Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда — ":"=!п[(1+ „", ш)'"' '(1+ш)- К -з1( — ",„',ш+!)"'" '~. Написанное нами выражение по-прежнему является точным. Но при значениях М„близких к единице, л1 является малым, и это выражение можйо упростить, поскольку в каждой из скобок фигурируют члены типа 1 -1-в, причем е «1. Каждое из трех слагаемых, получаемых по правилу логарифмирования произведения, имеет вид функции 1п(1 + е), которая разлагается в ряд в — вя/2 + в'/3 +.... Если собрать соответствующие члены, то обнаруживается, что коэффициенты при т Часто принимают, что отношение е(р,/р, характеризует интенсивносп(ь скачка.
Для этой цели можно использовать также и отношение Р 1 + 2у (мв 1) 1» (2А8а) Рз 80 Гл. 2. Газовая динамика одномерных течений и л1в равны нулю, и остается следующее: з,— з, 2к т' — — — + Члены высшего нарядна малости, Ь+ О' т. е. з, — з, 2т (М', — 1)' ~ (2.51) (к+ 1)' 3 Так как энтропия в адиабатическом течении не может уменьшаться, то формула (2.51) показывает, что М, — 1. Таким образом, из двух описанных выше вариантов скачка возможен только скачок с переходом от сверхзвукового течения к дозвуковому. Как показывает изучение формул (2.47) — (2.49), соответствующие скачки плотности, давления и температуры идут от более низких значений к более высоким; скачок как бы сжимает течение.
Важным результатом является то обстоятельство, что изменение энтропии имеет третий порядок малости по отношению к величине М,' — 1. Можно выразить зависимость этого изменения от интенсивности скачка, используя формулы (2.48) и (2.51), из которых получим ' =1п —" (2.53) и Ры Мы можем написать, что ро, — — р„+ Арот и что Лз/17 = = — 1п(1+ Арот/роз).
Для слабйх скачков Яро,/ро, «1, и тогда ' ы — 1"' = ~ ( ' ) (2.538) й Ры (к+1)' 3 Таким образом, малое изменение энтропии прямо пропорционально изменению полного давления. Отсюда следует, что изменение полного давления есть также величина третьего порядка малости по сравнению с величиной интенсивности скачка. Точное выражение для отношения полных давлений можно получить из формул (2.53) и (2.50).
Оно оказывается таким: Ро1 ~ (2.54) (2.52) Таким образом, при наличии малого, но конечного изменения давления, которому соответствуют изменения скорости, плотности и температуры также первого порядка малости, получается изменение энтропии всего лишь третьего порядка малости. Слабый скачок приводит к почти изэнтропическому изменению состояния. В заключение мы можем определить, как изменяется при переходе через скачок давление торможения, или полное давление. Так как Т„= Т, то в соответствии с тем, что показано в п. 2.4, изменение энтроййи связано с величинами йолного давления следующим образом: Глава 3 ОДНОМЕРНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 3.1. Введение Возмущения, вызываемые движением твердого тела в жидкости, распространяются по жидкости или передаются другим ее частям.
Движение таких возмущений по отношению к жидкости называется распространением волн, а скорость этого распространения называется скоростью волны. С распространением волн связан механизм взаимодействия различных частей тела как с жидкостью, так и друг с другом, а также и механизм определения действующих на данное тело сил. Таким образом, законы распространения волн определяют решение всех гидромеханических задач, хотя не всегда оказывается удобным или нужным описывать эти законы в явной форме.
В данной главе мы будем изучать только случай одномерного движения в трубе с постоянной площадью сечения, т. е. случай „плоских волн". Имеются примеры, когда движение газа может быть осуществлено за счет перемещения поршня; задачи такого рода называют иногда „задачами о поршне".
+ Получаемые в данной главе результаты не имеют существенного значения для последующих глав, в которых мы вновь вернемся к рассмотрению установившегося течения обычными аэродинамическими методами. Однако изучение законов распространения волн даже в простейшем случае одномерного движения может оказаться весьма полезным для уяснения некоторых особенностей того механизма, которому подчиняется двумерное и трехмерное установившееся течение. Сама задача о движении в трубе также имеет серьезное практическое значение в связи с изучением течений в ударных трубах, пусковых процессов в аэродинамических трубах и т. д. 3.2.
Движущаяся ударная волив В п. 2.13 мы изучали условия течения при переходе через ударную волну, которая предполагалась стационарной; эта волна вновь изображена на фиг. 18,а. При подходе к ударной волне жидкость имеет скорость и,. Можно было бы также сказать, что ударная волна перемещается по отношению к жидкости со ско- 6 зовз— Гл. 3. Одномерное раслросо(ранение волн 82 ростью и,. Это иллюстрируется более отчетливо фиг. 18,6, которая получается из фиг. 18,а путем простого преобразования скоростей.
Пулго лореляи Пупа ударной а Ф и г. 18. Неподвижная и движущаяся ударные волны. о — неподвнжная ударная волна; б — случай, когда неподвижна жидность в области (8, (условия соответствуют моменту времени ЕП в — диаграмма н-С для тече- ния в'случае и. При такой трактовке жидкость впереди ударной волны находится в покое, волна распространяется в жидкости со скоростью с, = и„ (3.1а) а позади волны жидкость „движется за волной" со скоростью ив= И,— и,. (3.1б) Значения статической плотности, давления и температуры по обе стороны ударной волны при таком преобразовании не изменяются, и их связь по-прежнему выражается формулами (2.47) — (2.49).
Таким образом, распространяясь в покоящейся жидкости, ударная волна приводит ее в движение и повышает ее давление, йлотность и температуру. Можно предположить, что вслед за жидкостью, находящейся позади ударной волны, движется со скоростью и толкающий ее поршень, как зто и иллюстрируется фиг. 18,б. Действительно, все З.з. движущаяся ударная волна 83 м = —,~ с, а где 1 а~=(й /18).
Для приложения к практическим задачам часто бывает удобнее использовать в качестве основного независимого параметра отно- шение давлений рв/р,. Через зто отношение и параметры покоя- щейся жидкости можно выразить затем все остальные величины. Если, например, использовать формулу (2А8а) для установления связи между отношением р !р, и числом Маха, то скорость ударной волны в случае идеального газа выражается в виде I У вЂ” ! У+! Рв!и с,=М,а,=а,! з + У У Ръ~ Отношения скоростей и температур можно выразить с помощью формул Ренкина — Гюгонио (упражнение 2.5) соответственно в виде У+! Рв Ев У ! Рс ис, ~ (3.3) р, у + 1 р, и, У вЂ” ! Рс У+! ! Р ~ (3.4) т, р, у + ! р, ' У вЂ” ! Рс )ь (3.2) 6' — 20 те условия, которые были выведены нами, удовлетворяются в случае движения, изображаемого на диаграмме х-! (фиг. 18,в), если поршень внезапно начинает свое движение в момент времени! = 0 со скоростью и .
При этом образуется ударная волна, бегущая вперед со скоростью с,. Давление на поверхности поршня равно р,. Длина области между ударной волной и поршнем, занимаемая сжатой жидкостью, увеличивается со скоростью с, — и„. Если даже поршень достигает скорости и постепенно, а не мгновенно, движение в конце концов стайет стационарным, так как все неравномерности, возникающие в области сжатия, уничтожаются фронтом ударной волны. Это явление будет рассмотрено в п. 3.10.
Пример с движущимся поршнем иллюстрирует то общее положение, о котором говорилось во введении; речь идет о том, что тела при своем движении вызывают распространение определенного вида волн, причем на поверхности тел возникает некоторое давление, аналогичное давлению на поршень в одномерном случае. Полученные в п. 2.13 соотношения, определяющие „скачки" при переходе через ударную волну, могут быть переписаны так, чтобы с помощью формул преобразования скоростей (3.1) включить в них величины с, и и . Например, число Маха для ударной волны выражается формуловн 84 Гл.
3. Одномерное распространение воен (З.ба) (З.бб) волна, В этом (З.баа) (З.ббб) у+ 1 у — 1 у — ! р*, у+ ! рв' Рв г р, ев е, т, те (З.бвв) (З.бгг) и„- 3.3. Уравнения одномерного изэнтропического движения Случай распространяющейся в жидкости ударной волны можно рассматривать как иллюстрацию следующей общей задачи: если форма „возмущения" задана в некоторый момент времени 1, то Скорость жидкости за ударной волной равна ив~ и =и,— и =св(1 — — '/ Р ! в= Ив Если подставить сюда выражения, определяемые формулами (3.2) и (З.З), то получается следующая формула: рв у+! Слабая ударная волна определяется как такая волна, для которой приведенный скачок давления очень мал, т. е. 'ар Ре — Рв «1.
Рв р Тогда и другие возмущения будут соответственно малыми, что можно видеть, разлагая правые части вышеприведенных формул в ряды и оставляя в них только члены, содержащие Ар/р, в первой степени. Такая операция дает следующие результаты: е!е 1 е!р нр — ж — — Ж вЂ” ов Ев у Рв е1т у — ! лр т,~' у р,' с ма!(1+ 4 ) (З.бв) Как видно из последнего уравнения, скорость очень слабой ударной волны почти равна а,. Очень сильная ударная волна определяется как такая для которой отношение давлений р,/р, очень велико. случае мы имеем З.З. Уравнения одномерного изэнтроличеекого движения 85 как она изменяется в дальнейшем и каковы соотношения между различными параметрами в связи с этими изменениями? Эту задачу в общем случае нельзя свести к соответствующей задаче о стацио- нарном течении, как было сделано в предыдущем примере, и реше- ние должно быть получено из уравнений нестационарного дви- жения.
Вначале мы рассмотрим случаИ адиабатического движения невязкой жидкости. Дифференциальные уравнения неразрывности (2А) и количества движения (2.18) были получены в гл. 2. Для случая трубы с посто- янной площадью поперечного сечения множитель А в уравнении неразрывности можно сократить, после чего получится уравнение — + о — + и — х=О. зо ди зо зг зх ах ~ (3.7) Уравнение количества движения в форме Эйлера записывается так: — + и — + — — = О.. 1р (3.8) Зи Зи 1 ар зг ах е ах= Это уравнение не содержит членов, учитывающих трение, и справед. лино только при условии, что градиенты скорости достаточно малы для того, чтобы можно было пренебречь трением. Кроме того, подразумевается (в связи с отсутствием притока тепла извне), что имеют место условия изэнтропического течения.
Соот- ношение между р и р при изэнтропическом процессе можно пока что оставить в функциональной форме, р = р(е). Таким образом, давление явно зависит от плотности, а следователь- но, оно не является независимой переменной при решении данной задачи и может быть исключено из уравнения количества дви- жения с помощью соотношения — = — — = а'— Зр др Зо аЕ (3.9) зх ао зх зх в котором производная давления по плотности Фрфа заменяется через а'. Те „возмущения", о которых идет речь, определяются по отно- шению к части жидкости, находящейся в покое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
