Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 57
Текст из файла (страница 57)
.. имеет`` решенийгочленвещественныекоэффициенты.Как следует из курсалирешенийалгебры,произвольномотрезке[a,решений(4.23) наегопроизвольномотрезкекорни[a,b].b]. (собственные значениянейнойкомплекснозначныематрицы системы) идут комплексно сопряженными парами: = p + iq,⇤= pПостроениеiq, M ( ) =фундаментальной0, M ( ⇤ ) = 0. Тогдав построеннойв теореме4.4.3.Построениесистемырешений4.4.3.фундаментальнойсистемырешений4.4.2 фундаментальнойсистемевещественномвидевв вещественномвиде решений вектор-функции, отвечающиевещественным собственным значениям, являются вещественными, а отвечающиекомплекснымсобственнымзначениямфункции встречаютсяВ предыдущемпредыдущемпараграфеприфундаментальнойсистеВпараграфепри построениипостроениифундаментальнойсистетолькокомплексносопряженнымипарами.Заменимвфундаментальмырешениймыфактическинеиспользовалито,чтоматрицасистемымы решений мы фактически не использовали то, что матрица системынойсистеме решенийкаждую такую пару функцийвещественна.При этомвещественна.Приэтом фундаментальнаяфундаментальная системасистема решенийрешенийконструкконструк4.4.Фундаментальнаясистемарешений:постояннаяматрица107тивнопостроенавкомплекснойформе.Однакообщаятеорема4.3.1тивно построенакомплексной4.3.1изизy(t) = (yв1 (t),.
. . , yn (t))>форме., y ⇤ (t)Однако= (y1⇤ (t),общая. . . , yn⇤теорема(t))>параграфа 4.3.14.3.1 гарантируетгарантирует существованиепараграфасуществование фундаментальнойфундаментальнойсистемысистемырешенийввещественномвиде.Возникаетвопрос,нельзялитакжерешенийв вещественномвиде. Возникаетвопрос, частями,нельзя ли такжеконконсоответствующимидействительнымии мнимымиструктивно построить фундаментальную систему решений в вещественструктивно построить фундаментальную систему решений в вещественном виде? Ответ на этотположительный.Ниже даны пояснения.y R (t)вопрос= Re y(t),y I (t) = Im y(t).ном виде? Ответ на этотвопросположительный.Ниже даны пояснения.Напомним, что у вещественной матрицы характеристический мноНапомним, что у вещественной матрицы характеристический многочленимеет вещественные коэффициенты.
Как следует из курса лиТак какгочлен имеет вещественные коэффициенты. Как следует из курса линейной алгебры, его комплекснозначные корни (собственные значенияRнейной алгебры,его комплекснозначныекорни⇤ (t)(собственныезначения(t) = 0.5(y(t)y ⇤ (t)), y I (t)= 0.5i(yy(t)),матрицыy системы)идут+комплексносопряженнымипарами:= p(4.30)+ iq,матрицысистемы)идуткомплексносопряженнымипарами:=p+ iq,⇤⇤=R p iq,M ( ) = 0, M ( ⇤) = 0.
Тогда в построенной в теореме⇤Ip(t), yiq,(t)M) = 0,M ( )решений= 0.Тогдав построеннойв теоремето=y фундаментальной– (решенияоднороднойсистемыкаклинейные отвечающиекомбинации4.4.2системевектор-функции,4.4.2фундаментальнойсистемерешенийвектор-функции,отвечающиерешений. Построеннаятакимобразом совокупностьвектор-функцийсовещественнымсобственнымзначениям,являются вещественными,а отстоитизnвещественныхрешенийлинейнойоднороднойсистемыдифвещественнымсобственнымзначениям,являютсявещественными,аотвечающие комплексным собственным значениям функции встречаютсяференциальныхуравненийи задаетеефундаментальнуюсистему ревечающиекомплекснымсобственнымзначениямфункциивстречаютсятолькокомплексносопряженнымипарами.Заменимв фундаментальшений.толькокомплексносопряженнымиЗаменим в фундаментальнойсистемерешенийкаждую такуюпарами.пару функцийДля обоснованияэтого фактаосталосьубедиться в линейной незаной системерешений каждуютакуюпару функций>⇤висимостинадна люy(t)= полем(y1 (t), вещественных.
. . , yn (t)) , yчисел(t) =построенной(y1⇤ (t), . . . , yn⇤системы(t))>>⇤⇤⇤y(t)[a,= b].(y1Предположим(t), . . . , yn (t)) противное,, y (t) =то(y1есть(t), .некоторая. . , yn (t))>линейнаябом отрезкекомбинация с вещественными коэффициентами rj 2 R для построенныхфункций обращается в ноль на некотором отрезке [a, b]. Не ограничиваяобщности можно считать, что в такой линейной комбинации встречается сумма вида· · · + r1 y R (t) + r2 y I (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Подставляя из (4.30) выражения для всех встречающихся пар черезсоответствующие комплексные вектор-функции, получаем равенство· · · + 0.5(r1ir2 )y(t) + 0.5(r1 + ir2 )y ⇤ (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.2.1.
ЗадачаКошиКоши дляЗадачауравнения первого порядка,разрешенного относительно производной2.1.ЗадачаКоши дляуравненияпервого24.Теоремысуществованияи единственностирешениязадачипорядка,Коши дляразрешенногопроизводнойобыкновенногодифференциальногоуравненияпервогопорядка,Пустьфункцияf (t, y) относительноопределенаи непрерывнав прямоугольникеразрешенного относительно производной.⇧ = {(t, y) : |t t0 | 6 T, |y y0 | 6 A}.Пусть функция f (t, y) определена и непрерывна в прямоугольникеРассмотрим на отрезке [t0 T, t0 + T ] дифференциальное уравнение⇧ = {(t, y) : 0|t t0 | 6 T, |y y0 | 6 A}.y (t) = f (t, y(t))(2.1)Рассмотрим на отрезке [t0 T, t0 + T ] дифференциальное уравнениес условиемy 0 (t)(2.1)y(t=y0y(t)).(2.2)0 ) f=(t,Требуетсяс условием определить функцию y(t), удовлетворяющую уравнению(2.1) и условию (2.2).
Эта задачазадачей с начальным услоy(tназывается(2.2)0 ) = y0 .вием или задачей Коши.Требуетсяопределитьy(t),чтоудовлетворяющуюРассмотримотрезок функцию[t1 , t2 ] такой,t0 T 6 t1 < t2 уравнению6 t0 + T ,(2.1)иусловию(2.2).Этазадачаназываетсязадачейсначальнымуслоt0 2 [t1 , t2 ].вием или задачей Коши.Определение2.1.1.
Функцияȳ(t) называетсяКоРассмотрим отрезок[t1 , t2 ] такой,что t0 T1 решением6 t1 < t2задачи6 t0 +T,ши(2.1),(2.2)наотрезке[t,t],если:ȳ(t)2C[t,t],|ȳ(t)y|6A12120t0 2 [t1 , t2 ].для t 2 [t1 , t2 ], ȳ(t) удовлетворяет уравнению (2.1) для t 2 [t1 , t2 ] иОпределение2.1.1. Функция ȳ(t) называется решением задачи Коусловию(2.2).ши (2.1), (2.2) на отрезке [t1 , t2 ], если: ȳ(t) 2 C 1 [t1 , t2 ], |ȳ(t) y0 | 6 Aдля t 2 [t1 , t2 ], ȳ(t) удовлетворяет уравнению (2.1) для t 2 [t1 , t2 ] и2.1.1.
Редукция к интегральному уравнениюусловию (2.2).Покажем, что решение задачи с начальным условием (2.1), (2.2) эк2.1.1.Редукцияк некоторогоинтегральномууравнениювивалентнорешениюинтегральногоуравнения.Рассмотрим на отрезке [t0 T, t0 + T ] уравнение относительно неизПокажем,что y(t)решение задачи с начальным условием (2.1), (2.2) эквестнойфункциививалентно решению некоторого интегрального уравнения.Рассмотрим на отрезке [t0 T,Ztt0 + T ] уравнение относительно неиз26Глава 2.
ЗадачаКошивестнойфункции y(t) y(t) = y0 + f (⌧, y(⌧ ))d⌧.(2.3)26Глава 2. ЗадачаКошиt0 tZТакое уравнение называетсяпоскольку неизвестнаяy(t) = y0 + интегральным,f (⌧, y(⌧ ))d⌧. поскольку(2.3)Такое уравнение называетсяинтегральным,неизвестнаяфункция y(t) входит под знак интеграла.t0функция y(t) входит под знак интеграла.Леммаявляется решениемрешениемзадачизадачиКошиКоши(2.1),(2.1),Лемма2.1.1.2.1.1. ФункцияФункция ȳ(t)ȳ(t) является(2.2)и толькотолько тогда,тогда, когдакогдаȳ(t)ȳ(t)2 2C[tC[t, 1t , ],t2 ],(2.2)нанаотрезкеотрезке [t[t11,,tt22]] тогдатогда и1 2|ȳ(t)y|6Aдляt2[t,t]иȳ(t)удовлетворяетуравнению(2.3)для012|ȳ(t) y0 | 6 A для t 2 [t1 , t2 ] и ȳ(t) удовлетворяет уравнению (2.3) дляt2t 2[t1[t,1t,2t].2 ].Доказательство.ȳ(t) являетсяявляетсярешениемрешениемзадачизадачис нас наДоказательство.
ПустьПусть функцияфункция ȳ(t)чальнымотрезке [t[t11, ,tt22].].ИзИзопределенияопределения2.1.12.1.1чальнымусловиемусловием (2.1),(2.1), (2.2)(2.2) на отрезкеследует,6AA длядляtt22[t[t1 ,1t,2t].2 ].Покажем,Покажем,чтоследует,чточтоȳ(t)ȳ(t)22C[tC[t11,,tt22],], |ȳ(t) y00|| 6чтоȳ(t)для tt 22[t[t11, ,t2t2].].ИнтегрируяИнтегрируяуравнеуравнеȳ(t)удовлетворяетудовлетворяет уравнениюуравнению (2.3) дляние(2.1)(2.1)ототt0t0додоt,t, получимполучимниеZZt tZZtt0(⌧)d⌧)d⌧ == ff (⌧,ȳȳ0 (⌧(⌧, ȳ(⌧ȳ(⌧))d⌧,))d⌧, tt22[t[t1 ,1t,2t].2 ].t0t0tt00Учитывая начальное условие (2.2), имеем1122012ȳ(t)удовлетворяет(2.3) дляt 2 [t1задачи, t2 ]. сИнтегрируяуравДоказательство.Пусть уравнениюфункция ȳ(t) являетсярешениемнание(2.1)условиемот t0 доt, получимчальным(2.1),(2.2) на отрезке [t1 , t2 ].
Из определения 2.1.1следует, что ȳ(t) 2 C[t1 , t2 ], |ȳ(t) y0 | 6 A для t 2 [t1 , t2 ]. Покажем, чтоȳ(t) удовлетворяет уравнению(2.3) дляZtZt t 2 [t1 , t2 ]. Интегрируя уравнение (2.1) от t0 до t, получим0ȳ (⌧ )d⌧ =Ztt0ȳ 0 (⌧ )d⌧ =Ztf (⌧, ȳ(⌧ ))d⌧,t0f (⌧, ȳ(⌧ ))d⌧,t 2 [t1 , t2 ].t 2 [t1 , t2 ].ttУчитывая начальноеусловие(2.2), имеем00Учитывая начальное условие (2.2), имеемZtZtȳ(t)+ȳ(⌧ ))d⌧,f (⌧, ȳ(⌧ȳ(t) =y0 += yf0(⌧,t 2 [t))d⌧,1 , t2 ].t0t0t 2 [t1 , t2 ].Следовательно, функция ȳ(t) удовлетворяет интегральному уравнениюСледовательно,функция ȳ(t) удовлетворяет интегральному уравнен(2.3) при t 2 [t1 , t2 ].(2.3)прифункцияt 2 [t1 ,ȳ(t)t2 ].такова, что ȳ(t) 2 C[t1 , t2 ], |ȳ(t) y0 | 6 A дляПустьt 2 Пусть[t1 , t2 ] и ȳ(t)удовлетворяетуравнениючто(2.3) ȳ(t)для t 22 [tC[tфункцияȳ(t) такова,t2 ],есть|ȳ(t) y0 | 6 A д1 , t21],, тоt 2 [t1 , t2 ] и ȳ(t) удовлетворяетуравнению (2.3) для t 2 [t1 , t2 ], то естZtȳ(t) = y0 +f (⌧, ȳ(⌧ ))d⌧,t0ȳ(t) = y +Ztt 2 [t1 , t2 ].(2.4)f (⌧, ȳ(⌧ ))d⌧,t 2 [t , t ].01 2Покажем, что ȳ(t) является решениемзадачи с начальным условием(2.1), (2.2).t0Положив в (2.4) t = t0 , получим, что ȳ(0) = y0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
