Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 54
Текст из файла (страница 54)
, y m (t) называm ⇥Определениеm выполнено4.2.1.равенствоются линейно зависимыми на отрезке [a, b], если найдутся комплексmP2 [a, b] что(4.6)ные константы c1 , c2 , . . . ,Ycm(t)c, =|c✓,j | >8t0 такие,j=1хотя бы для одного ненулевого вектора констант c = (c1 , . . .
, cm )> .c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cm y m (t) = ✓,8t 2 [a, b].(4.5)Замечание 4.2.1. Если рассматриваемые вектор-функции принимаюттольковещественныезначения,определениях вектолинейнойЕсли жеравенство(4.5) выполненотолькотодляв тривиальногозависимостинезависимостирассматриватьра констант, иc =(0, . . . , 0)> , то достаточновектор-функцииy 1 (t), y 2 (t), .
. . лишь, y m (t)действительныекоэффициентыcj , j =. . . , m. [a, b].называются линейнонезависимымина1,отрезкеЭквивалентная 4.2.2.(4.5) векторнаяформа записиусловиялинейнойзаОпределениеОпределителемВронскогосистемызаданныхвисимостив том,функцийчто для матричной(t) порядка занаотрезке состоит[a, b] векторy 1 (t), y 2 (t), функции. . . , y m (t)Yназываетсяm ⇥ m выполненоравенствовисящийот переменнойt 2 [a, b] определитель матричной функции94Глава 4. Общая теория линейных системY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . .
, y m (t)):Y (t)c = ✓,8t 2 [a, b](4.6)(t) =det Y (t). вектор-функций устаНеобходимоеусловиелинейнойзависимостихотябы для одногоненулевоговектораконстант c = (c1 , . . . , cm )> .навливает следующая теорема.Замечание 4.2.1. Если рассматриваемые вектор-функции приниТеорема4.2.1.Если системазначения,вектор функцийy 1 (t), y 2 (t), . . линейной. y m (t)мают тольковещественныето в определенияхявляетсялинейнозависимой на отрезке[a, b],рассматриватьто определительВронзависимостии независимостидостаточнолишьдейскогоэтойсистемытождественноравеннулюнаэтомотрезке:ствительные коэффициенты cj , j = 1, . .
. , m.Определение 4.2.2. Определителемсистемы заданных(t) = 0, 8t 2 [a,Вронскогоb].на отрезке [a, b] вектор функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называется зависящий от переменнойt 2линейной[a, b] определительфункцииДоказательство.Из условиязависимостиматричной(4.6) вытекаетсу>Y(t)=(y(t),y(t),...,y(t)):12mществованиетакогоненулевоговектора c = (c1 , . . . , cm ) , что для произвольного фиксированного t0 2 [a, b] справедливо равенство(t) = det Y (t).Y (t0 )c = ✓.(4.7)Равенство (4.7) означает, что однородная система линейных алгебраических уравнений с числовой матрицей Y (t0 ) имеет нетривиальное решение c. По известной теореме алгебры это возможно только для вырожденной матрицы, то есть det Y (t0 ) = 0.Отметим, что к утверждению теоремы нетрудно было бы прийти ина основе определения (4.5), которое означает линейную зависимостьстолбцов матрицы Y (t) для любого t 2 [a, b].Без дополнительных предположений относительно вектор-функцийравенство нулю определителя Вронского является, вообще говоря, толь-ция из (4.3).
Подчеркнем, что количество вектор-функций совпадаетс порядком системы. Исследуем вопрос о связи свойства линейной зависимости решений линейной однородной системы дифференциальныхуравнений и значения определителя Вронского.Теорема 4.2.2. Пусть y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) – система вектор-функций решений линейной однородной системы (4.2) на отрезке [a, b]. Еслинайдется точка t0 2 [a, b], для которойdet Y (t0 ) = 0,то система вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), . .
. , y n (t) линейно зависима наотрезке [a, b] иdet Y (t) = 0, 8t 2 [a, b].96Глава 4. Общая теория линейных системДоказательство. Однородная система линейных алгебраических уравнений относительно вектора c = (c1 , . . . , cn )>Из теорем 4.2.1 и 4.2.2 вытекает следующая теорема об альтернативеY (t0 )c =✓(4.8)для определителя Вронского системывектор-функцийрешений линейнойоднороднойимеетненулевоесистемы.решение c0 = (c01 , . . .
, c0n )> в силу вырожденности чисТеорема4.2.3.Вронскогодля вектор-функций y 1 (t),ловойматрицыY (tОпределительопределитель.0 ), имеющей нулевой0y 2 (t),. . . , y n (t),решениямисистеПоложимy(t)являющихся= Y (t)c . Ясно,что y(t) линейной– решениеоднороднойоднороднойсистемыдифференциальныхуравнений(4.2)наотрезке[a,b],либотождемы (4.2) в силу первой части теоремы 4.1.2 и, кроме того, y(t0 ) = ✓ственноравенТакимнулю,образом,det Y (t) ⌘0 (и системавектор-функцийлинейнов силу (4.8).построеннаяфункцияявляется решением96Глава4.Общаятеориялинейныхсистемзависима),либоне обращаетсяв нольни в однойзадачи Кошис нулевымначальнымусловиемпри точке,t = t0 : det Y (t) 6= 0,8t 2 [a, b] (и система вектор-функций линейно независима).dy(t)следующая теорема об альтернативеИз теорем 4.2.1 и 4.2.2 вытекаетЗамечание4.2.2.Согласнотеореме=вектор-функцийA(t)y(t),y(t= линей✓.
система вектор0 )4.2.3,для определителя Вронского системырешенийdtфункцийнойоднородной системы.✓ 3◆✓2 ◆ЭтазадачаКошипо теоремесуществованияиt единственности2.1.2 имеt|t| y1 (t),Теорема4.2.3.ОпределительВронскогодля вектор-функцийy 1 (t)= 2 линейной, y 2 (t)= решениеy 2ет(t),на. . .рассматриваемом, y n (t), являющихсярешениямиоднороднойсистеотрезкетолькоодно–нулевое.Поэтомуtt|t|96дифференциальных уравнений (4.2) наГлава4.[a,Общаятеория линейных системмыотрезкеb], либо тожде0 ⌘ 0 (и0ственнонулю,Y (t)✓ равен= y(t)= Ydet(t)c= c01 yсистема+ cвектор-функций+ · · · +линейноc0n yникакой8tоднородной2 [a, b],из примера4.2.1неможетявляться1 (t)n (t),2 y 2 (t) решениемзависима), либо не обращается в ноль ни в одной точке, det Y (t) 6= 0,линейныхдифференциальныхуравнений второго порядка с8tсистемы[a, b] (и системавектор-функцийлинейно независима).и2рассматриваемаявектор-функцийявляетсязависиИз теорем 4.2.1исистема4.2.2 вытекаетследующаятеоремалинейнооб альтернативенепрерывныминаотрезке[1,1]коэффициентами.Замечание 4.2.2.
Согласно теореме 4.2.3, система вектормой определителяна отрезке [a,Вронскогоb]. Тогда всистемысилу теоремы4.2.1 имеемdet Y (t)линей= 0,длявектор-функцийрешенийфункций✓ 3◆✓2 ◆8t 2однородной[a, b].tt |t|нойсистемы.y (t) =, y (t) =12t2t|t|4.3. Фундаментальнаясистемарешений иТеорема 4.2.3. Определитель Вронского для вектор-функций y 1 (t),из примера4.2.1 не решениеможет являтьсярешением никакойоднороднойобщеелинейнойсистемыy (t), .
. . , y (t), являющихся решениями линейной однородной систе-2n дифференциальных уравнений второго порядка ссистемылинейныхнепрерывнымина отрезке [ 1, 1]уравненийкоэффициентами.мы дифференциальных(4.2) на отрезке [a, b],либо тождественноравен нулю, det Y (t)⌘ 0 (и системалинейно4.3.1. Фундаментальнаясистемарешенийвектор-функцийлинейной4.3.Фундаментальнаясистема решенийи в одной точке, det Y (t) 6= 0,зависима),либо не обращаетсяв ноль ниоднороднойсистемысистемыобщеерешениелинейной8t 2 [a, b] (и система вектор-функций линейно независима).Замечание 4.2.2.теореме 4.2.3,системавекторОпределение4.3.1.
СогласноФундаментальнойсистемойрешенийdy(t)=dty 1 (t)= 2 [a,, b]системойyназываетсяA(t)y(t)порядканаотрезкесовокупность n ли2 (t) = решенийОпределение4.3.1.nФундаментальнойtt|t|dy(t)нейно независимыхрешенийy 1 (t), y 2 (t),. . . , y n (t) этойсистемы. Солинейнойоднородной системыдифференциальныхуравнений=dtизпримера4.2.1неможетявлятьсярешениемникакойответствующаяэтим [a,решениямфункциональнаяматрица однороднойA(t)y(t)порядка n на отрезкеb] называетсясовокупность n линейнонезависимыхрешенийдифференциальныхy 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) этойуравненийсистемы.
Со-второго порядка ссистемылинейныхответствующая этим решениямфункциональнаяматрицаY (t) = [(y 11,(t),непрерывными на отрезке1] yкоэффициентами.2 (t), . . . , y n (t))4.3.1. Фундаментальная система решений линейнойфункцийоднороднойсистемысистемы✓ 3дифференциальных◆✓ 2 ◆уравненийлинейнойоднороднойtt |t|Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . .
. , y n (t))называется фундаментальной матрицей.4.3.Фундаментальнаясистема решенийиВсилутеоремы(4.1.2)фундаментальнаяматрицаявляетсярешеВ силу теоремы (4.1.2) фундаментальная матрица является решеобщеерешениелинейнойсистемыниемматричногодифференциальногоуравнения(4.4), а в силу теорениемматричногодифференциальногоуравнения (4.4),а в силу теореназывается фундаментальной матрицей.мыона имеетна отрезкеb] отличныйнуля определитель,мы(4.2.3)(4.2.3)она имеетна [a,отрезке[a, b]ототличныйот нуляdet Y (t) 6= 0.det Y (t) 6= 0.определитель,Доказательство. Зафиксируем любое t0 2 [a, b] и рассмотрим задачуКоши для матричного дифференциального уравнения4.3.
Фундаментальнаясистема решений и общее решение системы 97dY (t)= A(t)Y (t), Y (t0 ) = E,(4.9)dt4.3.1.матрица.Для любойоднороднойсистемылинейныхдиффегдеТеоремаE – единичнаяРасписываяматричныеравенствапо столбцам, заключаем,что задача(4.9)эквивалентнасовокупностииз n задачренциальныхуравненийвида(4.2)с непрерывнымина отрезке[a, b] коКошиэффициентамисуществует фундаментальная система решений.dy j (t)Доказательство.Зафиксируемt10 2и>рассмотрим= A(t)y j (t),y j (t0 ) = (0,любое. . . , 0, |{z}, 0,[a,. . .b], 0), j = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
