Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если коэффициент a1 (t) = 0, t 2 [a, b], то определительВронскогоWy(t), y фундаментальная](t) постояненна отрезке[a,2 b]. решений22 , . . .–Пусть. .[y, 1y,n+· · ·y+0.5(ry12 (t),ir.2 )y(t)0.5(r1 n+ir2 )y ⇤ (t) + · · · = 0, rсистема1 (t),1 + r2 > 0.уравнения (3.35). Из теоремы 3.5.1 следует, что это уравнение одноТакимобразом, нетривиальнаялинейная комбинацияc комплекснымизначноопределяетсясвоей фундаментальнойсистемой.Значит, поделивкоэффициентами для функций из исходной фундаментальной системыуравнение(3.36) на определитель Вронского (t), мы получим уравнерешений (3.32) обратилась в ноль, что противоречит ее линейной незание (3.35).Тогда из записи уравнения (3.36) следует, что коэффициентвисимости.a1 (t) =(t).(t)04.1.
Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравненияРассмотрим на отрезке [a, b] нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в векторнойформес непрерывнымина отрезке[a, b] действительнымикоэффициенРассмотримна отрезке[a, b] нормальнуюсистему линейныхобыктами ai,j (t)и непрерывными комплекснозначнымиfk (t): в векторнойновенныхдифференциальныхуравнений первого порядкаформе с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициенdy(t)= A(t)y(t)+ f (t), t 2 [a, b],fk (t):(4.1)тами ai,j (t) и непрерывнымикомплекснозначнымиdtгдеdy(t)0101= A(t)y(t)+(t)f (t),t 2 [a, b],(4.1)a(t)···af(t)111n1dtB.. C , f (t) = B ..
C ...A(t) = @ ...A@где.. 100 . A1aa11(t)···a(t)f(t)1n1(t)···a(t)f(t)n1nnnB ..CB .. C....= >@ системыA ,. . . ,fy(t)(t))@ .. (t),. A . (4.1) явНапомним,A(t)что=решениеy(t). = (y1nan1 (t)комплекснозначной· · · ann (t)fn (t)ляется, вообще говоря,вектор-функциейy(t) =u(t) + iv(t), гдеНапомним, что решение y(t) = (y1 (t), . . .
, yn (t))> системы (4.1) является, вообщеy(t) =u(t) = говоря,(u1 (t), . . комплекснозначной. , un (t))> , v(t) = (v1вектор-функцией(t), . . . , vn (t))> ,u(t) + iv(t), гдеа uj (t), vj (t) действительны, j = 1, . . . , n, В дальнейшем, если не огово>u(t)речь= (uпойдет, un (t))>v(t) = (v1 (t), . . . , vрешениях.1 (t), . . .именноn (t)) ,рено особо,о ,комплекснозначныха uj (t), vj (t) действительны, j = 1, . . .
, n, В дальнейшем, если не огово4.1.1.Линейныеоднородныесистемыреноособо,речь пойдетименно о комплекснозначныхрешениях.90Глава 4. Общая теория линейных системОпределение 4.1.1. Система (4.1) называется однородной, если4.1.1.однородныесистемыслучае система (4.1) назыf (t) ⌘Линейные✓ на отрезке[a, b]. В противномЗдесьи далее ✓ = (0, . . . , 0)> обозначает нулевой вектор-столбец соваетсянеоднородной.ответствующейОпределениеразмерности.4.1.1. Система (4.1) называется однородной, еслиf (t) ⌘✓ на 4.1.1.отрезке[a, y(t)b]. В– противномслучаеоднороднойсистема (4.1)назыЛеммаЕслирешение линейнойсистемываетсянеоднородной.дифференциальныхуравнений, то ↵y(t) также решение однородной системы для любого ↵ 2 C.
Если y 1 (t) и y 2 (t) – два решения линейнойоднородной системы, то y(t) = y 1 (t)+y 2 (t) также решение однороднойсистемы.Доказательство. Если dy(t)/dt = A(t)y(t), тоd{↵y(t)}dy(t)=↵= ↵A(t)y(t) = A(t){↵y(t)}.dtdtЕсли dy ` (t)/dt = A(t)y ` (t), ` = 1, 2, тоdy(t)d{y 1 (t) + y 1 (t)}dy (t) dy 1 (t)== 1+=dtdtdtdt= A(t)y 1 (t) + A(t)y 2 (t) = A(t)y(t).Следствие 4.1.1. Если y ` (t) – решения линейной однородной систеmPмы ` = 1, . . . , m, то y(t) =↵` y ` (t) также решение однородной системы для любых ↵` 2 C.`=14.1.2. Однородные матричные дифференциальные уравненияdtdtdtdt= A(t)y 1 (t) + A(t)y 2 (t) = A(t)y(t).Следствие 4.1.1. Если y ` (t) – решения линейной однородной систеmPмы ` = 1, .
. . , m, то y(t) =↵` y ` (t) также решение однородной си`=1Следствие4.1.1. Еслистемыдля любых↵` 2 yC.` (t) – решения линейной однородной систе-мы ` = 1, . . . , m, то y(t) =mP`=1↵` y ` (t) также решение однородной си-4.1.2.Однородныестемыдлялюбых ↵` 2 C.матричные дифференциальные уравненияРассмотримлинейнуюоднороднуюсистему обыкновенных4.1.2.Однородныематричныедифференциальныеуравнениядиффе-ренциальных уравнений с непрерывными на отрезке [a, b] действительнымикоэффициентамиai,j (t), i, j =систему1, 2, . . .обыкновенных,nРассмотримлинейную однороднуюдиффе-ренциальных уравнений с непрерывными на отрезке [a, b] действительdy(t)ными коэффициентами ai,j(t), i,=j A(t)y(t),= 1, 2, . .
. , nt 2 [a, b],dtгдегде(4.2)dy(t)0 dt = A(t)y(t), t 21[a, b],01 (4.2)a11 (t) · · · a1n (t)y1 (t)BCB..1.. A , y(t)0 = @1 .. CA(t)0= @ ...... A.a11 (t) · · · a1n (t)y1 (t)BCBCyn (t)a(t)···a(t)..4.1. Линейные.. nnA(t) = однородныеy(t) = @ ... уравнения@ .. n1 . . . системыA ,и матричныеA.an1 (t) · · · ann (t)yn (t)91Пусть имеется n вектор-функцийy j (t) = (y1j (t), .
. . , ynj (t))> ,j = 1, . . . , n.Составим матрицу Y (t), столбцами которой являются данные векторфункции:01· · · y1n (t).. C ..... Ayn1 (t) · · · ynn (t)y11 (t)BY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) = @ ...(4.3)Сопоставим системе (4.2) матричное однородное дифференциальноеуравнениеdY (t)= A(t)Y (t),(4.4)dtгде производная матричной функции равна матрице, состоящей из производных элементов исходной матрицы, то есть dY (t)/dt = dyij (t)/dt .По определению, решением матричного дифференциального уравнения (4.4) на отрезке [a, b] называется непрерывно дифференцируемаяна данном отрезке матричная функция вида (4.3), обращающая уравнение (4.4) в тождество. Уравнение (4.4) имеет по сравнению с системой (4.2) более симметричную форму записи, напоминающую скалярное уравнение первого порядка: и "коэффициент"A(t) уравнения и искомая функция Y (t) являются объектами одинаковой природы – матричными функциями.
Связь между решениями системы (4.2) и матричнымуравнением (4.4) устанавливает следующая теорема.Теорема 4.1.1. Вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) являются решениями однородной системы (4.2) на отрезке [a, b] тогда и тольконое уравнение первого порядка: и "коэффициент"A(t) уравнения и искомая функция Y (t) являются объектами одинаковой природы – матричными функциями.
Связь между решениями системы (4.2) и матричнымуравнением (4.4) устанавливает следующая теорема.Теорема 4.1.1. Вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) являются решениями однородной системы (4.2) на отрезке [a, b] тогда и толькотогда, когда составленная из этих функций матрица Y (t) вида (4.3)является решением матричного дифференциального уравнения (4.4).Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим решения y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) системы (4.2) и составим из них матрицуY (t) вида (4.3).
Поскольку9292Глава 4. Общая теория линейных системdy j (t)Глава 4. Общая теория линейных систем= A(t)y j (t), j = 1, . . . , n,dtто для соответствующей матричной производной, элементы которойтосгруппированыдля соответствующейматричнойпо столбцам,получаемпроизводной,равенства элементы которойсгруппированы по столбцам, получаем равенства✓◆dY (t) ✓ dy 1 (t) dy 2 (t)dy n (t)◆dY dt(t) = dy 1dt(t) ,dy 2dt(t) , . . .
,dy ndt(t) ==,,...,=dtdtdtdt (t), Ay (t), . . . , Ay (t)) = A(t)Y (t).= (Ay12n= (Ay 1 (t), Ay 2 (t), . . . , Ay n (t)) = A(t)Y (t).То есть выполнено матричное уравнение (4.4). Аналогично, расписываяматричноеуравнение(4.4) поуравнениестолбцам,(4.4).доказываетсядостаточность.Тоесть выполненоматричноеАналогично,расписываяматричное уравнение (4.4) по столбцам, доказывается достаточность.Теорема 4.1.2.
Пусть матричная функция Y (t) является решениемТеоремаматричногоуравнения(4.4). Тогда:функция Y (t) является решени4.1.2.Пусть матричнаяем матричного уравнения (4.4). Тогда:1. для любого вектора констант c = (c1 , c2 , . . . , cn )> , cj 2 C, вектор>функция= Y (t)cудовлетворяет1. длялюбогоy(t)вектораконстантc = (c1 , cсистеме, cj 2 C, вектор2 , . .
. , cn )(4.2);функция y(t) = Y (t)c удовлетворяет системе (4.2);2. для любой матрицы констант B = bi,j , bi,j 2 C, i, j = 1, . . . , n,матричнаяфункцияконстантX(t) = YB(t)Bудовлетворяет2. длялюбой матрицы= bi,j, bi,j 2 C, i, j уравнению= 1, . . . , n,(4.4).матричная функция X(t) = Y (t)B удовлетворяет уравнению(4.4).Доказательство. 1. Если матричная функцияДоказательство.
1. Если матричная функцияY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))Y (t) = (y (t), y (t), . . . , y n (t))является решением уравнения1(4.4),2 то по теореме4.1.1 вектор-столбцыy j (t) являютсярешениямисистемыкаки ихвектор-столбцылинейная комявляетсярешениемуравнения(4.4), (4.2),то по такжетеореме4.1.1бинацияy j (t) являются решениями системы (4.2),также как и их линейная комnXбинацияy(t) = Y (t)c = n cj y j (t).Xj=1y(t) = Y (t)c =cj y j (t).j=12. В силу линейности операции дифференцированияи ассоциативностиоперации произведения матриц, имеем:2. В силу линейности операции дифференцирования и ассоциативностиоперации произведения матриц, имеем:dX(t)ddY (t)={Y (t)B} =·B =dtdtdtdX(t)ddY (t)={Y (t)B} = = {A(t)Y· B =(t)} B = A(t) {Y (t)B} = A(t)X(t).dtdtdt= {A(t)Y (t)} B = A(t) {Y (t)B} = A(t)X(t).Определение 4.2.1.
Вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называбинацияnютсязависимымина отрезке[a, b], если найдутсяX4.2. линейноЛинейнаязависимостьвектор-функцийи комплексmPy(t) = Y (t)c =cj y j (t).определительные константыc1 , c2 , . . Вронского. , cm ,|cj | > 0 такие, чтоj=1j=12. В силу линейности операции дифференцирования и ассоциативности4.2.1.Линейнаязависимостьc1 y 1 (t) +c2 yматриц,· произвольных+ cm y m (t) = ✓, вектор-функций8t 2 [a, b].(4.5)операциипроизведения2 (t) + · ·имеем:Если(4.5)толькодля тривиальноговектоdX(t)ddYвыполнено(t)В жеэтомравенствопараграферассматриваютсяпроизвольныекомплекснознач={Y (t)B} => ·B =раконстант,, 0)dty 2,(t),то.
.вектор-функцииy 1 (t), yна. . . , y m (t)ныевектор-функции. , y m (t), определенныеотрезкеdtdt c = (0, .y. 1. (t),2 (t),>[a, b], то есть линейноy j (t) = (yнезависимыми. . . , yjm(t)}(t))наj A(t)= 1,{Y. .[a,. , m,2 N. Никаназываютсяотрезкеb]. m= {A(t)YB,=(t)B}= A(t)X(t).j1 (t),кая связь с решениями дифференциальных уравнений и даже непреЭквивалентная (4.5) векторная форма записи условия линейной зарывность этих функций пока не предполагаются.висимости состоит в том, что для матричной функции Y (t) порядкаВектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
