В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 88
Текст из файла (страница 88)
3 а д а ч а. Расклассифицпровать собст»евине колебания системы, группа сп»аяетрий которой есть группа па 24 вращений куба. Ожеет. Копебавия бывают пята типов. При вращениях иа каждого. колебания может волучиться система иа 8, либо 6, либо 4, либо 2, либо 1 веаависпмого кол«бакин (а последнем случае колебания полностью свмметричвы). 3 а и е ч а к и е. Для классификации колебавий а системах с любыми группами симметрий разработав специальный аппарат (так вавываемая теория представлений групп). См., вапример, Л ю б а р с к п й Г. Я.
Теория групп и ее применение е фпеике.— И.: ч»е»маттис, 1958, где имеются необходимые таблицы. Г. Поведение частот симметричной системы при иамененни параметров, сохраняющем симметрию. Предположим теперь, что ваша симметричная система зависит общим образом от некоторого числа параметров, причем симметрия не нарушается прн изменении параметров. Тогда собственные частоты различных кратностей также будут зависеть от параметров, и возникает вопрос о столкновениях собственных частот.
Я ограничусь формулировкой результата для простейшего случая систем с поворотной симметрией третьего порядка (для поворотной симметрии любого порядка и з- 3 ответ такой же). Подробности можно найти в статьях: А р н о л ь д В. И. Моды н квазимоды // «Рувкцнональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, № 2.— С. 12 — 20; К а р п у ш к ни В.
Н. Об асимптотике собственных чисел симметричных многообразий и о «наиболее вероятных» представлениях конечных групп // Вестник МГУ. Сер. матем.— 1974.— № 2.— С. 8 — 13. Собственные колебания любой системы с поворотной симметрией третьего порядка делятся яа два типа: симметричные колебания н колебания, переходящие при повороте на 120' в независимые с исходныы.
Для общей системы с поворотной симметрией третьего порядка (не имеющей, в частности, никакой дополнительной симметрии) все собственные частоты первого типа просты, а второго — двукратны. Далее оказывается, что если система зависит общим образом от одного параметра и си»пчетрична при всех значениях параметра, то при иамснении параметра собственные частоты симметричных колебаний нс сталкиваются друг с другом, а двукратные собственные частоты нес метричных колебаний не распадаются, Кроме того, двукратные собственные чаапоты несимметричных колебаний нс сталкиваются друг с другом при игмснении параметров.
Однако собственные часпюты симметричных и несимметричн х колебан й движутся при иаменении параметра довлвлвние 10 независимо друг от друга, так апо при отдельных значениях параметра могут ппалкиваться (и проходить друг сквозь друга) собппвенная частота симметричного колебания и (двукратная) собственная частота несимметричного колебания Чтобы столкнулись две собственные частоты симметричных колебаний, нужно менять как минимум два параметра, а две собственные частоты несимметричных колебаний — минимум три. Вообще, чтобы в типичном семействе систем с поворотной симметрией третьего порядка встречались системы, соответствующие столкновению 1 простых собственных частот (1 симметричных колебаний) и 1 двукратных (/ несимметричных колебаний), число параметров семейства долэкно быть не менее, чем (1 — 1)(1 + 2)/2 + уэ.
Применим сказанное к колебаниям симметричных мембран. Здесь мы будем считать, что мембране общего вида, выдерживающей поворот на 120', соответствует эллипсоид общего вида в пространстве эллипсоидов конфигурационного пространства, выдерживающих индуцированное поворотом мембраны преобразование конфигурационного пространства. Точная формулировка этого вредположэаяя заключается в травсеерсэльвсстя отображения пространства сямяетрвчвых ыеыбрэв э простраястео сямыстрячвых элляпсовдов я ыяогообраэяяы эллввссядое с раэхичяыяя чяслэыя кратных осей для всех мембран, исключая множество яорээяерности бесконечность.
Если согласиться с этим предположением, то мы прйходим к следующим выводам о колебании симметричных мембран. 1. Для мембран общего вида, в держивающих поворот иа 120', асимптппически треть собппвенных частот (считая их с кратностями) простая и соответствующие собственные колебания выдерживанзп поворот на 120'. Ослшльные собппвенные частоты двукратные, каждой двукратной собппвенной частоте соответстпвуют три собственные функуии, в сумме равные нулю и переходящие друг в друга при повороте иа 120'. 2. В однопараметрических семействах общего вида таких симметричных мембран встречаются при изолированных значениях параметпров столкновения однократной часпюты с двукратной, но не вппречаются ни столкновения однокр тных частот друг с другом„ни столкновения друг с другом двукратных частот.
3. Минимальное число параметров семейства мембран, в котором реализуются (неустранимо посредством сохраняющего симкетрию малого шевеления) более сложные столкновения собствен.ных частот, дается формулой ~~Р 1(э — 1)(1 + 2)/2 + уэ) ты, КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ 'ЧАСТОТ где см — число лючек столкновения х Однокрахннмл и ) дгукратнмк чйснхОхк. В частности, при типичной малой деформации круглой мембраны, сохраняющей вращательную симметрию третьего порндка, сразу же распадается треть двукратных собственных чисел (соответствующих собственным функциям с азнмутальной частью соз Зхххр и а(п Зхх(р). При дальнейшей однопараметрической деформации простые и двукратные собственные частоты могут проходить друг сквозь друга, но ни две простые, ни две двукратные собственные частоты друг с другом не сталкиэаипся., Д. Обсуждение.
Значение соображений общего положения и симметрии состоит, в частности, в том, что они позволяют получить некоторую информацию в тех случаях, когда найти точное решение задачи не удается. В частности, почти ни для каких мембран не известны формы собственных колебаний. Тем не менее из общих соображений можно кое-что сказать, например, о кратностях собственных чисел. Исследование высокочастотных колебаний сплошных сред имеет весьма большое значение для ряда областей (оптика, акустика и т. д.), и для приближенного отыскания формы собственных колебаний разработаны специальные приемы. Один из этих приемов (так называемая кгагнклассичсская асилшпотика) состоит в том, что колебание ихцется в виде, локальяо блиаком к простой гармонической волне малой длины, у которой, однако, от точки к точке слегка меняются амплитуда и направление фронта.
Анализ (на котором мы не можем адесь останавливаться), покааывает, что в некоторых случаях можно построить приближенные решения уравнения собственных функций с указанными свойствами. При этом приближенными решениями они являются в том смысле, что почти удовлетворяют уравнению для собственных функций (а не в том, что близки к настоящим собственным функциям).
В частности, если мембрана имеет форму равностороннего треугольника со сглаженными и сильно затупленными углами, то удается построить приближенное решение описанного типа, которое заметно отличается от нуля лишь в Окрестности одной из высот треугольника. (Физики называют зто приближенное решение волновым аналогом луча, движущегося по высоте треугольника; этот луч является устойчивой*)траекторией бильярда, имеющего форму нашей мембраны; ср. добавление о коротковолновых асимптотиках).
е) условие линеаиой усхойчиаости бильнрдной траектории имеет внд (х, + ха — х)(хх — ))(ха — () х О, где 3 — длина стрегна траекхории, хх и ха — радиусы кривианн стенки в его концах. 406 ЛОБАВлиниз ы Пз соображений симметрии и общего положения вытекает, что у типичных мембран с поворотной симметрией третьего порядка настоящих собственных колебаний описанного типа нет, Действительно, предположим, что одно из собственных колебаний мембраны сосредоточено близ высоты (но не вблизи центра мембраны). Тогда, повернув его на (20' и на 240', мы получим три собственные колебании с одинаковыми собственными частотами. Эти три колебания независимы (зто следует из отличия от нуля их суммы).
Следовательно, собственная частота трехкратна, что у типичных систем с поворотной симметрией третьего порядка не встречается. Из приведенного рассуждения видно, что пытаться строить строгую высокочастотную асимптотику собственных функций— довольно безнадежное дело: лучшее, на что можно надеяться,— зто получить приближенные формулы для почти собственных колебаний. Такое почти собственное колебание может весьма сильно отличаться от настоящих собственных колебаний, однако если задать соответствующее начальное условие, то движение в течение длительного времени будет напоминать стоячую волну (собственное колебание).
Пример почти собственного колебания — движение одного из двух одинаковых маятников, соединенных очень слабой пружиной. Если в начальный момент приведем в движение первый маятник, а второй неподвижен, то в течение длительного времени колебаться будет практически один лишь первый маятник, и колебания будут почти собственными. При настоящих же собственных колебаниях амплитуды обоих маятников одинаковы, Вопрос о свали геометрии мембраны со свойствами ее собственных колебаввй в последние годы ивтеисвзио изучался многими авторами (в том числе Г. Вейлем, С. Мввакшисуздарамом и А.
Плейелем, А. Сельбергом, Дж. Милиором, М. Кацап, И. Зивгером, Н. Макквпом, М. Верже, И. Колпи де Вердье, Ж. Чезареиом, Ж. Дюистермаатом, В. Ф. Лазуткиным, А. И. Швирельмаком,. С. А. Молчановым). На простейший вопрос еможяо ли услышать форму барабапата ответ оказался отрицательным: существуют ие взометричпые римаповы многообразия с одинаковым спектром. С другой стороны, некоторые свойства мяогообразая восстанавливаются по спектру собствеявых чисел оператора Лапласа и по свойствам собственных функций (например, восстанавливается полный набор длин замкнутых геодезических).
ДобавлеииеМ КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ Описание распространения света в геометрической оптике при поъющи лучей (т. е. с помощью канонических уравнений Гамильтона) или волновых фронтов (т. е. с помощью уравнений Гамильтона — Лкоби) с точки зрения физической оптики является лишь приближением. Согласно представлениям физической оптики свет — зто электромагнитные волны, а геометрическая оптика— коготковолновык Аснмптотикн это первое приближение, хорошо описывающее нвления, лишь когда длина волны мала по сравнению с размерами рассматриваемых тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
