Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Локальнаятеоремасуществованиярешениярешения2.1.5. ЛокальнаятеоремасуществованиязадачиКошизадачиКошиПерейдем к доказательству существования решения задачи с на-Перейдемк доказательству существования решения задачи с начальным условием. Следует отметить, что мы можем доказать теоремучальнымусловием. Следуетчто мы[tможемтеоремусуществованияне на всемотметить,исходном отрезкеT, t0 доказать+ T ], а на некото0существованияне навсемменьшем.исходномПоэтомуотрезкеэта[t0теоремаT, t0 +T ], аназываетсяна некотором, вообщеговоря,частолокальнойтеоремойсуществованиярешениязадачи Коши.ром, вообщеговоря,меньшем.Поэтомуэта теоремачасто называетсялокальнойТеорематеоремойсуществованиярешениязадачи Коши.2.1.2.Пусть функцияf (t, y) непрерывнав ⇧, удовлетворяет в2.1.2.⇧ условиюЛипшицапо y fи(t, y) непрерывна в ⇧, удовлетвоТеоремаПустьфункцияряет в ⇧ условию Липшицапо y и|f (t, y)| 6 M, (t, y) 2 ⇧.y)|M,где (t, y) 2 ⇧.Тогда на отрезке [t|ft0 6+ h],0 (t,h,Тогда на отрезке [t0Ah, t0 + h],гдеh=min T,,MAсуществует функция y(t)h =такая,min чтоT, y(t), 2 C 1 [t0 h, t0 +h], |y(t) y0 | 6MA, t 2 [t0 h, t0 + h],10существует функция yy(t)что y(t)Ch,[tt00 + h,y0 | 6(t) такая,= f (t, y(t)),t 2 [t2h],t0 +h], |y(t) (2.7)0A, t 2 [t0 h, t0 + h],y(t0 ) = y0 .(2.8)y 0 (t) = f (t, y(t)), t 2 [t0y(t0 ) = y0 .h, t0 + h],(2.7)(2.8)323232ГлаваГлава2.2.ЗадачаЗадачаКошиКошиДоказательство.
ИзИз леммылеммы 2.1.12.1.1 следует,следует,чтоДоказательство.Доказательство.леммы2.1.1следует,чточтодлядлядоказательствадоказательстватеотеоремыдостаточнодоказатьсуществованиефункцииh,t+h]ремыдостаточнодоказатьсуществованиефункцииy(t)2C[t00ремы достаточно доказать существование функции y(t) 2 C[t0 h, t0 +h]такой,чточто|y(t)|y(t) yy000||| 66 A,A, ttt 22 [t[t[t000 h,h,+h],такой,что|y(t)такой,A,2h,ttt000++h],h],ииявляющейсяявляющейсярешениемрешениеминтегральногоуравненияинтегрального уравненияуравненияинтегральногоZZZttty(t)== y + ff(⌧,(⌧, y(⌧))d⌧,))d⌧, t 2 [th, t + h].y(t)y(t)= yy000++ f (⌧,y(⌧y(⌧ ))d⌧, tt22[t[t000 h,h,t00t0++h].h].(2.9)(2.9)(2.9)tt00t0Проведем доказательство,доказательство, используяиспользуя методметод последовательныхпоследовательных приПроведемприПроведемдоказательство,используяметодпоследовательныхприближений.Рассмотримпоследовательностьфункцийy(t),k=kближений.Рассмотримпоследовательностьфункцийy(t),kkближений.Рассмотримпоследовательностьфункций yk (t), k ==0,1,2,...таких,чтоy(t)=y,0,1,1,2,2,......
таких,таких, чточто yy00(t)= y00,0,0 (t) = y0 ,tZZttZ(t)==yy0++ ff(⌧,(⌧,yyk(⌧(⌧))d⌧,))d⌧, tt 22 [t[t0 h,h, tt0 ++ h],h], kk == 0,0, 1,1, 2,k+1(t)yyk+12, .. .. .. .. (2.10)(2.10)yk+1(t) = y00 + t0 f (⌧, ykk (⌧ ))d⌧, t 2 [t00 h, t00 + h], k = 0, 1, 2, . . . . (2.10)t0t0Покажем, используя метод математической индукции, что для всехПокажем,используя метод математической индукции, что для всехk=0, 1, 2, . . . используявыполненоПокажем,k = 0, 1, 2, . . . выполнено метод математической индукции, что для всехk = 0, 1, 2, . .
. выполненоy (t) 2 C[th, t + h], |y (t) y | 6 A, t 2 [th, t + h].ykk(t) 2 C[t00 h, t00 + h], |ykk(t) y00| 6 A, t 2 [t00 h, t00 + h].yk (t) 2 C[t0 h, t0 + h], |yk (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 h, t0 + h].Для k = 0 это очевидно справедливо, поскольку y0 (t) = y0 .Для k = 0 это очевидно справедливо, поскольку y0 (t) = y0 .Пустьэто этовернодля k = m. То есть поскольку y0 (t) = y0 .Дляk=очевидноПустьэто0 вернодля k =справедливо,m. То естьПусть это верно для k = m. То естьym (t) 2 C[t0 h, t0 + h], |ym (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 h, t0 + h].ym (t) 2 C[t0 h, t0 + h], |ym (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 h, t0 + h].ym (t) 2 C[t0 h, t0 + h], |ym (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 h, t0 + h].Покажем, чтоПокажем, чтоПокажем, чтоZtZtym+1 (t) = y0 + f (⌧, ym (⌧ ))d⌧, t 2 [t0 h, t0 + h](2.11)ym+1 (t) = y0 + Zt f (⌧, ym (⌧ ))d⌧, t 2 [t0 h, t0 + h](2.11)t0ym+1 (t) = y0 + t0 f (⌧, ym (⌧ ))d⌧, t 2 [t0 h, t0 + h](2.11)t0 0 h, t0 +h] и |ym+1 (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 h, t0 +h].такова, что ym+1 (t) 2 C[tтакова,что ym+1 (t) 2C[tкак+h]yи ||y6m+1t 2 [tтоh, t0 +h].0 h,0 функцияДействительно,так|ymt0(t)A,(t)t 2 [ty00 | 6h,A,t0 +h],0такова,ym+1 (t) так2 C[th,mt(t)|y6tA,t 2 то[t0интеграл,h, t0 +h].Действительно,y0и|на6m+1t(t)2+h],функция0 |y0 +h]0 | h,0Значитf (t,ymчто(t)) определенаикакнепрерывна[tA,h, [tt00y+h].0fстоящий(t,Действительно,ym (t)) вопределенаикакнепрерывнаt[tинтеграл,|ym (t)определенy0на| 6[tA,th,2непрерывенh, Значитt0 +h],0 и0+правой такчасти(2.11),притоt функция2 [t00 h].стоящийвправойчасти(2.11),определенинепрерывенприt2 [t0f (t,и непрерывнана0[t0 h, h,+ h].
Значит интеграл,h, ty0m+(t))h]. определенаСледовательно,ym+1 (t) 2 C[tt0 t+0 h].h, t0 + h].вСледовательно,ym+1 (t)определен2 C[t0 h,иt0непрерывен+ h].стоящийправой части (2.11),при t 2 [t0h, t0 + h]. Следовательно, ym+1 (t) 2 C[t0 h, t0 + h].Оценим2.1.2.1.ЗадачаЗадачаКошиКошидлядляуравненияуравненияпервогопервогопорядкапорядкаОценимОценим|ym+1(t) y0 | =6Ztf (⌧, ym (⌧ ))d⌧ 6t0ZtZtZt|y|y(t)(t) y0y|0=(⌧(⌧))d⌧| = f (⌧,f (⌧,ymym))d⌧ 66m+1m+1Zt3333|f (⌧, ym (⌧ ))|d⌧6tM d⌧ 6 M h 6 M ·0t0t0 ZtZtA= A,Mt 2 [t0 h, t0 +h].Ztt0ZtAA66 |f|f(⌧,(⌧,ym(⌧(⌧))|d⌧d⌧d⌧ 66MMhh66MM· · ==A,A, t t22[t[tt0t+h].ym))|d⌧ 66 MM0 0 h,h,0 +h].Таким образом |ym+1 (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 Mh,Mt0 + h].
Следовательно, мыt0 t0t0t0показали что все yk (t) 2 C[t0 h, t0 +h] и |yk (t) y0 | 6 A, t 2 [t0 h, t0 +h],k=0, 1, образом2,образом. . . . |y|yТаким| 6A,A,t t22[t[th].Следовательно,Следовательно,мымыТаким(t)(t) y0y|06t0t0++h].m+1m+10 0 h,h,показаличтовсеy(t)2C[th,t+h]и|y(t)y|6A,t2[th,t+h],показаличтовсеy(t)2C[th,t+h]и|y(t)y|6A,t2[th,t+h],Докажем, используяметодматематическойkk0000kk0 0 индукции,0 0 что0 0 для t 2k=0,1,2,....k=0,1,2,....[t0 h, t0 + h] справедливы неравенстваДокажем,используяиспользуяметодметодматематическойматематическойиндукции,индукции,чточтодлядляt t22Докажем,[th,t+h]справедливынеравенства[t0 0 h, t0 +0 h] справедливы неравенства|t t |k|yk+1 (t)k!k kk k|t|t t0t|0 |AL|y|y(t)(t) yky(t)|66ALk+1k (t)|k+1Для k = 0 имеемДляk k==0 0имеемимеемДля|y1 (t)0yk (t)| 6 ALkZty0 (t)| = y0 +ZtZt f (⌧, y0 )d⌧k!k!,k = 0, 1, 2, .
. . ., , k k==0,0,1,1,2,2,. .. .. . .(2.12)(2.12)(2.12)y0 6f (⌧,y0y)d⌧|y|y==y0y0++t f (⌧,1 (t) y0y(t)|0 (t)|0 )d⌧ y0y0 661 (t)0t0t0 tZZtZt666ff (⌧,y0)d⌧)d⌧ 66MMh 6 A, t 2 [t0h, t h,th],0 + h],(⌧,y0y)d⌧0f (⌧,6 M hh66A,A, t t22[t[t0 0 h, t0 0++h],t0t0t0тотоестьприkk =00 0оценка(2.12)верна.тоестьестьприk==оценка(2.12)(2.12)верна.верна.приоценкаПустьнеравенство(2.12)(2.12)справедливосправедливодлядляПокажем,что чтоПустьнеравенство(2.12)справедливодляkmm=m1.
Покажем,Пустьнеравенствоk k==1.1.Покажем,чтотогдаоносправедливоприk=m.Действительнотогдаонооносправедливосправедливо притогдаприkk==m.m.ДействительноДействительноtZtttt tZZZZZ|y(t)y(t)|=y+f(⌧,y(⌧))d⌧y(⌧,ymym 1 (⌧ ))d⌧ 66m+1m0m0|ym+1(t) yym(t)|(t)| =ymy(⌧ ))d⌧y0 y f f(⌧,|ym+1(t)= yy00++ f (⌧,f (⌧,f (⌧,1y(⌧m))d⌧mm (⌧ ))d⌧01 (⌧ ))d⌧ 6t0t0t0t0t0t0ZtZtZt(⌧,ymymf (⌧,ymym1 (⌧))|d⌧ , , t t22[t[th, t + h].1 (⌧66 |f|f(⌧,(⌧(⌧)))) f (⌧,))|d⌧0 0 h, t0 0+ h].6|f (⌧, ym (⌧ ))t0t0t0f (⌧, ym1 (⌧ ))|d⌧,t 2 [t0h, t0 + h].343434Глава 2.
Задача КошиГлава2.2.ЗадачаЗадачаКошиКошиГлаваИспользуя условие Липшица и неравенство (2.12) для k = m 1, получимИспользуяусловие ЛипшицаЛипшица иинеравенствонеравенство(2.12)(2.12)длядляk k==mm 1,1,полуполуИспользуя условиечимчимZt|ym+1 (t) ym (t)| 6 L ZZtt|ym (⌧ ) ym 1 (⌧ )|d⌧ 6|ym+1 (t) yym(t)| 66 LLt0 |y|ymm(⌧(⌧)) yymm 11(⌧(⌧)|d⌧)|d⌧ 66m(t)|tt00Zt|⌧ t0 |m 1t0 |mm1m |ttt6 L Z ALd⌧=AL, t 2 [t0 h, t0 + h].|⌧|mm 11|mtt00|1)!t0t|0m(mm 11|⌧mmm|t|t m!ALd⌧ ==ALAL6 Lt0 ALd⌧, , t t22[t[tt0t0++h].h].0 0 h,h,(mm!(m 1)!1)!m!t00Следовательно, оценка (2.12) справедлива при k = m, и значит онаСледовательно,оценкасправедливаСледовательно,оценка(2.12)справедлива приприkk ==m,m,и изначитзначитонаонадоказанадля любогоk 2(2.12)N.длялюбогоk2N.доказанадлялюбогоk2N.Представим функции yk (t) как частичные суммы рядаПредставимПредставим функциифункции yykk(t)(t) каккакчастичныечастичныесуммысуммырядарядаkXkkyk (t) = y0 + X(yn (t) yn 1 (t)), n = 1, 2, .
. .Xyykk(t)=y+(t) = y00 +n=1 (y(ynn(t)(t) yynn 11(t)),(t)), nn==1,1,2,2,. .... .n=1n=1Равномерная сходимость последовательности функций yk (t) на отрезкеРавномерная сходимостьфункцийyky(t)на отрезкесходимость последовательностипоследовательностифункцийрядаk (t) на отрезке[t0Равномернаяh, t0 + h] эквивалентнаравномерной сходимости[th,t+h]эквивалентнаравномернойсходимостиряда[t00 h, t00 + h] эквивалентна равномерной сходимости ряда1X1X1X(yyn 1 (t))(2.13)n (t)(y(2.13)(yn (t)(t) yyn 1 (t))(t))(2.13)n=1n=1n=1nn 1нанаотрезкеh, tt00++h].Применим признакпризнак Вейерштрассадлядля доказа0отрезке[t[tна отрезке[t00 h,h, t0 +h].h]. ПрименимПрименим признакВейерштрассаВейерштрасса длядоказадоказательстваравномернойсходимостиряда (2.13)(2.13)нанаотрезкеотрезке[t[tt0 +0 h,h,тельстваравномернойсходимостирядаth].h].00тельства равномерной сходимости ряда (2.13) на отрезке [t0 h, t+0 + h].ИзИзоценкиоценки(2.12)(2.12)следует,следует, чточтоИз оценки (2.12) следует, что|y|yn (t)n (t)|yn (t)hnnn 111nn 11 hh(t)|66ALALynyn 1 (t)|yn 11 (t)| 6 ALn 1(n(n 1)!(n1)!2,2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
