В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Такое совпадение не случайно. Инвариантами пуассоновых структур на плоскости являются вычеты, построенные по форме Нз /~ ду/~ (сначала строится форма-вычет на каждой компоненте, а потом ее вычет в нуле). Сумма вычетов, отвечающих всем компонентам, равна нулю. Поэтому число модулей на 1 меныпе числа компонент. Г. Степени форм объема. Классификацию пуассоновых структур на плоскости можно рассматривать как классификацию диф- довзвленин $3 ференцнальных форм вида 7 (Их Д Иу) ', где 7" — гладкая (или голоморфная, илн вещественно-аналитическая и т. п.) функция. Более общим образом естественно рассмотреть формы вида 1Фх)" =7(х„..., х„) (с(х,/~...
Л3т ), (2) тле а — фиксированное, вообще говоря, комплексное, число. Классификация таких форм и их деформаций в одномерном случае недавно получена В. П. Костовым, выявивщкм роль резонансных значений а (некоторых отрицательных рациональных значений), Функц. анализ и его нрил. — 1984. — Т.
18, вьш. 4. — С. 81 — 82. Например, резонансный случай п = 1, а = — 1 соответствует классификации особенностей и бифуркаций особых точек векторных полей на прямой, т. е. особых точек дифференциальных уравнений т = с (л) и их бифуркаций в копечнопараметрнческих семействах. Однопа раме трическое семейство общего положения приводится гладкой (голоморфной) заменой переменной х, гладко (голоморфно) зависящей от параметра, и гладкой заменой параметра к виду т = лз + е + с (е) зз (при й параметрах ответ такой: и =хзы+ е,т" т+... + ез+ с(е)зазы). Нерезонансный случай изучен С. Ландо и при любых и и он он показал, по почти всякая версальная деформация функции 7 определяет, после умножения на (сЬ)", версальную деформацию формы, если а — не резонансное (Функц. анализ и его прил.— 1985.
— Т. 19, вып. 2. — С. 78 — 79). Интересующий нас в связи со структурами Пуассона случай и = — 1, вообще говоря, резонансньш. Вместо степеней (2) форм объема будем классифицировать дифференциальные формы Р'Их, р = 1/а, (3) что, очевидно, эквивалентно классификапна форм (2). Гиперповерхность 7 = 0 инвариантно связана с формой (3). Поэтому классификация начинается с приведения к нормальной форме многообразия особенностей, 7 = О. Начало иерархии особых точек гиперповерхностей известно. В подходящей системе локальных координат гиперповерхность дается одним иэ уравнений А,„: ~ эта" ~ззз ~... ~х'„=О, р . =0; В„:4*,~*",-'~- ~...~.4=0, р>4; Е„: хтз+ х,'~х, '~...
~.4 = О; Е~: хз т+ хттз ~ зУ ~... ~ хзз = О; Ез %+ 4~тз-+... ~хз =О. Приведя гиперповерхность к нормальной форме, мы сводим классификацию форм (3) или (2) к классификации дифференциальных пуассоновы стгь'ктугы ч ори вида фЖ (х,..., х„) еЬ, )з (0) ~ О, (4) где / = 0 — выбранное уравнение гиперповерхности особенностей, й — гладкая (голоморфная...) функция, которую и остается привести к нормальной форме. Д. Квазиоднородный случай.
Мы) рассмотрим здесь случай, когда гиперповерхность особенностей / = 0 квазиоднородна (в случаях А, Р, Е классификации гкперповерхностей это так). О п р е д е л е и и е. Функция ~ называется квазиоднорвдной веса р при весах ий переменных х;, если оиа является собственным вектором оператора дифференцирования вдоль квазиоднородного эйлерова поля э с собственным числом р (или нулем): э/ = р/, где э = ~~~и;х;д!дх,. Квазиодиородный многочлен называется невырожденным, если критическая точка 0 конечиократна (С-изолирована).
Мы будем далее считать веса й; положительными числами. Т е о р е м а. Пусть / — невырожденный квазивднврсдный многочлен веса 1. Тогда дифференциальная форма ~Ъ с)х (где Их = = ах, /~... /~, с(~„и Й вЂ” голоморфная в окрестности нуля функция, в нуле не равная 0) нриводится биголоморфной в окрестности нуля заменой координат к виду ф' (1 + гр) Их, где ~р — квазиоднородный мнвгочлен веса — р — а, а = йт +... + и„. Вес'<р определяется так, чтобы вес формы ~'ср ~1т был нулем. Аналогичная теорема верна для гладких й (и гладких замен координат), но в зе|цественном случае вместо 1+ ~р следует поставить +-1 + <р (УМН. — 1984, — Т. 39, вып.
5. — Б. 256). П р им е р 1. Если р положительно, то ~р = О, так что комплексная форма приводится к виду тес(х. Более общим образом, <р =— О, если (вообще комллексное) число () не является отрицательным рациональным числом: в этом случае ненулевых квазиоднородных многочленов веса — () — а не бывает. Таким образом, резонансными значениями () являются лишь рациональные отрицательные числа. Если многочлен / (или хотя бы его тип кзазиоднородности и~) фиксирован, то резонансные значения р образуют конечное число отрицательных рациональных арифметических прогрессий (для остальных р форма /Зй с)х приводится к виду фЧх).
Пр и м е р 2. Если р = — 1, то одночлены, входящие в ф, нумеруются внутренними целыми точками диаграммы Ньютона ~. Одночлену х'" = х~'... х„отвечает на диаграмме точка (т, + + 1,..., т + 1) (показатель формы х'"ах). П риме р 3. Пусть р = — 1, н = 3 и / — один из приведен. ных выше многочленов А„Р, Е, определяющих простые особенности. Вычисляя веса, находим — р — а( О, поэтому ~р = — О, откуда вытекает ДОБАВЛЕНИЕ 13 С л е д с т в и е 1. Форма с полярной особенностью А( ° з)в Л вуЛ Ь(О)~О У(г.
у, з) где / — один из мнагочленов А, П, Е, приводится к виду сзх /'1 сзу /1, /~ см// гпзоморфной (гладкой...) заменой координат. Точно так же при любом и ~ 3 множитель и (х„..., х„), ие обращающийся в О в начале координат, можно обратить в единицу. С л е д с т в и е 2. Простые (не меющие модулей) формы вида с(х /1,... /1, дх„// (хз,..., х„), где / — голоморфная (гладя я...) в О функция и п ) 2, приводятся в окрепинасти точки О к нормальной форме, в которой / — либо 1, либо — один из много- членов А, П, Е, подходящих выбором локальных координата.
С л е д с т в и е 3. Проспи»в (не имеющие модулей) и-векторные поля в и-мерном пространстве (и ) 2) локальназквивалентны нормальным формам /.(дз /1,... /~, д„), где / — либо 1, либо— один из многочленое А, П, Е; д» = дlдх». С л е д с т в и е 4. При 1 ~( 6 в 1-параметрических семействах общего положения и-векторных полей в и-мерном прастронппве (и > 2) поле в окрестности каждой пинки при каждом значении параметра эквивалентно одному из простых полей предыдущего следствия. С л е д с т в и е 5. При 1 ( 6 е *з-паралзетрических сегзейсспвах общего положения форм сзх /~ Ау /~ <Ы/ (х, у, з) встречаются лишь формы, которые в окрестности каждой точки в подходящих координатах записыеаюгася в одном из 24 видов: в Л ву Л и л Л ау Л лз л* Л ву Л вз в'*Л ву Л да 1 з — т зз +ул: +у~ в Лв»Лв в»Лву Лез взЛвуЛвз взЛвуЛв а~ в~за з зз+ уз~с» з .»у~уз+ з ° а~: »+зз э д*ЛвуЛ ы л ЛвуЛ в~ в~Л'вуЛзы дзЛвуЛв~ При и = 2, р = — 1 теорема принимает такой вид: С л е д с т в и е 6.
Пустпь 1' — невыражденный квазиоднородныи многачлен веса 1 при весах аргульентпав и», заз. Тогда форма ~а(г. у) *Лву, где Ь вЂ” гладкая (голаморфная...) е окрестности точки О фующия приводипзся к виду, в котором Ь = ~1 + ~р, где зр — квазиоднородный многачлен веса 1 — из — изз, при помощи гладкой (голоморфной...) в окрестнаппи точки О залычсы координапз. пуьссоновы стРуктуРы Соответственно бивекторное поле и пуассонова структура локально приводятся к виду /(х, у)(д„/~ дэ) /(х, у) л-1+ р(х,з) ' [ '" ~(+ч(х,з) ' Вычисляя веса для простых особенностей А, Р, Е функций / от двух переменных, получаем ие етого следствия приведенную на с. 426 таблицу.
Например, для А имеем ю = и = 1/2, вес ° р равен 0 и, значггг, <р — константа. Размерность пространства классов зквивалентности форм Ьс[х/~ ду//, где Ь (О) ~ 0 и / — фиксированный невырохсденный кеазиоднородный многочлен, равна размерности пространства квазиоднородн х многочленов веса 1 — о. Е. Теоремы Варченко. А. Н. Варченко указал ряд обобщений предыдущих теорем (Функц. анализ в его прил.— 1985.— Т.19, вып. 4. — С. 23 — 31).
1. Пусть / — квагиоднородный многочлен веса 1 переменных х,..., х весов и„..., и„. Пусть классы смежности одночленов х, т ~ 1, порождают фактор-алгебру алгебры степенных рядов С [[х„..., х„П/(д//дх,..., д//дх ) как линейное пространство- Т е о р е м а. Всякий роапок /ЕЬ ах эквивалентен ростку вида ф' (1 + ХХ,.~ х /') дх, где неотрицательные целые 1 и т ~ 1 таковы, что вес формы /Ьх /~ с[х равен нулю. 2. Назовем степенью неквазиоднородности ростка / размерность фактор-пространства (/, д//дхм..., д/(дХ)((д/(дхд,..., дЯдх„). Т е о р е м а. Для почка всех р число модулей форм /гЬ |Ь /~ /',... /~, с[х (с фиксированными [) и / и разными Ь, Ь (0) ~ 0) одинаково и равно степени неквазиоднородности ростка /.
Исключитазьные (резонансные) значения р' составляют конечное число арифметических прогрессий, составленных из отрицшпельных рациональных чисел, с разностью — 1. В частности, для любого р )~ 0 число модулей равно степени неквазиоднородноапи. 3. Пример.
При р=Ополучаем: С л е дс те и е. Число модулей форм Ьдх(Ь (0) ~ 0) относительно действия группы сохраняющих росток /= 0 диффесморфизмов равно степени неквазиоднородноппи / (равно нулю, если ростоок / эквивалентен квазиоднородному). 4. В резонансном случае ответ сложнее. П р им е р. Пусты и = 2, р =- — 1 (пуассоновы структуры на плоскости). 432 довявлвннв ~з Т е о р е м а. Число зсодулей роппков структур Пуассона на плескести е данной особой кривой ~ = О равно степени неквазиоднор обнести роапка ~, увеличенной на число неприводикык кои поненлз ростка кривой 1 = О без единицы. В резонансном случае число модулей ведет себя достаточно регулярно вдоль каждой арифметической прогрессии с разностью — 1.
А именно, при вычитании единицы из р число модулей (не строго) возрастает, пока не достигнет (при некотором р ) — п) максимального значения, которое превосходит исходное значение (т. е. степень неквазиоднородности) на число ясордановых клеток с собственным числом еззж оператора монодромии функции Ж. Пуассоновы структуры и отображение периодов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
