующих на элементы контрольного объема. Для случая установившеюся течения в трубке постоянного сечения уравнение количества движения становится особенно простым: Ы4 — «М = рт — Ре. ~ (2.20) 2.7. Условия иззитропическвго течения В п. 2.4 было сделано утверждение, что адиабатическое равновесное течение является иээнтроличесхим. Это можно проверить с помощью уже полученных уравнений энергии и количества движения.
При адиабатическом течении нетеплопроводного газа уравнение энергии йл+ ийп = 0 справедливо во всем потоке подобно тому, как это имеет место с уравнением Эйлера иди+ — = 0 ар е при отсутствии сил трения. Исключая из этих двух уравнений и, получим соотношение между термодинамическими параметрами: йй — — = О. др е мы жидкости, а также проходящих через зти объемы потоков; все это иллюстрируется фиг. 14. Силы, действующие на соседние внутренние грани объемов, равны и противоположны, так что при суммировании они исключаются. Точно так же потоки, притекающие и вытекающие через соседние грани, исключаются при суммировании. Все, что остается, — зто силы и потоки, соответствующие границам контрольного пространства.
Если имеющаяся область неравновесного состояния оказывается внутри этого пространства, то она не влияет на результат интегрирования. В качестве исходного уравнения, не требующего вывода,. берут иногда не уравнение Эйлера, а именно уравнение количества движения в конечной форме; так будет сделано нами в гл.
7. х7. Условпл леэнтролпчеслого течения Однако с помощью уравнения (1.53) можно установить связь этих переменных параметров с энтропией течения, получая в результате, что Ф= — )~й — — ) = О, 1 7 Ерс т е или з= сопе1 во всем потоке. Таким образом, адиабатическое течение невязкого и нетеплопроеодного газа леляешся изэнтропическим. Следовательно, в этом случае одно из уравнений — энергии или количества движения — может быть заменено равенством (2.21). В случае совершенного газа это условие можно записать еще в таком виде: (2.21а) Строго говоря, в реальном неоднородном течении условия равновесия не могут быть достигнуты, так как частица жидкости должна непрерывно приспосабливаться к тем новым условиям, в которые она попадает.
Скорость такого приспосабливания зависит от различных градиентов течения и служит критерием того, насколько далека жидкость от состояния равновесия. Знание этой скорости позволяет, в сущности, дать точную оценку скорости возрастания энтропии. При одномерном течении члены, определяющие возрастание энтропии, таковы (см. гл.
13): Они зависят соответственно от квадратов градиента скорости и градиента температуры и поэтому всегда положительны. Коэффициенты р и )с — это коэффициенты вязкости и теплопроводности. Члены, определяющие возрастание энтропии, в потоке реальной жидкости никогда не бывают строго равны нулю, так как градиенты всегда отличны от нуля, а коэффициенты )с, и )с имеют конечную величину. Однако изучение идеализированных течений, получаемых при пренебрежении этими членами, составляет значительную и полезную область аэродинамики и механики жидкости вообще.
Обычный путь этой идеализации состоит в представлении жидкости как невязкой') и нетеплопроводной (,й = О и й = 0). Эта идеализация оказывается тем лучшей, чем меньшую величину имеют,и и )е в действительности. Впрочем, такой критерий имеет весьма относительную ценность ввиду того, что даже при ') В тех случаях, когда употребляется один лишь термин „нсвязкнй", подразумевается обычно н „нстсплопроводвый". б' — зо- 68 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
