Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 50
Текст из файла (страница 50)
. . , 'm (t),определенные на отрезке [a, b] и принимающие комплексные значения.Никакая связь с решениями дифференциальных уравнений пока непредполагаются.Определение 3.3.1. Скалярные функции '1 (t), '2 (t), . . . , 'm (t) называются линейно зависимыми на отрезке [a, b], если найдутся такиеmPкомплексные константы ck 2 C, k = 1, . . . , m,|ck | > 0, что спраk=1ведливо равенство68'2 (t) + ·линейных· · + cm 'm (t)= 0, 8t 2 [a, b].(3.17)1 (t) + c2теорияГлава c3.1 'ОбщаядифференциальныхуравненийЕсли же равенство (3.17) выполнено только для тривиального набораc3.3.1.= 0, Рассмотримk =1, 2, . .
.линейных, n,натоскалярные'1 (t),уравнений'2 (t),k Общая68 константГлава 3.теориядифференциальныхПримеротрезке[a, b]функциифункции. . . , 'm (t) называются линейно независимыми на отрезке [a, b].2'1определения(t) = t3 , 'следует,|t|. если функции 'k (t)Замечание 3.3.1.
Из2 (t) = t что,Пример3.3.1.Рассмотримнаотрезке[a,функции и незадействительны, то при определении их линейнойb]зависимостиЕсли 0 <достаточноa < b, то рассматриватьна рассматриваемомотрезке '1 (t) = 'по2 (t) ивисимостидействительныезначения32'(t)=t,'(t)=t|t|.функциилинейностоянныхck , k = зависимы1, 2, . . 1. , m. на [a, b]. 2Если же a < 0 < b, то, положив t = d = min{|a|, b} и t = dЕсли 0 < ac1 '<1 (t)b, торассматриваемомотрезкеc1'd13(t)(t)0,ив равенстве+ c2на'2 (t)= 0, получим систему+ c=2 d'3 2=33функциина [a, b]. что c1 = c2 = 0, а значит '1 (t) =c1 dc2 dлинейно= 0, иззависимыкоторой следует,3 Если же a2 < 0 < b, то, положив t = d = min{|a|, b} и t =dt и '2 (t) = t |t| линейно независимы на [a, b].33в равенствеc'(t)+c'(t)=0,получимсистемуcd+cd=0,1 3.3.2.12 212зависиПример3.3.1 показывает, что линейная3 Замечание3cмостьdcd=0,изкоторойследует,чтоc=c=0,азначит'1 (t)от=12и независимость системы функций1в общем2случае зависит32t того,и '2 (t)= t |t| отрезкелинейно рассматриваетсянезависимы на [a,этаb].
система.на какомЗамечание3.3.2.Пример3.3.1 показывает,чтосистемылинейнаяфункцийзависиОпределение3.3.2.ОпределителемВронскогомостьфункцийобщемслучае зависитот'1 (t), и'2независимость(t), . . . , 'm (t), системысостоящейиз (m в 1)раз непрерывнодиффетого,на какомнаотрезкеэта система.ренцируемыхотрезкерассматривается[a, b] функций, называетсязависящий от пеОпределениеОпределителем Вронского системы функцийременнойt 2 [a, b]3.3.2.определитель'1 (t), '2 (t), .
. . , 'm (t), состоящейиз (m 1) раз непрерывно диффе01'2 (t). . .зависящий'm (t) от пе1 (t)ренцируемых на отрезке [a, b] 'функций,называетсяB '01 (t)'01 (t)...'0m (t) Cременной t 2 [a, b] определительBCW ['1 , . . . , 'm ](t) = det B......C...@A.01...'1 (t)'2 (t)...'m1)(t)(m1)(m1)(mB '1'01 (t)(t) '2'01 (t)(t) .. ..
.. 'm'0m (t)(t) CBCW ['1 , . . . , 'm ](t) = det B......C...Необходимое условие@линейнойзависимостискалярныхA.... функций(m 1)(m 1)(m 1)устанавливает следующая теорема.'1(t) '2(t) . . . 'm(t)Теорема 3.3.1. Если система (m 1) раз непрерывно дифференцируНеобходимоелинейнойфункцийзависимостифункцийемыхна отрезкеусловие[a, b] скалярных'1 (t), 'скалярныхявля2 (t), . . . , 'm (t)устанавливаеттеорема.ется линейно следующаязависимой наотрезке [a, b], то определитель Вронскогоэтойсистемытождественноравенэтом отрезке:Теорема3.3.1.Если система(m нулю1) разнанепрерывнодифференциру-емых на отрезке [a, b] скалярных функций '1 (t), '2 (t), . . .
, 'm (t) являW [' , . . . , 'm ](t) = 0, 8t 2 [a, b].ется линейно зависимой1 на отрезке[a, b], то определитель Вронскогоэтойсистемы тождественноравен 'нулюна этом зависимыотрезке: на [a, b],Доказательство.Так как функции(t) линейноkто существует нетривиальный набор констант c1 , c2 , . . . , cn , для котоW ['1 , . . . , 'm ](t) = 0, 8t 2 [a, b].рого на отрезке [a, b] справедливоравенство (3.17). В этом равенстве'1(t)'2(t)...'m(t)Необходимое условие линейной зависимости скалярных функцийустанавливает следующая теорема.Теорема 3.3.1. Если система (m 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций '1 (t), '2 (t), . .
. , 'm (t) является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронскогоэтой системы тождественно равен нулю на этом отрезке:W ['1 , . . . , 'm ](t) = 0,8t 2 [a, b].Доказательство. Так как функции 'k (t) линейно зависимы на [a, b],то существует нетривиальный набор констант c1 , c2 , . . . , cn , для которогоЛинейнаяна отрезке[a, b] справедливо(3.17).
ВронскогоВ этом равенстве3.3.зависимостьфункцийравенствои определитель69допустимо почленное дифференцирование до порядка m 1 включительно:Изследует,что вектор-столбцы3.3.(3.18)Линейнаязависимостьфункций иопределителяопределительВронскогоВронскоголинейно69(k)Линейная зависимость(k)3.3.функцийиопределительВронского69c1 '1 (t)для+ · · всех· + cmt '2m [a,(t)b].= Следовательно,0, k = 0, 1, . . . , этотm 1,t 2 [a, b]. (3.18)зависимыопределительравеннулю для всех t 2 [a, b].Из Из(3.18)следует,чточтовектор-столбцыопределителя(3.18)следует,вектор-столбцыопределителяВронскогоВронскоголинейнолинейноСледствие3.3.1.Еслидлясистемы(m1)разнепрерывнодиффезависимыдлядлявсехt 2t 2[a,[a,b].b].Следовательно,зависимывсехСледовательно,этотэтотопределительопределитель равенравенренцируемыхнаt 2отрезке[a, b] скалярных функций '1 (t), '2 (t), . .
. , 'm (t)нулюдлявсех[a,b].нулю для всех t 2 [a, b].определитель Вронского отличен от нуля в некоторой точке t0 2 [a, b],Следствие3.3.1.ЕслидлясистемыСледствие3.3.1.Еслидлясистемы(m(m 1)1)разразнепрерывнонепрерывнодиффедиффеW[',...,'](t)=60,ренцируемыхнаотрезке[a,b]скалярныхфункций'(t),...,m0 функций '1 1 (t),''2 (t),ренцируемых на отрезке [a,1b] скалярных(t),...,''mm(t)(t)2определительВронскогоотличенотнулявнекоторойточкеt2[a,b],определитель Вронского отличен от нуля в некоторой точке 0t0 2 [a, b],то эта система является линейно независимой на отрезке [a, b].WW['10 )06=[', .1 ., .определителя., .',m'](t) 6=0,0,Вронского является, воОтметим, что равенствонулюm ](tобще говоря, только необходимым условием линейной зависимости скато тоэтаэтасистемаявляетсялинейноотрезкесистемалинейнонезависимойнанаотрезке[a,[a,b].лярныхфункций.ИзявляетсяравенстванулюнезависимойопределителяВронскогонеb].вытечточторавенствонулюопределителяОтметим,равенствонулюопределителяВронскогоВронскогоявляется,является,вовокаетОтметим,ихлинейнаязависимость.общеговоря,тольконеобходимымусловиемлинейнойлинейнойзависимостизависимостискаскаобщеговоря,тольконеобходимымусловиемПример 3.3.2.
Для m = 2 рассмотрим на отрезке [ 1, 1] две функлярныхфункций.равенстванулюопределителя Вронского не вытелярныхфункций.ИзИзравенстванулюопределителяции, имеющиенулевойопределительВронского: Вронского не вытекаетлинейнаязависимость.каетих ихлинейнаязависимость.✓ 3◆21, 1] две функПример3.3.2.Дляm=2рассмотримнаотрезке[tt|t|Пример3.3.2.Дляm=2рассмотримнаотрезке[1,1]двефунк'1 (t) = t3 , '2 (t) = t2 |t|, W ['1 , '2 ](t) = det⌘ 0.2ции,имеющиенулевойопределительВронского:Вронского: 3t3t|t|ции,имеющиенулевойопределитель✓✓ 3 3 2 2 ◆◆Однако,' какпоказановышевпримере3.3.1,этифункции32t t t t|t||t|являются3 t ,2 t |t|,(t)='(t)=W[','](t)=det⌘ 0.1212'(t)=t,'(t)=t|t|,W[','](t)=det1 независимыми22 2 3t|t| ⌘ 0.линейнона отрезке [1 1,21].3t3t3t|t|Однако,показановышев впримерепримере3.3.1,3.3.1,этиэтифункциифункцииявляютсяявляютсяОднако,каккакпоказановыше3.3.2.Линейнаязависимостьинезависимостьрешенийлинейлинейнонезависимыминаотрезке[ [1,1,1].линейнонезависимыминаотрезке1].ного однородного дифференциального уравнения3.3.2.
Линейная зависимость и независимость решений линей3.3.2.Линейнаязависимостьи независимостьрешенийлинейРассмотримлинейноеоднородноедифференциальноеуравнениепоного однородногодифференциальногоуравненияногооднородногодифференциальногоуравнениярядка n c непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентамиРассмотримaj (t), j = 0,линейное.
. . , n, a0однородное(t) 6= 0 на [a,b]:дифференциальноеуравнение поРассмотримлинейноеоднородноедифференциальноеуравнениепорядка(n)n c непрерывнымикоэффици(n 1) на отрезке [a, b] действительными0рядкаn c непрерывнымина[a,действительнымикоэффициaентами+ a1 (t)y(t)отрезке+ ··· + a(t) + an (t)y(t) =0. (3.19)0 (t)yn b]1 (t)ya(t)j (t), j = 0, . . . , n, a0 (t) 6= 0 на [a, b]:ентами aj (t), j = 0, . .
. , n, a0 (t) 6= 0 на [a, b]:Рассмотримy10(t),y2a(t),(t)y(t). . . , yn=(t),(n) систему скалярных(n 1)a0 (t)y(t) + a1 (t)y(t) + · · функций· + an 1 (t)y(t) +0. явля(3.19)n(n)(n1)0ющихсялинейногооднородногоуравнения(3.19) =порядкаn.a0 (t)yрешением(t) + a1 (t)y(t) +· · · + an 1 (t)y(t) + an (t)y(t)0. (3.19)Подчеркнем,что количествофункцийфункцийв рассматриваемойсовРассмотримсистему скалярныхy1 (t), y2 (t), . . системе. , yn (t), являРассмотримсистемускалярныхфункцийy(t),y(t),...,y(t),являпадаетс порядкомо 2связисвойствали1nпорядкающихсярешениемуравнения.линейного Исследуемоднородноговопросуравнения(3.19)n.ющихсярешениемлинейногооднородногоуравнения(3.19)порядкаn.нейнойзависимостирешений линейногодифференциальПодчеркнем,что количествофункций воднородногорассматриваемойсистеме совПодчеркнем,чтоколичествофункцийврассматриваемойсистемесовногоуравненияи значенияопределителяВронского.отличиеот слупадаетс порядкомуравнения.Исследуемвопрос о Всвязисвойствали-дифференциального уравнения (3.19) поведение определителя Вронского является критерием линейной зависимости или независимости системы решений.
Справедлива следующая теорема, которую можно назватьтеоремой об альтернативе для определителя Вронского.Теорема 3.3.2. Для решений y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейного однородного уравнения (3.19) на отрезке [a, b] справедлива следующая альтернатива:/ либо W [y1 , . . . , yn ](t) ⌘ 0 на [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейно зависимы на этом отрезке;/ либо W [y1 , . . . , yn ](t) 6= 0 8t 2 [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)линейно независимы на [a, b].Доказательство.
Пусть в какой-то точке t0 определитель Вронского,составленный из функций yk (t), равен нулю, то есть W [y1 , . . . , yn ](t0 ) =0. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных c1 , c2 , . . . , cn :8c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) + · · · + cn yn (t0 ) = 0,>><c1 y10 (t0 ) + c2 y20 (t0 ) + · · · + cn yn0 (t0 ) = 0,(3.20)...>>:(n 1)(n 1)(n 1)c1 y1(t0 ) + c2 y2(t0 ) + · · · + cn yn(t0 ) = 0.Так как определитель этой системы равен определителю Вронского иравен нулю (W [y1 , . . . , yn ](t0 ) = 0), то эта система имеет нетривиальноеnPрешение ec1 , ec2 , . . . , ecn ,|eck | > 0.k=1Рассмотрим функциюye(t) =nXk=1eck yk (t).Из теоремы 3.2.1 следует, что эта функция является решением однородного дифференциального уравнения (3.19), а из (3.20) следует, что онаудовлетворяет начальным условиямye(m) (t0 ) = 0,m = 0, 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
