В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 98

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 98)

Т е о р е м а. Ток надлежащей плотности, текущий вдоль мерида нов гиперболоида, создает магнитное поле, которое внутри трубы гиперболоида равно нулю, а во внешней кольцевой области направлено вдоль параллелей. Ток надлежащей плотности, текущий вдоль параллелей гиперболоида, создаетп литгнитное поле, равное нулю во внешней, кольцевой областпи и направленное вдоль меридианов внутри трубы гиперболоида. Плотности токов, создающих такие магнитные поля, обобщают гомеоидные плотности на поверхностях эллипсоидов и могут быть описаны следующим образом.

С семейством конфокальных квадрик в трехмерном евклидовом пространстве связаны две ьллзпс й дгпзьв«з «фокальные кривыек эллипс (рис. 249) и гипербола. Фокальный1 эллипс — это край предельного эллипсоида семейства, у которого малая ось сжалась в 0 (фокальная гипербола получается так же из двуполостного гиперболоида). Определим на фокальном эллипсе гомеоидную плотность следующим образом. Сначала рассмотрим какую-либо неплоскую параллель, определенную как неплоское пересечение конфокальных эллипсоида и однополостного гиперболоида. Гомеоидная плотность на этой параллели определяется как плотность бесконечного тонкого слоя, получающегося при пересечении слоя меткду данным эллипсоидом и бесконечно близким к нему гомотетичным эллипсоидом с тем же центром, с одной стороны, п слоя между данным однополостным гиперболоидом и бесконечно близким к нему гомотетичным гиперболоидом с тем же центром.

Мы нормируем эту гомеоидную плотность на параллели так, чтобы масса всей параллели была равна 1. довлвлкник ы Теперь рассмотрим фокалыпгй эллипс как предел неплоских параллелей. Оказывается, нормированные гомеоидные плотности параллелей имеют при стремлении параллелей к фокальному эллипсу определенный предел. Этот предел и называется гомеоидной плотностью фокального эллипса. Гомеоидная плотность фокальной гиперболы определяется аналогичным образом, Теперь мы можем описать плотности токов, соадающие описанные в теореме магшпные поля.

Поверхность однополостного гиперболоида расслоена над фокальным эллипсом (слой над точкой — меридиан, лежащий на том же двуполостном гиперболоиде, что рассматриваемая точка). Поток меридианного тока, описанного в теореме, через любую кривую на гиперболоиде равен интегралу формы гомеоидной плотносгпи на фокальном эллипсе по проекции втой кривой на фокальный явлипс (вдоль двуполостнык гиперболоидовв) . Рвс 250, магвягвяс поля тсксв ва Плотность тока, текущего вдоль параллелей, индуцируется аналогичным образом из гомеоидной плотности на фекальной гиперболе (рис. 250). 3 а м е ч а н и е.

Магнитное поле параллельного тока укаванной плотности внутри трубы гиперболоида совпадает во внешней области каждого конфокального эллипсоида (с точностью до знака) с ньютоновским и кулоновскнм полем ааряда, распределенного по поверхности атого эллипсоида с гомеондной плотностью з). Точно так же магнитное поле меридианного тока в кольцевой области вне однополостного гиперболоида совпадает (с точностью до знака) в пространстве между полами каждого двуполостного конфокапьного гиперболоида с кулоновским полем двух равных зарядов разных знаков, распределенных по двум полам этого двухполостного гиперболоида с гомеоидной плотностью (О. П. Щербак). Сформулированные выше результаты недавно перенесены В.

3. Шапиро и А. Д. Вайнштейном на гиперболоиды в евклвдовых пространствах любого числа измерений. Для гиперболоида в м", диффеоморфного 8 Х К', строится гармоническая к-форма во внешней области (диффеоморфной произведению Ф на полу- пространство) и гармоническая г-форма во внутренней. *) Зтс пнсвлс тв плстпссть, с которой сзя собой распределяется заряд пз поверхности проводящего злляпсспда. ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ Соответствующие гомеоидные плотности определяются на фокальном эллипсоиде раэмерности й и фокальном двуполостном гиперболоиде раэмерности 1 таким же предельным переходом от пересечений слоев между бесконечно близкими гомотетичными квадриками, который выше описан для й = 1 = 1.

Веавыкладочные доказательства этих геометрических теорем даже в частном случае магнитного поля в трехмерном пространстве неиавестны. 3 а м е ч а н и е. Наличие выделенных гармонических форм на гиперболоидах и в дополнительных к ним областях подскааывает, что на некомпактных (а возможно, и особых) вещественных алгебраических или полуалгебраических многообразиях в пространствах дифференциальных форм можно пытаться искать фильтрации, аналогичные воэникающим в теории смешанных структур Ходжа. Добавление 25 ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ Простейший пример системы лучей — это система нормалей к поверхности в евклидовом пространстве. В окрестности гладкой поверхности система ее нормалей образует гладкое расслоение, но на некотором расстоянии от поверхности равные нормали начинают пересекаться (рис. 251). Сложную Рис.

2Ы. Система нориалей н параболе Рнс. 252. Особенность оволь- вонты главной кривой картину. которая при атом образуется, изучал уже Архимед, но проясняться она начала лишь после того, как в 1972 г была обнаружена связь особенностей систем лучей с теорией групп, порожденных отражениями. Эта свяэь, для которой не видно никаких априорных причин (столь же удивительная, как, скажем, связь эадач о касательных и площадях), оказалась мощным инструментом исследования критических точек функций.

К 1978 г. выяснилось, что теория 446 довлвленив ге групп, порожденных отражениями, управляет также особенностями эвольвент Гюйгенса. Гюйгенс (1654) обнаружил, что эвольвеита плоской кривой имеет точку возврата в том месте, где она подходит к кривой (рис. 252).

Эвольвенты и их многомерные обобщения — это волновые фронты ка многообразии с краем. Особенности волновых фронтов, как и особенности систем лучей, классифицируются группами, порожденными отражениями. В то время как лучи или фронты на многообразии без края связаны с грувшами Бейли серий А, Р и Н, особенности эвольвент описываются группами В, С, Р (с двойными связями в диаграммах Дынкииа).

Остающиеся группы, порожденные отражениями (1х (р), На, Не), до недавнего времени не находили приложений в теории особенностей. Положение изменилось после того, как осенью 1982 г. выяснилось, что группа симметрий икосаэдра Н, управляет особенностями системы эвольвент вблизи точки перегиба плоской кривой. Спрятанный около точки перегиба кривой икосаэдр представляется почти столь жв мистическим, как икосаэдр в законе планетных расстояний Кеплера.

Но здесь икосаэдр появился не случайно: при исследовании более сложных особенностей систем лучей и фронтов в 1984 г. обнаружена и единственная оставшаяся группа Не. В атом добавлении коротко описаны основные факты теории особенностей систем лучей. Более подробное изложение имеется в статьях: А р в о л ь д В. И. Особевиости систем лучей П УМН.— 1983.— Т. 38, вьш. 2.— С. 77 — 147; Ар и о л ад В. И. Особенности в вариациовком исчислении // Совремеккые проблемы математики.— Мл ВИНИТИ.— 1983.— Т.

22.— С. 3 — 55 (другие статьи етого тома итома 33(1988/ также посвящены теории особекиостей); Ляшко О. В. Классификация критических точек фуккций иа миогообрааии с особым краем П Фувкц. авалиа и его приложеиия.— 1983.— Т. 17, /й 3.— С. 28 — 36; Щ е р б а к О. Н. Особенности семейства еаольеспт а окрестности точки перегиба кривой и группа Вм порождеккая страя<екиями П Фуккц.

аиализ и его приложевия. — 1983. — Т. 17, Ы 4. — С. 70 — 72; Щ с р б а к О. Н. Волновые фровты и группы отражекий /! УМН.— 1988.— Т. 43, вып. 3.— С. 125 — 160. В а р ч е в к о А. Н., Ч и у т о в С. В. Ковечиые веприводимые группы, порожденные отображениями, суть группы моиодромии подходящих особеккостей П Фуккц.

авалие и его приложения.— 1984.— Т. 18, гй 3.— С. 1 — 13; А р к о л ь д В. И. Особекиостирешевий вариациовпых аадачП УМН.— 1984.— Т. 39, зып. 5.— С. 256. Многие из результатов, о которых пойдет речь, относятся к настолько простым геометрическим объектам, что кажется удивительным, как их не заметили классики.

Например„локальная осовннности систям лгчви классификация проектирований поверхностей общего положения в трехмерном пространстве была найдена лить в 1981 г. Неэквивалентных ростков проектирований оказалось конечное число, а именно 14: столькими раэличнымн способами может выглядеть окрестность точки на поверхности общего положения, если рассматривать ее иэ различных точек пространства. А. Сииплектичесвие многообразия и системы лучей. 1.

Пространство ориентированных прямых в евклидовом пространстве можно отождествить с пространством (ко)касательного расслоения сферы (рис. 253) и так снабдить симплектической структурой. 2. Более общим образом рассмотрим любую гиперповерхность в снмплектическом многообразии. Косоортогональное дополнение к ее касательному пространству наэы- о вается характеристическим направлением. / Интегральные кривые поля характеристических направлений на гиперповерхности называются ее характеристиками.

Характеристики

Список файлов книги