Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 51
Текст из файла (страница 51)
. . , n1.Это означает, что функция ye(t) является решением однородного диф3.4. Фундаментальнаясистемарешенийи общее решение71ференциальногоуравнения(3.19)и удовлетворяетнулевым начальнымусловиям в точке t0 . По теореме единственности решения задачи Кошидля линейного дифференциального уравнения эта функция равна нулюна отрезке [a, b]. Следовательно,ye(t) =nXk=1eck yk (t) = 0,t 2 [a, b],и функции yk (t), k = 1, 2, .
. . , n линейно зависимы. Тогда из теоремы3.3.1 следует, что определитель Вронского, составленный из этих функций, равен нулю на отрезке [a, b].Пусть существует точка bt 2 [a, b] такая, что W [y1 , . . . , yn ]( bt ) 6= 0.Тогда из предыдущего следует, что определитель Вронского не равеннулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yk (t), k = 1, 2, . . . , n0120a0 (t)n отрезке [ 1, 1].скольку W ['1 , '2 ](t) ⌘ 0 наXТаким образом, в методепроизводye(t) = вариацииeck yk (t)постоянных= 0, t 2 [a,вычислениеb],ных искомого частного решения(3.27) до порядка (n 1) включительноk=13.4.Фундаментальнаясистемаи t и являютсяпроисходит так, как будто бы функции cj (t)решенийне зависят оти функцииy(t),k=1,2,...,nлинейнозависимы.Тогдаиз теоремыобщееk решение линейного дифференциальногоконстантами.3.3.1 следует, что определитель Вронского, составленный из этих функуравненияПодставивфункциюyH (t)[a,вb].левую часть уравнения (3.24), имеемций,равен нулюна отрезкеbПусть существует точка Xt n2 [a, b] такая, что Wt ) 6= 0.n[y1 , .
. . , yn ]( bXf (t)(n)(n1)ТогдаизопределительВронскогоравен. .+aследует,cчто(t)+a1 (t)линейногоck (t)yk не(t)+.LyH (t)=предыдущегоa0 (t)·0 (t) системаk (t)y3.4.1.Фундаментальнаяkрешенийa(t)нулю нив одной 0точкеотрезкаyk (t), k = 1, 2, . . . , nk=1 [a, b], и функции k=1однородногоуравненияnnлинейно независимы на этом отрезке.XX0· · · + an 1 (t)ck (t)yk (t) + an (t)ck (t)yk (t).Определение3.4.1.системойрешенийлинейЗамечание 3.3.3.В Фундаментальнойсилу доказанной теоремырассмотренныевk=1k=1ногооднородногодифференциальногоуравнения n-го порядкапримере3.3.2 дваждынепрерывно дифференцируемыелинейно (3.19)незави-наПроизведяперегруппировкуслагаемыхиприняввовниманиеотрезкеb] называетсясистема из n линейно независимых опредена дансимые на[a,отрезке[ 1, 1] функции72Глава3.Общаятеориялинейныхдифференциальныхуравненийление(3.16)оператораL,получимном отрезке решений этого уравнения.'1 (t) = t3 , '2 (t) = t2 |t|nXLy(t)=f(t)+ck (t)Ly(t) = f (t)однородного+ 0 = f (t),однородногоt 2 [a, b],(3.19)Теорема3.4.1.
Улюбоголинейногоуравненияне могутрешениямилинейногоуравH являтьсяkникакогоk=1существуетсистема решений на [a, b].нениявторогофундаментальнаяпорядкапосколькуфункцииyk+(t),k =0 (t)1,постоянную2,, n являютсяДоказательство.Рассмотримматрицуэлементамиbij ,a0 (t)y 00 (t)a1 (t)y+.a. 2. (t)y(t)= 0, tрешениями2B[ с 1,1] однородногоуравнения(3.19),Ly(t)=0.Итак,мыубедились,чтопостроеннаяi, j = 1, 2, . . . , n такую, kчто det B 6= 0. Обозначим через yj (t) решениясзадачинепрерывными(t), a1 (t), a2условиями(t) и a0 (t) 6= 0, пофункцияКоши длякоэффициентамиуравнения (3.19) сa0начальнымискольку W ['1 , '2 ](t) ⌘ 0 на отрезке [ 1, 1].Zt(n 1)nyj (t0 ) = b1j , yj0 (t0 ) = b2j , . . .
, yj(t0 ) = bnj , j X=1, 2, . . . , n. (3.21)yH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + · · · + cn (t)yn (t) =yk (t) gk (⌧ )d⌧3.4.Фундаментальнаясистемарешенийи задачи КоПо теореме2.3.5 существованияи единственностирешенияk=1t0общеерешениелинейногоуравнениядифференциальногоши длялинейногодифференциальногоn-го порядка функявляетсярешениемнеоднородногоуравнения(3.24).ции yуравнениясуществуюти определеныоднозначно.Составленный из нихj (t)определитель Вронского W [y1 , . .
. , yn ](t), в силу условий (3.21), таков,что WПостроение[y1 , . . . , yn ](t0 )фундаментальной= det B 6= 0. Следовательно,теореме для3.3.2 лион3.4.5.системыпорешений3.4.1.Фундаментальнаясистемарешенийлинейногоне равеннулю нив одной точкеотрезка[a, b],и функцииyj (t)коэффилинейнонейногооднородногоуравненияс постояннымиоднородногоуравнениянезависимына отрезке[a, b]. Значит, они образуют фундаментальнуюциентамисистему решений уравнения (3.19) и теорема доказана.Определение3.4.1.
Фундаментальнойсистемойрешений cлинейРассмотримуравнениеn-гопорядкаЗамечаниелинейное3.4.1. Из однородноедоказательстватеоремы3.4.1следует,вещечтоногооднородногодифференциальногоуравненияn-гопорядка(3.19)ственнымипостояннымикоэффициентамиaj 2 R,j = определена0, . . . , n, a0 неод6= на0:фундаментальнаясистемарешений уравнения(3.19)отрезке [a, b] называется система из n линейно независимых на даннозначно.Действительно,выбираяразличныематрицы B такие,что(n)(n этого1)0 дифференциальных78Глава3.Общаятеориялинейныхуравненийномотрезкерешенийуравнения.ay(t)+ay(t)+···+ay(t)+ay(t)=0.(3.28)01n1ndet B 6= 0, мы получим различные фундаментальные системы решенийуравнения (3.19).ЭтоЗамечаниеуравнение можнозаписатьв операторномуравнениявиде Ly =aj0,диффе3.4.2. Таккак коэффициенты(t)гдевещеренциальныйоператор L с постояннымикоэффициентамиственны, то фундаментальнаясистема решенийлинейного однородного уравнения (3.19) также может быть выбрана вещественной.Ly = a0 y (n) (t) + a1 y (n1)(t) + · · · + an1y0(t) + an y(t).3.4.2.
Общее решение линейного однородного уравненияСопоставим дифференциальному оператору L многочленОпределение 3.4.2. Общим решением линейного однородного дифn 1( ) = a0 nn-го+ aпорядка+(3.19)· · · + aназывается(3.29)1n 1 + an . зависящееференциальногоMуравненияот n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, чтоМногочлен( ) называетсяхарактеристическиммногочленом,алюбое другоеMрешениеуравнения (3.19)может быть полученоиз негоуравнениев результате выбора некоторых значений этих постоянных.( ).
.=. ,0yn (t) – фундаментальная си(3.30)Теорема 3.4.2. Пусть y1 (t), yM2 (t),стема решений линейного однородного уравнения (3.19) на отрезкеназываетсяуравнением.[a, b]. Тогда характеристическимобщее решение этого уравненияна рассматриваемом от-n 1M ( ) = a0 n + a1 оператору+ ··· +Сопоставим дифференциальномуLaмногочленn 1 + an .(3.29)n 1) = a0 n + a1 характеристическим+ · · · + an 1 + an . многочленом,(3.29)Многочлен M (M)( называетсяауравнениеМногочлен M ( ) называется характеристическим многочленом, аM( ) = 0(3.30)уравнениеM ( уравнением.)=0(3.30)называется характеристическимОчевидно,характеристическимчто функция exp{ уравнением.0 t} является решением дифференциназываетсяальногоуравнения(3.28) тогдатолькотогда,когда дифференци0 является корОчевидно,что функцияexp{ и0 t}являетсярешениемнемхарактеристическогоуравнения(3.30).Обозначимчерез коральногоуравнения (3.28) тогдаи толькотогда,когда 0 является1, .
. . , `попарноразличные корниуравненияхарактеристическогомногочлена,нем характеристического(3.30). Обозначимчерез 1M, . .(. ,j )` = 0,корни характеристическогомногочлена,) =k`0,= n.а попарночерез k1различные, . . . , k` обозначимкратности этих корней,k1 +M· (· · j+а черезk1 , .
. . , kсправедливо` обозначим кратностиТакимобразом,равенствоэтих корней, k1 + · · · + k` = n.Таким образом, справедливо равенствоM ( ) = a0 (M ( ) = a0 (k1(1)k11)Лемма 3.4.1. Для любойЛемма 3.4.1. Для любойфункциифункцииg(t)g(t)ии произвольногопроизвольного(k22k)22)...(k``...(`))k` .(3.31)(3.31).n раз непрерывно дифференцируемойn раз непрерывно дифференцируемойсправедливоравенство22CCсправедливоравенствоn⇣⇣(m) (m)(m)nX⌘⌘(m)X( )g (t) (t)MM( )gLL exp{=exp{exp{ t}t}exp{ t}g(t)t}g(t) =.
.m!m!m=0m=0Доказательство. ПоПо формулеформуле ЛейбницаДоказательство.Лейбница⌘ X⇣ p m⌘⇣ dm m ⌘ ⌘p ⇣pdpd ⇣ exp{ t}g(t)⌘ = X Cnpp ⇣ddp mexp{ t} ⌘⇣dg(t) =p exp{ t}g(t) =p m exp{ t} dtmCg(t) =dtdtnp mmm=0dtpdtdtm=0ppX1) . . . (p (m 1))p p(p= exp{ t} X p(p 1) . .
. (p (m 1))pm!= exp{ t} m=0m!pm=0(t) =p gm (m)m (m)(t) =gX dm ⇣ ⌘ g (m) (t)ppm ⇣ ⌘ (m)Xg . (t)mdp m!d= exp{ t}.m=0m= exp{ t}d3.4. Фундаментальная система решений и общее решениеm!m=079Следовательно,n⇣⌘ XL exp{ t}g(t) =anp=0= exp{ t}⌘dp ⇣p p exp{ t}g(t) =dtnXp=0anpXdm ⇣pd mm=0= exp{ t}nXp=0так как dmполучаемp/dmanp⌘ g (m) (t)m!nXdm ⇣pd mm=0p⌘ g (m) (t)m!,= 0, m = p + 1, .
. . , n. Меняя порядок суммирования,nn⇣⌘Xg (m) (t) dm ⇣XL exp{ t}g(t) = exp{ t}anpp⌘=d(t)p gmnm ⇣ ⌘ (m)dX dm!(t)p=0m=0p g,= exp{ t}ann pn m m ⇣ ⌘ m!(m)XXddg(t)p,= exp{p=0t}anm=0pmdm!p=0m=0p=0m=0= exp{ t}anpnXтак как dm p /d m = 0, m = p + 1, . . . , n. Меняя порядок суммирования,получаемтак как dm p /d m = 0, m = p + 1, . . . , n. Меняя порядок суммирования,получаемnn⇣⌘⌘Xg (m)(t) dm ⇣X npn⌘L exp{ ⇣t}g(t) = exp{t}an p=⌘X g (m) (t)m dm ⇣Xpm!dL exp{ t}g(t) = exp{t}a=n pm=0p=0m!m=0mdp=0nX g (m) (t)nXM (m)(m)( ).g (m) (t)m!= exp{ m=0t}M ( ).= exp{ t}m=0m!ЛеммаЛемма3.4.2. 3.4.2.Для каждогокорняуравнеj характеристическогоДля каждогокорняj характеристического уравнения (3.30)кратностиkj функцииния (3.30)кратностиkj функции1exp{ jexp{t}, jtt},exp{t exp{.
. . , . . .t,kj t1kjexp{exp{j t}, j t},j t}j t}являютсярешениямиоднородногоуравнения(3.28).являютсярешениямиоднородногоуравнения(3.28).Доказательство.Так как– кореньуравнения(3.30)кратностиk k, j ,j – кореньДоказательство.Так какуравнения(3.30)кратностиjjто в(3.31)силу (3.31)справедливоравенството в силусправедливоравенствоM( ) = (M( ) = (где R( ) – многочлен степени nгде R( ) – многочлен степени nkj j )j ) R(kjR( ),),kj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
