Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Остановимсясначалана изслучае,коскогомногочленаM():функций y j (t) = hj exp{ j t} является решением системы (4.23) на [a, b]гда количестволинейно независимых собственных векторов в точностипо построению.равно n. Заметим, чтоэтомслучае E)собственныевекторы составляютMв(независимость) = det(A0.(4.26) сиДокажем линейнуюна=отрезке[a, b] построеннойnбазис пространства C .стемы функций.
Для этого, согласно теореме 4.2.3 об альтернативе дляТеорема 4.4.1.Пусть достаточноу матрицы убедиться,A имеется чторовноопределителяВронского,detnYлинейно(t) 6= 0 незадлявисимыхсобственныхвекторовнекоторогоt 2 [a, b], гдеY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), .
. . , y n (t)). Рассмотрим от4.4.1.фундаментальнойсистемыкогдарезок Построение[c, d], включающийв себя исходныйотрезокрешений,[a, b] и точкуt = 0:существует базис hизh2 , . . . , hвекторов1 , собственныхn,[a, b] ✓ [c, d], 0 2 [c, d].отвечающихсоответствующиммногочленсобственнымзначениямПоскольку характеристическийимеетстепень n, то поосновнойтеореме алгебрыу негоимеетсяровно n корней(собственныхВектор-функциииз (4.27)являютсярешениямисистемы(4.23) на от,,...,.значений),сучетомихкратности,...,,2C.Изкурсалинейной12n1n постояннаяj точке t матрицарезке[c, d]. В принадлежащейотрезку= 0 определитель4.4.Фундаментальнаясистема этомурешений:103алгебрыизвестно,чтосуществуетнеболее,чемnлинейнонезависимыхВронскогособственных векторовdetматрицыОстановимсясначала на случае, коY (0) = A.det(h1 , h2 , .
. . , hn ) 6= 0,Тогдавектор-функциигдаколичестволинейно независимых собственных векторов в точноститаккаквпротивномсоставляющиеY (0)векторыстолбцысоставляют– собственныеравно n. Заметим, что случаев этом случаесобственныеny 1 (t)= h1 ,exp{= hбы. . y n (t) = hn exp{(4.27)векторыh2 , . . 1. t},, hn.y–2 (t)былилинейноСогласнобазиспространстваC2 exp{2 t}, .зависимыми.n t} теоремеТеорема4.2.3 об 4.4.1.альтернативеопределителяВронскогоdet Y (t)6= 0 наПусть у дляматрицыA имеетсяровно n линейнонезаобразуютфундаментальнуюсистемурешений(4.23)напроизвольномвсемотрезке[c,d],азначитинаегочасти[a,b].висимых собственных векторовотрезке [a, b].h1 , h2 , .
. . , hn , системы решений, когда4.4.2. ПостроениефундаментальнойДоказательство.Рассмотримпроизвольный отрезок [a, b]. Для любогонесуществуетбазисаиз собственныхвекторовj = 1, . . . , n соответствующимсобственное значениесобственныйj и соответствующийотвечающихсобственнымзначениямвектор hj удовлетворяют уравнению (4.25), и тогда каждая из векторРассмотриму матрицыA, . .
. , решениемфункцийy j (t) =случай,hj exp{ когдасистемы (4.23)на [a, b]1j,t} является2количествоn .существующихлинейнонезависимыхсобственныхвекторовстрогоменьше,чемпоряпо построению.докДокажемсистемы n.Выпишемвсе попарно различныезначениялинейнуюнезависимостьна отрезке собственные[a, b] построеннойсиссоответствующимикратностямиk:jjстемы функций. Для этого, согласно теореме 4.2.3 об альтернативе дляопределителя Вронского, достаточно убедиться, что det Y (t) 6= 0 для.
, Y (t), (y i(t),6= yj (t),при. .i.6=2 , b],. .где` =некоторого1 ,t 2 [a,, yj,12n (t)). Рассмотрим отk,k,...,k,k>1,k+kрезок [c, d],1 включающийв `себя исходныйотрезок[a,· ·b]· +и kточку2j12+` = n.t = 0:[a, b] ✓ [c, d],0 2 [c, d].Вектор-функции из (4.27) являются решениями системы (4.23) на отрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определительВронскогоdet Y (0) = det(h1 , h2 , . . . , hn ) 6= 0,так как в противном случае составляющие Y (0) столбцы – собственные104104ГлаваОбщаятеориялинейныхсистемГлава4.
4.ОбщаятеориялинейныхсистемПустьдалее 2 {2 {1 , .1.,..,. . `,} `обозначает} обозначаетоднособственныхзначеПустьдалееодноиз изсобственныхзначенийссоответствующейкратностьюk.Покажем,чтокаждомутакомуний с соответствующей кратностью k. Покажем, что каждому такомусобственномузначениюможносопоставитьровноk вектор-функций,собственномузначениюможносопоставитьровноk вектор-функций,являющихсярешениямиоднороднойсистемы(4.23).Еслиразмерностьявляющихсярешениямиоднороднойсистемы(4.23).Еслиразмерностьs=dimKer(A E)E)собственногоподпространства,определяющаяs=dimKer(Aсобственногоподпространства,определяющаяко- количестволинейнонезависимыхсобственныхвекторовдляданноголичество линейно независимых собственных векторов для данного соб-собственногозначения,равнакратностисобственногозначения,= тоk, тоственногозначения,равнакратностисобственногозначения,s =s k,искомыефункциистроятсясогласно(4.27).искомыефункциистроятсясогласно(4.27).ЕслиразмерностьразмерностьсобственногособственногоподпространстваменьшекратноЕслиподпространстваменьшекратностисобственногозначения,s<k,то,какизвестноизкурсалинейсти собственного значения, s < k, то, как известно из курса линей1 11 11 1нойалгебры,можновыбратьсобственныевекторынойалгебры,можновыбратьсобственныевекторыh1 ,hh12, ,h.2.,.
,. .h. s, hтак,s так,1 1чтосостоящаяровноk векторовсистемасобственныхвекторовчтосостоящаяровноиз изk векторовсистемасобственныхвекторовhj hjm mприсоединенныхвекторовj => 1,и иприсоединенныхвекторовhj h, j m, m= =2, .2,. . ., .p.j,, pjj , =1, . 1,. . ., .s,. , ps,j p>j 1,p+p+···+p=k,которуюзапишемввидеp1 +1 p2 +2 · · + ps =s k, которую запишем в виде1 111p1 p1pj pj11h1 ,h1 , . . .. .
. hj ,hj ,. . .. . .hs ,hs ,2 22 22 2h1 ,h1 , . . .. . . hj ,hj ,. . .. . .hs ,hs ,.. ... .. .. . . . .. . . .. .. . . .. . . .. ..ps psh1 h,1 ,. . .. . .hj h, j ,. . .. . .hs h, s ,удовлетворяетуравнениямудовлетворяетуравнениям11112222 1AhAhj j = = hj ,hj ,1AhAh+j h+j ,hj ,j j = = hj h. . .. . .m mm m m m1 1AhAhhj hj , ,j j = = hj h+j +. . .. . .pj pjpj pj pj p1j 1AhAhhj hj .
.j j = = hj h+j +(4.28)(4.28)ССпомощьюсобственныхи присоединенныхвекторовпостроимсемейпомощьюсобственныхи присоединенныхвекторовпостроимсемействоизследующихkфункцийство из следующих k функций11y 1j (t)exp{t}, t},y 1j (t)= =hj hexp{✓ ✓j◆ ◆2 2 t t1 12 2y j (t)t}, t},y j (t)= = hj h+j 1!+ hj hjexp{exp{1!.. ..
..(4.29)(4.29)4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица⇣105105t m 1 2 t2 m 2tq m qt mhj2mqhj 1 ++ · · ·tq+ m h+ ...hj+ h2!j+ · · · + hjq! j+ . . .1!1!2!q!m 1 ⌘ ⌘1mt 11·+ tj exp{· ·· ·· +hj hexp{t}, t},(m1)!(m 1)!.. ... .⇣ mm tym+m (t) = hjy (t) = h j +jpjy jj j (t)(t) ==j⇣⇣ pt t pj pj1 1 t2 t2pj p2j 2tq ptjq q pj qpjjhhj j ++ hjhj + + hj hj + · +·· +· · ·q!+hj hj+ . .
.+ . . .1!1!2! 2!q!tpjtpj1 1 1 ⌘ 1 ⌘· ·· ·· +t},· +(pj 1)! hj hexp{j exp{ t},(p1)!jj = 1, . . . , s.j = 1, . . . , s.Докажем, что все функции из построенного семейства являются ре-Докажем,что всефункции системыиз построенногосемействафункциюявляются решениямилинейнойоднородной(4.23). Рассмотримmmшениямилинейнойоднородной системыРассмотримфункциюy j (t), вычислимее производнуюdy j (t)/dt (4.23).и сгруппируемрезультатmmyтак,вычислимпроизводнуюdy j (t)/dtи сгруппируемрезультатудобноеебыловоспользоватьсясоотношениями(4.28). Имеj (t),чтобыем чтобы удобно было воспользоваться соотношениями (4.28). Иметак,ем mdy j (t)=dy mjdt(t)⇣ m=1t m 2 t2 m 3tq m q 1tm 21dt= hj+ hj+ hj+ · · · + hj+ ··· +hj +⇣ m 1 1!t m 2 2!t2 m 3q! tq m q 1(m 2)!tm 212= hmj t+ mhj1 t++ · · ·tq+ mhjq+ · ·tm· +2hj +mhj22(m h +2)!+ hj +h1! +h2!+ ··· +hq!+ ··· +1! j2! 2 jq! qj(m 2)!m 2jt m 1 t mm1 2ttmm q2+ hj +hj++ 1· ⌘· · +hj+ ··· +hj +thj+2!h exp{q! t} =1!(m 2)!(m 1)! j⌘m 1⇣ mt +m 1t t2 mh12 exp{ t}tq = m qj= Ahj + Ahj (m+ 1)!Ah+ · · · + Ahj+ ...1!2! jq!⇣ m2t tmm1 1 1t⌘tqm 2m qm= Ahj · ·+· + Ahj+ j Ah· · j+(t), Ahj+ ...Ahexp{= ·Ayj t} +1!(m 1)! 2!q!⌘ m = 1, .
. . , p , j = 1, . . . , s.tm 11jm··· +ymj (t)(m1)!Ahj exp{ t} = Ay j (t),Следовательно,– решения системы (4.23).m = состоящая1, . . . , pj , изj объеди= 1, . . . , s.Докажем, что система из n вектор-функций,нения построенных для всех 2 { 1 , . . . , ` } решений вида (4.29), явСледовательно,ymсистемы (4.23).ляется линейно независимойна произвольномотрезке [a, b]. Рассмотj (t) – решенияДокажем,чтосистемаизnвектор-функций,состоящаяобъедирим отрезок [c, d], [a, b] ✓ [c, d], 0 2 [c, d]. Вектор-функциииз из(4.29)нения построенных для всех 2 { 1 , . .
. , ` } решений вида (4.29), является линейно независимой на произвольном отрезке [a, b]. Рассмотрим отрезок [c, d], [a, b] ✓ [c, d], 0 2 [c, d]. Вектор-функции из (4.29)Теорема 4.4.2. Система из n вектор-функций, состоящая из объ106Глава4. Общаятеория линейныхсистемединенияпостроенных для всехразличныхсобственныхзначений1,106Глава4. Общаятеория линейныхсистем2, .
. .` решений вида (4.29), является фундаментальной системойрешений (4.23) на произвольном отрезке [a, b].являютсясистемы (4.23)(4.23) нана отрезкеотрезке [c,[c,d].d]. ВВ принадлежапринадлежаявляются решениямирешениями системыщейэтомуотрезкуточке tt == 00 определительопределитель ВронскогоВронскогоэтойэтойсистемысистемыщейэтомуотрезку точке4.4.3.Построениефундаментальнойсистемырешенийотличенотнуля,посколькусоответствующаяматрицаY(0)составленаотличенв отнуля, посколькусоответствующая матрица Y (0) составленавещественномвидеизстолбцов,являющихсясобственнымиприсоединеннымивекторавектораиз столбцов, являющихся собственными ии присоединеннымимиматрицыA,которых линейнолинейно независиманезависимаииобразуетобразуетми ВматрицыA, совокупностьсовокупностькоторыхпредыдущемпараграфеприпостроениифундаментальнойсистеnn.
Согласно теореме 4.2.3 об альтернативе для определителябазисвв CбазисC.Согласнотеореме4.2.3обальтернативедляопределителямы решенийdetмыY фактическине использоваличтоматрицасистемыВронского,(t)6= 00 нана всемвсемотрезке [c,[c,d],d],то,а значитзначитинанаегоегочастичастиВронского,detY(t)=6отрезкеаивещественна. При этом фундаментальная система решений конструк[a,рассматриваемаясистемарешенийрешений(4.23)(4.23)являетсяявляетсялинейлиней[a,b].b].
ПоэтомуПоэтомурассматриваемаятивнопостроенав комплексной системаформе. Однакообщая теорема4.3.1 изнона [a,[a, b] и,и, следовательно,следовательно, составляетсоставляетфундаментальнуюфундаментальнуюно независимойнезависимойпараграфа4.3.1 нагарантируетсуществование фундаментальнойсистемысистемурешенийна этом отрезке.отрезке.
ТемТем самымсамым установленаустановленасправедлисправедлисистемурешенийрешений в вещественном виде. Возникает вопрос, нельзя ли также конвостьтеоремы.вость следующейследующейструктивнопостроить фундаментальную систему решений в веществен4.4.2.Системаизположительный.вектор-функций,состоящаяизобъобъТеоремаСистемаизnn вектор-функций,состоящаяизномТеоремавиде? Ответна этотвопросНижеданы пояснения.единенияпостроенныхвсех различныхразличныхсобственныхзначенийединениядля всехзначений1 ,1 ,Напомним,что у вещественнойматрицы собственныххарактеристическиймновида (4.29),являетсясистемой(4.29),является фундаментальнойфундаментальнойсистемой22,, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
