В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Мы выбрали точку ~) так, что прн проекции получившегося из М в момент» лагранжева многообразия условие невырожденности В этой точке выполняется. Однако если мы рассмотрим всю фазовую кривую, выходящую нз точки (рп ду), то в некоторые моменты времени О между О и «условие невырожденности может не выполняться в точке (р (О), д(8)) лагранжева многообразия леМ. Такие точки и называются фояальясьми точками к многообразию М вдоль рассматриваемой фазовой кривой.
Заметам, что определения фокальной к М точки в явдекса Морса не завясят от уравяевня Шредквтера, а относятся просто к геометрии фазового потока в кокасательком расслоеявв к копфягурацяовному пространству (ялк, что то же, к варяацяовному исчислению). В частности, в качестве лагрввжева мвогообразвя зт мовшо ваять слой кокасательвого расслоевкя, ярохсдящяй через точку (р, «р) (задавный условием д = ее).
В атом случае фокальвая к М точка ка выходящей вз (р„, се) фазовой кривой Вазывается сеяряжеякой к исходной точке (точвее, проекция атой фокальной точкв яа ковфягурацяопкое пространство иааывается сопряженвой точной к точке с» вдоль зкстремалк в ковфвгурацвовком пространстве, выходящей яа точка е» с ампул»сом р»). В еще более частном случае дввженкя по геодезяческвм на рвмвяовом мкогообразив фокальяая точка к слою кокасательэого расслоеввя казывается сопряжевпой с вачалькой точкой геодезвческой вдоль втой геодезкческой.
Накркмер, Южный полюс сферы— сопряжеввая точка Северного полюса вдоль любого меридиана. Икаекс Морса отревка геодеавческой, равный числу сопряжеввых началу точек, играет важную роль в варкацяокком всчяслеввв. А именно, рассмотрям второй дифференциал действвя как квадратичную форму на пространстве вариаций кзучаемой геодезической (с закреплеявымя концами). Тогда отрицательвый индекс инерции втой квадратичной формы равен пядексу Морса (см., напрвмер, Мклкор Дж Теорвя Морса.— Мл Мвр, »965). Таким обрааом, до первой сопрюкепвой точкя геодезвческая резлпвует макямум действия, чем я оправдывается вавваяве «првяцвп ввямевьшего действия» для равлячвых варвацвоввых принципов мехаввкя. Заметим, что при вычислении индекса Морса фокальные точки нужно учитывать с кратностями (кратность фокальной точки Общего положения равна 1).
Индекс Морса является частным случаем так называемого индекса Маслова, который определяется независима от какого бы то нн было фазового потока для любых кривых на лагранжевом многообразии кокасательного расслоения над конфигурационным пространством. Рассмотрим проекцию нашего и-мерного лагранжева многообразия на п-мерное конфигурационное пространство.
Это — гладкое отображение многообразий одинаковой размерности. Оно 412 дотглвление 11 может иметь особые точки, т.е.точкн, в которых ранг производной отображения падает н в окрестности которых проекция не является диффеоморфизмом. Оказывается, вообще говоря, множеспгво особью точек само имеет размерность п — 1 и состоит из объединения гладкого многообразия размерносгпи и — 1 ггростейших особых точек, в которьгх ранг падает на 1, и из конечного набора многообразий, размерность которью и — 3 и меньше.
Здесь «вообще говоряэ означает, что указанных свойств ыояпго добиться сколь угодно малым пгевелением лагранжева многообразия, при котором оно остается лагранжевым. Существенно отметить, что среди частей рагпых рангов, на которые раэбнка«тся ыкож«ство особых точек, нет части размерности к — 2. За простейщвмк есебыыв точками, обраэугвциыи многообразие раэыэрвости к — 1, следуют точки, где ранг падает на две единицы, и овн образуют многообразие размерности и — 3.
Проекция множества особых точек ва конфигурационное пространство (кауствка) состоит, вообще говоря, иэ частей всех рааыервостей от 0 до и — 1 беэ пропусков. Далее, оказывается, что и — 1-.керное многообразие простейших особых точек расположено на лаеранжевом многообразии двусторонне, а именно ыожно следующим образом согласовать ориентации нормалей во всех его точках.
Рассмотрим какую-либо простейпгую особую точну яа лагранжевом многообразии. Рассмотрим систему координат дг, ..., д в окрестности проекции этой точки па конфигурационное пространство. Пусть р„ ..., р„ — соответствующие координаты в слоях кокасательного расслоения. В окрестности нашей особой точки лагран>кево многообразие можно рассматривать как график вектор-функции (дг, рг,..., р„) от переменных (р„дг,..., д„) (или вектор-функции аналогичного вида, в которой роль выделенной координаты исполняет не первая, а какая-либо нз остальных). Особые точки вблизи данной определяются тогда из условия дуг/дрг = О.
Длн лагранжевых многообразий общего положения эта производнан меняет знак прн переходе с одной стороны многообразия особых точек на другую в рассматриваемой окрестности простейшей особой точки. Мы выбираем аа положительную сторону ту, где эта производная положительна.
Заметим, что согласовавпо«чь определекэя положительного направления вблвав разных точек нужда«тся в доказательстве. Более того, нужно доказать, что пололщтельное направление вблизи одной точки определено корректно, т. е. не зависит от коордвнатвой системы. Все это можно сделать прямыми вычислениями (сы. цитированную выпи статью в «Функциональном авглкэеэ).
Теперь индекс Маслова ориентироватгой кривой на лагранжевом многообразии определяетсн как число переходов с отрицательной стороны многообразия особенностей на положительную КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ 413 минус число обратных переходов. При атом предполагается, что концы кривой неособы и что кривая пересекает лишь многообразие простейших особых точек и лишь под ненулевыми углами. Определив индекс для таких кривых, можно определить его для произвольной кривой, соединяющей две неособые точки: для этого достаточно аппроксимировать кривую такой, которая пересекает лишь многообразие простейших особых точек и притом под ненулевыми углами.
Моенно показать, что от выбора аппроксимирующей кривой индекс не зависит. 3 а д а ч а. Найти иядекс ориевтировавиой параметром е, О ~( Е Ч;. 2к, окрулезоста р = ссе б е = аш е иа лаграюкевои многообразии Ре+ ее = 1 фаэовой плоскости. Оееееез.
+ 2. Наконец, индекс Морса фазовой кривой в Ке" можно теперь определить как индекс Маслова кривой на п + 1-мерном лагранжевом многообразии в подходящем 2л + 2-мерном фазовом пространстве. Координатами в атом пространствеслужат(ре,р; де,д) (где (р, д) б= К'"). Если положить здесь де = 1, р„= — Н (р, д), а точку (р, д) заставить пробегать л-мерное лагранжево многообразие в Ке", полученное иа исходного за время ~ под действием фазового потока, то при изменении Т полученные точки в Ке"+э заметут и + е-мерное лагранжево многообразие. График движения фааовой точки под действием фазового потока можно рассматривать как кривую на этом л + 1-мерном лагранжевом многообразии. Можно проверить, что индекс Маслова этого графика совпадает с индексом Морса исходной фазовой кривой.
В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве К'" = ((р, д)), кроме симплектической структуры, еер /~, е(д еще евклидову структуру (со скалярным квадратом ре + де) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу Х: К"* -е- К'", 1 (р, д) = ( — д, р); з = р + ед, С" = (з). Все три структуры связаны соотношением (х, у) = (1х, у), где квадратными скобками обозначено кососкалярное произведение. Линейные преобразования фазового пространства, сохраняющие какие-нибудь две (и тогда все три) структуры, называются уяитарнъиаи. Такие преобразования переводят лагранжевы плоскости в лагранжевы.
Каждая лагранжева плоскость менглет быть получена из какой-нибудь одной (например, кз вещественной плоскости К", за- донлвлннин 11 данной уравнением д = О) унитарным преобразованием. При этом любые два унитарные преобразования А, В, переводящие вещественную плоскость в одну н ту же лагранжеву плоскость, отличаются на унитарное преобразование, являющееся вещественным ортогональным преобразованием: В = АС, где СК" = К".
Обратно, любое предварительное ортогональное преобразование не меняет образа вещественной плоскости под действием унитарного преобразования. Заметим теперь, что определитель ортогонального преобрааованин равен ~1. Поэтому квадрат оиредазителл унитарного преобрааования, переводящего вещественную плоскость в данную лагранжеву плоскость, зависит лишь от самой лагранжевой плоскости и совершенно не зависит от специального выбора унитарного преобразования. После этих предварительных замечаний вернемся к нашему лагранжеву многообразию и лежащей на нем замкнутой ориентированной кривой. Н каждой точке кривой имеется касательная плоскость к лагранжеву многообразию в линейном симплектнческом пространстве.
Квадрат определителя унитарного преобразования, переводшцего вещественную плоскость в касательную, есть комплексное число, по модулю равное единице. При движении точки по нашей замкнутой кривой это комплексное число меняется.13а время полного обхода кривой квадрат определителя совершит некоторое целое число оборотов вокруг начала координат на плоскости комплексного переменного, ориентированной от 1 к ю. Это целое число и есть индекс рассматриваемой замкнутой кривой.
Индексы замкнутых кривых входят в асимптотнческие формулы для стационарных задач (собственных колебаний). Предположим, что фазовый поток, соответствующий потенциалу У, имеет инвариантное лагранжево многообразие, лежащее на уровне энергия Н = Е. Тогда уравнение -'-Др=Л (П(~) — Е)ф имеет серию собственных чисел Лн-~- с с асимптотикой Л,д = = ри + О (рл), если для всех замкнутых контуров у на нашем лагранжевом многообрааии выполняется сравнение — (~ р Идж(пд у(шоб 4у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
