В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Фм В одномерном случае лагранжево многообразие — окружность, ее индекс равен 2, и предыдущая формула превращается в так лагванншвы осоввнностн называемое «условие квантованняв1 )ья барс"т =2н Г' + 2 ) т Собственные функция, соответствуюяо1е этим собственным числам, также связаны с лагранжевым мяогообрааием, но зта сввзь не так проста. В действительности удается написать не асимптотаческие формулы дхя собственных функций, а лишь формулы дхя функций, приближенно удовлетворяющих уравнению собственных функций. Эти функции оказываются малыми вне проекции яагравжева многообразия на конфигурационное пространство.
Асныптотвческие формулы имеют особенности вблизи каустяк, образующихся при проектировании. Настоящие собственные функции могут, однако, вести себя совершенно ио-другому, по меньшей мере, если собственное число кратное ияи если имеются близкие к нему собственные числа (см.
добавление 10). Индекс Маслова можно рассматривать как многомерное обобщение теории кояебаемости Штурма. См.: Арнольд В. И. Теоремы Штурма и симпхектическая теометояя д Функциональный анализ и его приложения.— 1985.— Т. 19, йй 4.— С. 1 — 10. Добавление 12 ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ Лагранжевы особенности — зто особенности проекций лагранжевых многообразий на конфигурационное пространство. Такие особенности встречаются при исследовании решений уравнения Гамильтона — Якоби в целом, при изучении каустик, фокальных или сопряженных точек, при анализе распространении разрывов и ударных волн в механике сплошной среды, а также в задачахз приводящих к коротковолновой асимптотике (см. добавление 11). Чтобы описать лагранжевы особенности, нужно вначале сказать несколько слов об особенностях гладких отображений вообще.
Начнем с простейших примеров. А. Особенности гладких отображений поверхности на плоскость. Отобра жение проектирования сферы на плоскость имеет особенность на экваторе сферы (в точках зкватора ранг производной падает на единицу). В ре- к у зультате на плоскости проекции образуется кривая (так называемый види- гас. ыь. сосраа мини мый контур), разграничивающая области с разным числом прообразов точки: у каждой точки плоскости внутри видимого контура два прообраза, а вне — ни одкого. В более сложных случаях «видимый контур» может иметь более сложные особенности. Рассмотрим, например, поверхность 416 довлвллпие !г задапиую в трехмерном простраистве с координатами (х, у, г) уравнением (рис.
245) х = уг — г« и отображение проектирования параллвльио осп г ка плоскость с координатами (х, у). Особые точки проектирования образуют на повврхиостн гладкую кривую (с уравнением Згг = у). Однако образ этой кривой иа плоскости (х, у) уже ие является гладкой кривой. Этот образ — полукубическая парабола с острием в точке (О, 0) с уравнекием 27х« = 4уг. Такая кривая разделяет плоскость ка две части.
"мекыную (вкутри острия) и большую (вие). Нзд каждой точкой меньшей части имеются три точки нашей поверхности, а большей — всего одна. Рассмотрим теперь любую малую деформацию нашей поверхности. Оказывается, при проектировании всякой поверхности, близкой к нашей, видимый контур всегда будет иметь подобиую же особекиость (полукубичвское острие) в некоторой точке, близкой к особенности видимого контура исходной поверхности. Иными словами, раеематриеаемаг особенность неустранима малым шевелением поверхности.
Более того, вместо деформации поверхности мокше как угодно деформировать само отображение поверхности иа плоскость (ие заботясь более, чтобы оио было проектированием), лишь бы оио оставалось гладким и деформация была мала. Окааывается, и при таких деформациях острие ие исчеаает, а лишь слегка деформируется. Приведенные здесь примеры исчерпывают все типичные особеикости отображеиий поверхности ка плоскость.
Можно показать, что всв более сложные особеикости устранимы малым шевелением . Поэтому, слегка продеформировав любое гладкое отображение. можно всегда добиться того, что в окрестности любой точки отображаемой поверхности ояо будет либо кеособым, либо будет устроено как отображвиие проектирования сферы ка плоскость близ экватора, либо как отображение проектирования рассмотреикой выше поверхности с кубическим острием иа видимом коитурв. Слова «устроеио каке озиачают, что иа поверхкости-прообразе и плоскости-образе можно выбрать локальные координаты (в окрвстиости рассматриваемой точки и ее образа) так, что в этих координатах отображекив запишется некоторым специальным образом.
А именно, нормальные формы, к которым приводится отображеиие поверхности ка плоскость в окрестности точек трех указанных выше типов, суть уг = хм у, = х, (кеособая точка), ЛАГРАнжевы ОсОБеннОсти 417 рг = хх, у, = ха (складка, как на экваторе сферы), у, = х,х, — хам уа = ха (сборка с острием видимого контура). Здесь (хг, ха) — локальные координаты в прообразе, а (у» уа)— в образе. Доказательства приведенных теорем (овв прпвадлекат Х.
Уитии) и вх многомерные обобщения можио найти а работах по теории особевпостей гладквх отображевий, см., вапример: Арнольд В.Й, Варчеико А.Н., ГусейиЗаде С.М. Особеивости дифферепцируемых отображений. Т. 1.— Мл Наука, $982; Т. 2 — М.: Наука, 1984. Т о ь~ Р., Л е е и я Г., М а а е р Дж. и др. Особенности дифферевпируемых отображений.— М.: Мир, 1988. Б. Особенности проектирования лаграижевых многообразий. Рассмотрим теперь п-мерное конфигурационное многообразие, соответствующее 2п-мерное фазовое пространство и в нем п-мерное лагранжево подмногообразие (т. е.
и-мерное подмногообразие, па котором 2-форма, задающая симплектическую структуру фазового пространства, равна тождественно нулю). Проектируя лагранпево многообразие на конфигурационное пространство, мы получаем отображение одного гладкого п-мерного многообразия на другое той же размерности. В общей точке это отображение является локальным диффеоморфизмом, однако в некоторых точках лагранжева многообразия ранг дифференциала падает.
Такие точки называются особыми. При проекции множества особых точек в конфигурационном пространстве образуется «видимый контура, который в лагранв евом случае называется кауппикой. Каустики могут иметь сложные особенности, однако, как и в обычной теории особенностей гладких отображений, от слишком сложных особенностей можно избавиться малым шевелением. (Здесь под малым шевелением подрааумевается такая малая деформация лагранжева многообразия в фазовом пространстве, при которой это многообразие остается лагранжевым).
После этого останутся лишь простейшие неустранимые особенности, для которых можно выписать нормальные формы и которые можно раз навсегда подробно изучить. При рассмотрении задач общего положения, не обладающих какими-либо специальными свойствами симметрии, естественно ожидать появления лишь этих простейших неустранимых особенностей. Рассмотрим, например, каустики, образованные при освещении стены светом от точечного источника, отраженным от какой- либо гладкой искривленной поверхности (здесь четырехмерное фазовое пространство образовано прямыми, пересекающими поверхность стены по всевозможным направлениям, а лагранжево подмногообраэие — лучами света, выходящими из источника, при пересечении ими стены).
Перемещая источник, можно заметить что, вообще говоря, каустики имеют лшпь простейшие особенно- довлвлкние»з сти (полукубические острия), а более сложные особенности появляются лишь при специальных, исключительных положениях источника. Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования и-мерного лагранжева подмногообрааия иа 2и-мерного фазового пространства на и-мерное конфигурационное пространство для и ~( 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация свяаана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов.
При и з 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры. За Лальвейшвмв подробностями читатель отсылается к статье: А р н о л ь д В. И. Нормальные формы функций вблвзи вырожденных крвтаческвх точек, группы Вейля А», В», Е» к лагрзвжезы особенности П »Рувкцвоввльвый анализ в его приложения.— $972.— Т. 6, уй 4.— С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
