Главная » Просмотр файлов » Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова)

Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 56

Файл №1161598 Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (Ответы на общую часть) 56 страницаОбщая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598) страница 562019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Остановимсясначалана изслучае,коскогомногочленаM():функций y j (t) = hj exp{ j t} является решением системы (4.23) на [a, b]гда количестволинейно независимых собственных векторов в точностипо построению.равно n. Заметим, чтоэтомслучае E)собственныевекторы составляютMв(независимость) = det(A0.(4.26) сиДокажем линейнуюна=отрезке[a, b] построеннойnбазис пространства C .стемы функций.

Для этого, согласно теореме 4.2.3 об альтернативе дляТеорема 4.4.1.Пусть достаточноу матрицы убедиться,A имеется чторовноопределителяВронского,detnYлинейно(t) 6= 0 незадлявисимыхсобственныхвекторовнекоторогоt 2 [a, b], гдеY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), .

. . , y n (t)). Рассмотрим от4.4.1.фундаментальнойсистемыкогдарезок Построение[c, d], включающийв себя исходныйотрезокрешений,[a, b] и точкуt = 0:существует базис hизh2 , . . . , hвекторов1 , собственныхn,[a, b] ✓ [c, d], 0 2 [c, d].отвечающихсоответствующиммногочленсобственнымзначениямПоскольку характеристическийимеетстепень n, то поосновнойтеореме алгебрыу негоимеетсяровно n корней(собственныхВектор-функциииз (4.27)являютсярешениямисистемы(4.23) на от,,...,.значений),сучетомихкратности,...,,2C.Изкурсалинейной12n1n постояннаяj точке t матрицарезке[c, d]. В принадлежащейотрезку= 0 определитель4.4.Фундаментальнаясистема этомурешений:103алгебрыизвестно,чтосуществуетнеболее,чемnлинейнонезависимыхВронскогособственных векторовdetматрицыОстановимсясначала на случае, коY (0) = A.det(h1 , h2 , .

. . , hn ) 6= 0,Тогдавектор-функциигдаколичестволинейно независимых собственных векторов в точноститаккаквпротивномсоставляющиеY (0)векторыстолбцысоставляют– собственныеравно n. Заметим, что случаев этом случаесобственныеny 1 (t)= h1 ,exp{= hбы. . y n (t) = hn exp{(4.27)векторыh2 , . . 1. t},, hn.y–2 (t)былилинейноСогласнобазиспространстваC2 exp{2 t}, .зависимыми.n t} теоремеТеорема4.2.3 об 4.4.1.альтернативеопределителяВронскогоdet Y (t)6= 0 наПусть у дляматрицыA имеетсяровно n линейнонезаобразуютфундаментальнуюсистемурешений(4.23)напроизвольномвсемотрезке[c,d],азначитинаегочасти[a,b].висимых собственных векторовотрезке [a, b].h1 , h2 , .

. . , hn , системы решений, когда4.4.2. ПостроениефундаментальнойДоказательство.Рассмотримпроизвольный отрезок [a, b]. Для любогонесуществуетбазисаиз собственныхвекторовj = 1, . . . , n соответствующимсобственное значениесобственныйj и соответствующийотвечающихсобственнымзначениямвектор hj удовлетворяют уравнению (4.25), и тогда каждая из векторРассмотриму матрицыA, . .

. , решениемфункцийy j (t) =случай,hj exp{ когдасистемы (4.23)на [a, b]1j,t} является2количествоn .существующихлинейнонезависимыхсобственныхвекторовстрогоменьше,чемпоряпо построению.докДокажемсистемы n.Выпишемвсе попарно различныезначениялинейнуюнезависимостьна отрезке собственные[a, b] построеннойсиссоответствующимикратностямиk:jjстемы функций. Для этого, согласно теореме 4.2.3 об альтернативе дляопределителя Вронского, достаточно убедиться, что det Y (t) 6= 0 для.

, Y (t), (y i(t),6= yj (t),при. .i.6=2 , b],. .где` =некоторого1 ,t 2 [a,, yj,12n (t)). Рассмотрим отk,k,...,k,k>1,k+kрезок [c, d],1 включающийв `себя исходныйотрезок[a,· ·b]· +и kточку2j12+` = n.t = 0:[a, b] ✓ [c, d],0 2 [c, d].Вектор-функции из (4.27) являются решениями системы (4.23) на отрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определительВронскогоdet Y (0) = det(h1 , h2 , . . . , hn ) 6= 0,так как в противном случае составляющие Y (0) столбцы – собственные104104ГлаваОбщаятеориялинейныхсистемГлава4.

4.ОбщаятеориялинейныхсистемПустьдалее 2 {2 {1 , .1.,..,. . `,} `обозначает} обозначаетоднособственныхзначеПустьдалееодноиз изсобственныхзначенийссоответствующейкратностьюk.Покажем,чтокаждомутакомуний с соответствующей кратностью k. Покажем, что каждому такомусобственномузначениюможносопоставитьровноk вектор-функций,собственномузначениюможносопоставитьровноk вектор-функций,являющихсярешениямиоднороднойсистемы(4.23).Еслиразмерностьявляющихсярешениямиоднороднойсистемы(4.23).Еслиразмерностьs=dimKer(A E)E)собственногоподпространства,определяющаяs=dimKer(Aсобственногоподпространства,определяющаяко- количестволинейнонезависимыхсобственныхвекторовдляданноголичество линейно независимых собственных векторов для данного соб-собственногозначения,равнакратностисобственногозначения,= тоk, тоственногозначения,равнакратностисобственногозначения,s =s k,искомыефункциистроятсясогласно(4.27).искомыефункциистроятсясогласно(4.27).ЕслиразмерностьразмерностьсобственногособственногоподпространстваменьшекратноЕслиподпространстваменьшекратностисобственногозначения,s<k,то,какизвестноизкурсалинейсти собственного значения, s < k, то, как известно из курса линей1 11 11 1нойалгебры,можновыбратьсобственныевекторынойалгебры,можновыбратьсобственныевекторыh1 ,hh12, ,h.2.,.

,. .h. s, hтак,s так,1 1чтосостоящаяровноk векторовсистемасобственныхвекторовчтосостоящаяровноиз изk векторовсистемасобственныхвекторовhj hjm mприсоединенныхвекторовj => 1,и иприсоединенныхвекторовhj h, j m, m= =2, .2,. . ., .p.j,, pjj , =1, . 1,. . ., .s,. , ps,j p>j 1,p+p+···+p=k,которуюзапишемввидеp1 +1 p2 +2 · · + ps =s k, которую запишем в виде1 111p1 p1pj pj11h1 ,h1 , . . .. .

. hj ,hj ,. . .. . .hs ,hs ,2 22 22 2h1 ,h1 , . . .. . . hj ,hj ,. . .. . .hs ,hs ,.. ... .. .. . . . .. . . .. .. . . .. . . .. ..ps psh1 h,1 ,. . .. . .hj h, j ,. . .. . .hs h, s ,удовлетворяетуравнениямудовлетворяетуравнениям11112222 1AhAhj j = = hj ,hj ,1AhAh+j h+j ,hj ,j j = = hj h. . .. . .m mm m m m1 1AhAhhj hj , ,j j = = hj h+j +. . .. . .pj pjpj pj pj p1j 1AhAhhj hj .

.j j = = hj h+j +(4.28)(4.28)ССпомощьюсобственныхи присоединенныхвекторовпостроимсемейпомощьюсобственныхи присоединенныхвекторовпостроимсемействоизследующихkфункцийство из следующих k функций11y 1j (t)exp{t}, t},y 1j (t)= =hj hexp{✓ ✓j◆ ◆2 2 t t1 12 2y j (t)t}, t},y j (t)= = hj h+j 1!+ hj hjexp{exp{1!.. ..

..(4.29)(4.29)4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица⇣105105t m 1 2 t2 m 2tq m qt mhj2mqhj 1 ++ · · ·tq+ m h+ ...hj+ h2!j+ · · · + hjq! j+ . . .1!1!2!q!m 1 ⌘ ⌘1mt 11·+ tj exp{· ·· ·· +hj hexp{t}, t},(m1)!(m 1)!.. ... .⇣ mm tym+m (t) = hjy (t) = h j +jpjy jj j (t)(t) ==j⇣⇣ pt t pj pj1 1 t2 t2pj p2j 2tq ptjq q pj qpjjhhj j ++ hjhj + + hj hj + · +·· +· · ·q!+hj hj+ . .

.+ . . .1!1!2! 2!q!tpjtpj1 1 1 ⌘ 1 ⌘· ·· ·· +t},· +(pj 1)! hj hexp{j exp{ t},(p1)!jj = 1, . . . , s.j = 1, . . . , s.Докажем, что все функции из построенного семейства являются ре-Докажем,что всефункции системыиз построенногосемействафункциюявляются решениямилинейнойоднородной(4.23). Рассмотримmmшениямилинейнойоднородной системыРассмотримфункциюy j (t), вычислимее производнуюdy j (t)/dt (4.23).и сгруппируемрезультатmmyтак,вычислимпроизводнуюdy j (t)/dtи сгруппируемрезультатудобноеебыловоспользоватьсясоотношениями(4.28). Имеj (t),чтобыем чтобы удобно было воспользоваться соотношениями (4.28). Иметак,ем mdy j (t)=dy mjdt(t)⇣ m=1t m 2 t2 m 3tq m q 1tm 21dt= hj+ hj+ hj+ · · · + hj+ ··· +hj +⇣ m 1 1!t m 2 2!t2 m 3q! tq m q 1(m 2)!tm 212= hmj t+ mhj1 t++ · · ·tq+ mhjq+ · ·tm· +2hj +mhj22(m h +2)!+ hj +h1! +h2!+ ··· +hq!+ ··· +1! j2! 2 jq! qj(m 2)!m 2jt m 1 t mm1 2ttmm q2+ hj +hj++ 1· ⌘· · +hj+ ··· +hj +thj+2!h exp{q! t} =1!(m 2)!(m 1)! j⌘m 1⇣ mt +m 1t t2 mh12 exp{ t}tq = m qj= Ahj + Ahj (m+ 1)!Ah+ · · · + Ahj+ ...1!2! jq!⇣ m2t tmm1 1 1t⌘tqm 2m qm= Ahj · ·+· + Ahj+ j Ah· · j+(t), Ahj+ ...Ahexp{= ·Ayj t} +1!(m 1)! 2!q!⌘ m = 1, .

. . , p , j = 1, . . . , s.tm 11jm··· +ymj (t)(m1)!Ahj exp{ t} = Ay j (t),Следовательно,– решения системы (4.23).m = состоящая1, . . . , pj , изj объеди= 1, . . . , s.Докажем, что система из n вектор-функций,нения построенных для всех 2 { 1 , . . . , ` } решений вида (4.29), явСледовательно,ymсистемы (4.23).ляется линейно независимойна произвольномотрезке [a, b]. Рассмотj (t) – решенияДокажем,чтосистемаизnвектор-функций,состоящаяобъедирим отрезок [c, d], [a, b] ✓ [c, d], 0 2 [c, d]. Вектор-функциииз из(4.29)нения построенных для всех 2 { 1 , . .

. , ` } решений вида (4.29), является линейно независимой на произвольном отрезке [a, b]. Рассмотрим отрезок [c, d], [a, b] ✓ [c, d], 0 2 [c, d]. Вектор-функции из (4.29)Теорема 4.4.2. Система из n вектор-функций, состоящая из объ106Глава4. Общаятеория линейныхсистемединенияпостроенных для всехразличныхсобственныхзначений1,106Глава4. Общаятеория линейныхсистем2, .

. .` решений вида (4.29), является фундаментальной системойрешений (4.23) на произвольном отрезке [a, b].являютсясистемы (4.23)(4.23) нана отрезкеотрезке [c,[c,d].d]. ВВ принадлежапринадлежаявляются решениямирешениями системыщейэтомуотрезкуточке tt == 00 определительопределитель ВронскогоВронскогоэтойэтойсистемысистемыщейэтомуотрезку точке4.4.3.Построениефундаментальнойсистемырешенийотличенотнуля,посколькусоответствующаяматрицаY(0)составленаотличенв отнуля, посколькусоответствующая матрица Y (0) составленавещественномвидеизстолбцов,являющихсясобственнымиприсоединеннымивекторавектораиз столбцов, являющихся собственными ии присоединеннымимиматрицыA,которых линейнолинейно независиманезависимаииобразуетобразуетми ВматрицыA, совокупностьсовокупностькоторыхпредыдущемпараграфеприпостроениифундаментальнойсистеnn.

Согласно теореме 4.2.3 об альтернативе для определителябазисвв CбазисC.Согласнотеореме4.2.3обальтернативедляопределителямы решенийdetмыY фактическине использоваличтоматрицасистемыВронского,(t)6= 00 нана всемвсемотрезке [c,[c,d],d],то,а значитзначитинанаегоегочастичастиВронского,detY(t)=6отрезкеаивещественна. При этом фундаментальная система решений конструк[a,рассматриваемаясистемарешенийрешений(4.23)(4.23)являетсяявляетсялинейлиней[a,b].b].

ПоэтомуПоэтомурассматриваемаятивнопостроенав комплексной системаформе. Однакообщая теорема4.3.1 изнона [a,[a, b] и,и, следовательно,следовательно, составляетсоставляетфундаментальнуюфундаментальнуюно независимойнезависимойпараграфа4.3.1 нагарантируетсуществование фундаментальнойсистемысистемурешенийна этом отрезке.отрезке.

ТемТем самымсамым установленаустановленасправедлисправедлисистемурешенийрешений в вещественном виде. Возникает вопрос, нельзя ли также конвостьтеоремы.вость следующейследующейструктивнопостроить фундаментальную систему решений в веществен4.4.2.Системаизположительный.вектор-функций,состоящаяизобъобъТеоремаСистемаизnn вектор-функций,состоящаяизномТеоремавиде? Ответна этотвопросНижеданы пояснения.единенияпостроенныхвсех различныхразличныхсобственныхзначенийединениядля всехзначений1 ,1 ,Напомним,что у вещественнойматрицы собственныххарактеристическиймновида (4.29),являетсясистемой(4.29),является фундаментальнойфундаментальнойсистемой22,, ....

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
22,27 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее