Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ясно, что имеют место равенстваkj . Ясно, что имеют место равенстваdm M ( )Глава 3. ОбщаядифференциальныхmM (m) ( djтеория)M= ( ) линейных=0, m = 0, 1, . . . , kj уравнений1.m(m)d= jM ( j) == 0, m = 0, 1, . . . , kj 1.d m= jПоэтому из леммы 3.4.1 для g(t) = tp , p = 0, 1, . . . , kj 1 имеем80⇣L exp{j t}tp⌘(m)nXtp= exp{ j t}M (m) (m!m=0= exp{j t}nXj)=(m)m=kjtpm!M (m) (j)= 0 ( так как p < kj ).Таким образом, мы показали, что функцииexp{j t},t exp{j t},...,tkj1exp{j t},j = 1, . .
. , `.(3.32)являются решениями однородного дифференциального уравнения(3.28). Количество этих функций совпадает с порядком n дифференциального уравнения (3.28).Теорема 3.4.4. Система функций (3.32) составляет фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (3.28) на любом отрезке [a, b].являются решениями однородного дифференциального уравнения(3.28). Количество этих функций совпадает с порядком n дифференциального уравнения (3.28).Теорема 3.4.4. Система функций (3.32) составляет фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (3.28) на любом отрезке [a, b].80Глава 3. Общаялинейных теоремыдифференциальныхДоказательство.Длятеориядоказательствадостаточно уравненийдоказать,что система функций (3.32) является линейно независимой на любомотрезкеПредположим,что =нетривиальнаякомбинацияПоэтому[a,изb].леммы3.4.1 для g(t)tp , p = 0, 1, .
. .линейная, kj 1 имеемфункций из системы (3.32) обращается тождественно в ноль на некотором⇣отрезке: ⌘(m)nXtppL exp{ j t}t = exp{t}M (m) ( jk)` =1kXkX1 12 1jXm!m=0C1,k tk exp{ 1 t} +C2,ktk exp{ 2 t} + · · · +C`,k tk exp{ ` t} ⌘ 0,(m)nk=0k=0Xk=0tp= exp{ j t}M (m) ( j ) = 0 ( так как p < kj ).m!илиm=kjP1 (t) exp{1 t}+ P2 (t) exp{2 t}+ · · · + P` (t) exp{ ` t} ⌘ 0,(3.33)где Такимстепеньмногочленаsj = deg P6 kj 1, j = 1, . . .
, `. Без ограобразом,мы показали,чтоj (t)функцииничения общности можно считать, что многочлен P` (t) нетривиален,s`. . . , умноженияtkj 1 exp{ j(3.33)t}, jна= exp{1, . . . , `.1 t} (3.32)j t},P` (t)exp{= p`jtt},+ .t.exp{. , p` 6=0. Послеполучаемявляются решениями однородного дифференциального уравнения(3.28).P1Количествоэтих 2функцийпорядком(t) + P2 (t) exp{(· · · + P` (t)сexp{()t}дифферен⌘ 0.1 )t} +совпадает`1nциального уравнения (3.28).Теорема 3.4.4.
Система функций (3.32) составляет фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (3.28) на любом отрезке [a, b].Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать,что система функций (3.32) является линейно независимой на любомотрезке [a, b]. Предположим, что нетривиальная линейная комбинацияфункций из системы (3.32) обращается тождественно в ноль на некотором отрезке:kX1 1C1,k t exp{k1 t} +k=0kX2 1C2,k t exp{kk=0илиP1 (t) exp{1 t}+ P2 (t) exp{2 t}2 t} + · · · +kX` 1k=0C`,k tk exp{ ` t} ⌘ 0,+ · · · + P` (t) exp{ ` t} ⌘ 0,(3.33)где степень многочлена sj = deg Pj (t) 6 kj 1, j = 1, .
. . , `. Без ограничения общности можно считать, что многочлен P` (t) нетривиален,P` (t) = p` ts` + . . . , p` 6= 0. После умножения (3.33) на exp{ 1 t} получаемP1 (t) + P2 (t) exp{(21 )t}+ · · · + P` (t) exp{(`1 )t}⌘ 0.остроение линейногоуравненияпо его решениям873.4.6.Построениевещественнойфундаментальной системырешений для линейного однородного уравнения с3.5.
Построение линейного уравнения по его решениям. Формула Остроградского-Лиувилляпостоянными коэффициентами87пользуя представление линейного дифференциального уравненияТаккак все коэффициентыуравнения (3.28) вещественны, то фуне (3.36), можно3.5.2.получитьформулуопределителяВронского.Остроградского-Лиувилля82 ФормулаГлавадля3. Общаятеориялинейных дифференциальных уравненийдаментальнуюсистему решенийможно также конструктивно построитьыводе этой формулымы используем следующееправило дифферования функциональных определителей.усть D(t) – определительn-го порядка,элементамикоторогоявляв вещественномвиде. Характеристическиймногочлен в (3.29) имеетвеИспользуяпредставлениелинейногодифференциальногоуравненияфункции, непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b].
Произщественныекоэффициенты.Какследует дляиз курсалинейной алгебры,в виде(3.36),можнополучитькаждыйформулуопределителяВронского.я D0 (t) определителяD(t)равна суммеn определителей,егокомплекснозначныекорниидуткомплексносопряженнымипарами:торых полученПрииз D(t)выводепутемзаменыоднойизегострокнастрокуэтой формулы мы используем следующее правило диффеоизводных.= ↵ + i , ⇤ = ↵ i , ↵, 2 R. Тогда в построенной фундаментальнойренцированияфункциональныхопределителей.этого правила следуетпростая решенийформула дляпроизводнойопре- отвечающие вещественным корнямсистеме(3.32)функции,еля Вронского (t)=W [yD(t)из си-M1 , y2 , .
. .–, yопределительn ](t), составленногоПустьn-гопорядка,элементамикоторого аявляхарактеристическогомногочленавещественными,n (⇤), являютсяn раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функцийкомплекснымдифференцируемыекорням функции встречаютсятолькофункции, непрерывнона отрезке[a, b].комПроизy2 (t), . . .
, yn (t),ются отвечающие0плексносопряженнымипарами:водная D (t) определителя D(t) равна сумме n определителей, каждый01y1 (t)которыхy2 (t) получен. . . yn 1 из(t) D(t)yn (t)путем замены одной из его строк на строкуизs0000y(t)= t exp{↵t}(costy+i sinC t), y ⇤ (t) = ts exp{↵t}(cos t i sin t).B y1 (t)y2 (t). .
. yn 1 (t)n (t)CB из. производных.........BC0..(t) = det B.C....CB (n 2) Заменимкаждуютакихфункцийсоответствующимидействитель-опре(n 2)(n 2)пару(n2)Изэтогоправиласледуетпростаяформуладля производной@ y1(t) y2(t) . . . yn 1 (t) yn(t) Aными(n)(n) и мнимыми(n) частями:(n)yделителяy2 (t).
. . yn 1 (t) (t)yn =(t) W [y1 , y2 , . . . , yn ](t), составленного из сиВронского1 (t)стемы n раз непрерывно[a, b] функцийyR (t) дифференцируемых= Re y(t) = ts exp{↵t}наcos отрезкеt,(3.34)вительно, применим правило вычисления производной функциоsy(t)=Imy(t)=texp{↵t}sint.y(t),y(t),...,y(t),I12nого определителя к определителю Вронского (t). Все определи-в которых на производные заменяется любая строка, кроме поФункцииyR0(t), yI (t)являютсярешениями линейного однородного уравей, будут равны нулю,как определители,имеющиеодинаковые1y(t)y.решений.
. yn этогоyn (t)и. Следовательно, толькопоследнийв которомна12 (t)1 (t) уравнения.нения(3.28) определитель,как линейныекомбинации000водные заменена последняястрока, Bи представляетсобой yпроизy10 (t) образом(t). . . yсостоит(t) из n yвеществен(t) CПостроеннаятакимсовокупностьn2n10ю (t).CBлинейногоныхрешенийоднородногоуравнения(3.28)изадаетего фун......BC0 – фундаментальная....усть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)системарешений(t) = det B систему. вещественныхC.. решений. над полем..даментальнуючисел.Дляения (3.35).
Из теоремы 3.5.1 следует,это уравнение одноCB что(n2)(n2)(n2)(n2)Aобоснования@этогоосталосьубедитьсянезависимостио определяется своей фундаментальнойсистемой.Значит,y1 факта(t)y2поделив(t). . . вynлинейной(t)y(t)n1ение (3.36) на определительВронского(t),(n)мы получимуравне(n)(n)(n) отрезкенад полемвещественныхчиселпостроенной системына любомy1 (t)y2 (t). . .
yn 1 (t)yn (t).35). Тогда из записи уравнения (3.36) следует,что коэффициент[a, b]. Предположим противное, то есть некоторая линейная комбинацияс вещественнымикоэффициентами rj 2 R для построенных функций0(t)88Глава3.Общаялинейныхдифференциальныхуравненийa(t)=.1обращаетсяв ноль на теориянекоторомотрезке[a, b]. Не ограничиваяобщДействительно,(t) применим правило вычисления производной функционостиможносчитать,чтовтакойлинейнойкомбинациивстречаетсянального определителя к определителю Вронского (t). Все определивида оттели, суммавИнтегрируякоторыхнаt производныезаменяетсялюбая строка, кроме подо t, получим формулуОстроградского-Лиувилля022следней, будут равныкак определители,имеющиеодинаковые· · · + r1 yнулю,t · · · = 0,o r1 + r2 > 0.R (t) + r2 yIn(t) R+строки.
Следовательно,в котором на(t) = только(t0 ) expпоследнийa1 (⌧ )d⌧ определитель,, t 2 [a, b].t0Подставляяиз (3.34)последняявыражениястрока,для всехи встречающихсячерезпроизводныезамененапредставляет парсобойпроиз0соответствующиекомплексныефункции,получаемравенствоводную Следствие(t).3.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
