Общая часть (часть 2) (2015) (by Кибитова) (1161598), страница 55
Текст из файла (страница 55)
. , задачуn,dtКоши для матричного дифференциальногоуравненияj(t)отличающихся лишь dYначальнымиданными.Существованиена всем от= A(t)Y(t), Y (t(4.9)0 ) = E,резке [a, b] решений y jdt(t) этих задач Коши, а значит и решения Y (t)матричнойзадачи матрица.(4.9), вытекаетиз теоремы2.1.2. равенстваПосколькупоопрегдеE – единичнаяРасписываяматричныестолбделительматричнойфункцииY(t)всилу(4.9)равен1,detY(t)=0цам, заключаем, что задача (4.9) эквивалентна совокупности из n задачdet E = 1, то линейная независимость на рассматриваемом отрезке поКошистроенной системы решений y 1 (t), y 2 (t), . .
. , y n (t) есть следствие теоремыdy4.2.3j (t) об альтернативе для определителя Вронского.>Таким образом,= A(t)y (t), y j (t0 ) = (0, . . . , 0, |{z}1 , 0, . . . , 0) , j = 1, . . . , n,y 1 (t),система решений, а Y (t) – фунdty 2 (t), . . . , y nj(t) – фундаментальнаяjдаментальная матрица.отличающихсялишь начальнымиданными.Существованиена всемЗамечание 4.3.1.Фундаментальнаяматрицанеединственна.По-отрезкеb] решенийэтих задачусловиеКоши,Yа(tзначити решения Y (t)j (t) начальноелагая [a,в задачеКоши y(4.9)0 ) = B, det B 6= 0, мыматричнойзадачи(4.9),вытекаетизтеоремы2.1.2.Посколькуопреполучим другую фундаментальную матрицу.делитель матричной функции Y (t) в силу (4.9) равен 1, det Y (t0 ) =Замечание 4.3.2.
Так как элементы a (t) матрицы системы веdet E = 1, то линейная независимость на ijрассматриваемом отрезке пощественны, то и фундаментальная матрица может быть выбранастроеннойсистемы решений y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) есть следствие теоревещественной.мы 4.2.3 об альтернативе для определителя Вронского. Таким образом,y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) – фундаментальная система решений, а Y (t) – фун4.3.2. Общее решение линейной однородной системыдаментальная матрица.Определение4.3.2.ФундаментальнаяОбщим решением линейнойсисте-ПоЗамечание4.3.1.матрица однороднойнеединственна.мы дифференциальныхуравненийn-го условиепорядка Yназываетсязависящеелагаяв задаче Коши (4.9)начальное(t0 ) = B, detB 6= 0, мыотnпроизвольныхпостоянныхрешениеэтогоуравнениятакое,чтополучим другую фундаментальную матрицу.любое другое решение системы может быть получено из него в ре4.3.2. Так как Главаэлементыaij (t) теорияматрицысистемыве98 Замечание4.этихОбщаялинейныхсистемзультатевыбора некоторых значенийпостоянных.щественны, то и фундаментальная матрица может быть выбранавещественной.Теорема 4.3.2.
Пусть Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) – фундаментальнаяматрицадля линейнойоднороднойсистемы4.3.2.Общеерешениелинейнойоднороднойсистемыdy(t)= A(t)y(t)Определение 4.3.2. Общимdt решением линейной однородной системы дифференциальных уравнений n-го порядка называется зависящеена nотрезке[a, b].
Тогдаее общее решениерешение этогопредставимов видеотпроизвольныхпостоянныхуравнениятакое, чтолюбое другое решение системы может быть получено из него в реy OO (t)некоторых= c1 y 1 (t) +значенийc2 y 2 (t) + этих· · · + cпостоянных.(4.10)n y n (t) = Y (t)c,зультате выборагде c1 , c2 , . . . , cn – произвольные постоянные, c = (c1 , c2 , . . . , cn ).Доказательство.
По теореме 4.1.2 вектор-функция Y (t)c является решением однородной системы для любых c 2 Cn . Согласно определениюобщего решения осталось показать, что для любого наперед заданногорешения y(t) линейной однородной системы найдется вектор константec 2 Cn такой, что на отрезке [a, b] выполнено равенствоy(t) = Y (t)ec.(4.11)t0 до t. ПолагаяестьdZ(t, t0 ) по определению, что интеграл от вектор-функции1=A(t)Z(t,t),Z(t,t)=Y(t)Y(t)=E.00000вектор, составленныйимеемydt (t) = c y из(t)интегралов+ c y (t) + ·координатных· · + c y (t) = Yфункций,(t)c,(4.10)OO1 12 2n nZТак как элементыaij (t)вегде Замечаниеc1 , c2 , .
. . , cn 4.3.3.– произвольныепостоянные,c =матрицы(c1 , c2 , . . . ,системыcn ).1= Yестественно(⌧ )f (⌧ )d⌧.искать в классе вещещественны, то и общее c(t)решениеДоказательство.По теореме4.1.2вектор-функцияY (t)c являетсярественнозначных функций.Тогдавыборе вещественнойфундаменt0 приnшениемсистемыдлявозможнолюбых c 2 вCрассматриваемом. Согласно определениютальнойоднороднойматрицы (этовсегдаслучае)n окончательноПослеподстановкив(4.19)получаемобщегорешенияосталосьпоказать,чтодлялюбогонапередзаданногоформула (4.10) при c 2 R дает общее вещественнозначное решениерешениялинейнойсистемыоднороднойсистемы найдется вектор константлинейнойy(t)однороднойZtдифференциальныхZtуравнений.nec 2 C такой, что на отрезке [a, b] выполненоравенство1ty(t) = Y (t)c(t) = Y (t) Y (⌧ )f (⌧ )d⌧ = Z(t, ⌧ )f (⌧ )d⌧.4.3.3.
Общее решение линейнойнеоднороднойсистемы, (4.11)методy(t)c.t0 = Y (t)et0вариации постоянныхДля построения ec зафиксируем произвольное t0 2 [a, b] и вычислим0 Рассмотрим линейную неоднородную систему с непрерывным вектоy = y(t0 ). Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений4.3.2.Решениеy(t) = y(t; y 0 ) задачи Коши для линейнойромСледствиеf (t) = (f1efc21(t),относительноc(t),= (e,ec2 ,.
. . ., ,fecnn(t)))> :> :неоднородной системыdy(t)Y (t0 )ec = y0 .(4.12)dy(t)= A(t)y(t)+ f (t), t 2 [a, b].(4.15)=A(t)y(t)+f(t),t2[a,b]dtdt матрицы Y (t0 ) c определителем det Y (t0 ) 6=В силу невырожденностиКакивпредыдущемY (t)решениеобозначаетмат0с этасистемав имеетec = фундаментальную(ec1 , ec2 , . . . , ecn )> . Тогдазаданнымточкеединственноеtпункте,0 2 [a, b] начальным условиемрицу соответствующей(4.15)однороднойсистемыdy(t)/dtA(t)y(t)функцииye(t) = Y (t)ec и y(t)являютсярешениямиоднойи той=жезадачи стой же самой матрицей коэффициентовy(t0 ) = yA(t).Коши0dy(t)Определение 4.3.3. Общимрешениемнеоднороднойси= A(t)y(t),y(t0 )линейной= y0 ,(4.13)имеет видdtстемы дифференциальных уравнений n-гопорядка(4.15)называетсяZtизависящеепо теоремеобязанысовпадать,что доказывает(4.11).отединственностиn произвольныхпостоянныхрешениеэтой системытаy(t;y)=Z(t,t)y+Z(t,⌧)f(⌧)d⌧.(4.22)000Отметим,что дляфиксированногорешенияy(t) векторec 2 Cnкое, что любоедругоерешение системы(4.15)можетконстантбыть полученоt0 значений этих постоянных.визпредставлении(4.11) выбораопределеноднозначно.него в результатенекоторыхТеорема 4.3.3.y OH (t) линейнойсиСледствие4.3.1.ОбщееВ ходерешениедоказательстватеоремынеоднородной4.3.2 была фак4.4.Построениефундаментальнойсистемырешенийстемыдифференциальныхуравнений(4.15)представимоввидетически выведена формула для решения задачи Коши (4.13) с произдлялинейнойоднороднойсистемыиздифференцивольнымначальнымвекторомy 0 .
Действительно,(4.12) имеем>ny(t)=Y(t)c+y(t),8c=(c,c,...,c)2C,(4.16)1 OH 012nHальныхуравненийспостояннойматрицейec = Y (t0 )y и после использования (4.11) получаемгде y H (t) – некоторое(частное)(4.15).y(t) = Z(t,t )y 0 , решениеZ(t, t ) =неоднороднойY (t)Y 1 (t ). системы (4.14)000Рассмотрим однородную систему обыкновенных дифференциальДоказательство.
В силу линейности системы (4.15) вектор-функцияуравнений с постоянной матрицей коэффициентов A(t) ⌘ An =yныхOH (t) является решением (4.15) для любого вектора констант c 2 C .(ai,j ), ai,j 2 R, i, j = 1, . . . , n:dy(t)= Ay(t).dt(4.23)имеет нетривиальное решение h. Как известно из курса линейной алгебры, такие называются собственными значениями матрицы A, а от102Глава 4. Общаявекторамитеория линейныхсистемвечающие им векторы h – собственнымиматрицыA. Собственные значения и только они являются корнями характеристическогомногочленаM ( ): уравнением y 0 (t) = ay(t), которое имеет реПоаналогиисо скалярнымшение y(t) = h exp{at} для любого h 2 C, будем искать нетривиальные4.4.
Фундаментальнаярешений: E)постояннаяматрица103M( ) = det(A= 0.(4.26)решениясистемы (4.23) всистемавидеy(t) = h exp{ t}, h = (h1 , h2 , . . . , hn )> 2 Cn ,2 C.(4.24)Тогда вектор-функцииПодстановка вектор-функции (4.24) в систему (4.23) приводит к задаче4.4.1.фундаментальнойрешений,когдаy 1 (t) Построение= h1такихexp{ 1 t},= которыхh2 exp{ 2системаt}, . . системы. yлинейныхn t} (4.27)n (t) = hn exp{нахождения2 yC,2 (t)приалгебраичесуществует базис из собственных векторовских уравненийобразуют фундаментальную(A системуE)h = ✓решений (4.23) на произвольном(4.25)отрезке[a, b]. характеристический многочлен имеет степень n, то поПосколькуимеетнетривиальноерешениеуh.негоКакимеетсяизвестноровноиз курсалинейнойалгебосновнойтеореме алгебрыn корней(собственныхДоказательство.произвольныйотрезок[a, b].
Дляры,такие сназываютсясобственнымизначениямиматрицыA, а любогоотзначений),учетомРассмотримих кратности1 , . . . , n , j 2 C. Из курса линейнойвечающиеимвекторыh – собственнымивекторамиматрицыA.Собj=1,...,nсобственноезначениеисоответствующийсобственныйалгебры известно, что существует неj более, чем n линейно независимыхственныеи толькоуравнениюони являютсякорнямихарактеристичевектор hзначения(4.25),и тогдакаждаявекторj удовлетворяютсобственныхвекторов матрицыA.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
