В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Конечно, рассуждения подобного рода нуждаются в строгом обосновании. Мы однако не будем этим заниматься, а посмотрим, к каким выводам приводят развитые вьппе общие сообра»кения, если не побояться применить их к задаче о колебаниях сплошной среды. Кинетическая энергия сплошной среды, заполняющей компактную область Х>, выражается через отклонение и точки х от равновесия формулой Т = — З1ййх. 1 «.г 2 Среду мы будем для определенности считать мембраной (в этом случае область Б двумерна, а отклонение и одномерно).
Кинетическая энергия задает евклидову структуру в конфигурационном пространстве задачи (т. е. в пространстве функций й). Потенциальная энергия дается интегралом Дирихле Е7 = — ~ (7и)г йх 1 2 (с математической точки зрения эти данные входят в определение мембраны). Квадраты собственных частот мембраны — это собственные числа квадратичной формы Е7 в конфигурационном пространстве, метрика которого задана с помощью кинетической энергии. Мы примем, что типичной мембране отвечает типичная квадратичная форма (предположение это означает трансверсальность многообразия квадратичных форм, соответствующих разным мембранам, многообразию форм с кратными собственными числами).
Если поверить в это свойство общего положения, то мы приходим к следующим выводам. 1. Для мембраны общего положения все собственные частоты различны. От одной мембраны общего положения к другой зюжка перейти непрерывным путем, сплошь состоящим из мембран с простым спектром. Более того, типичный путь, соединяющий две любые мембраны, не содержит ни одной мембраны с кратным спектром (исключая, возможно, копны пути).
400 довлзленив 10 2. Менял два параметра мембраны, можно добиться совпадения двух собственных частот; чтобы получить трехкратную частоту, нужно иметь в своем распоряжении пяпгь независимых парол>строе, четырехкратную — дею|ть и т. д. 3. Если, отправляясь от мембраны с просгаым спеюпром и непрерывно деформируя ее, перейти к другой лембране с простым спектром по любому пути общего положения, то в результате такого продоллсения игл-й по величине собственной частоты исходной мембраны >голучится неаависимо опг пути деформации всегда й-л по величине собственная частота конечной мембраны; продолжение же собственных функций, вооб>це говоря, зависит от пу>пи дефорлации (а именно, при иаменении пути лижет излснилгьсл знак получающейся собственной функции).
В частности„ест|, начав с мембраны с простым спектром и деформируя ее, мы опишем аамкнутый путь в пространстве мембран и вернемся к исходной мембране, обойдя вокруг множества мембран с кратным спектром (которое ведь имеет коразмерность 2), то й-я собственная частота вернется к исходному аначени>о.
а й-я собственная функция может сменить знак. В. Влияние симметрий на кратность спектра. Кратный спектр является исключением в системах общего вида, но он появляется неустранимым малым шевелением образом в случаях, когда данная система симметрична и деформации сохраняют симметрию. Рассмотрим, например, систему из трех одинаковых масс в вергпнвах равностороннего треугольника, соединенных одинаковыми пружинами друг с другом и с центром треугольника и способных двигаться в плоскости треугольника. Система имеет поворотную симметрию третьего порядка.
Следовательно, в конфигурационном пространстве (раамерность коего равна 6) действует линейный оператор д, куб которого равен г, и который оставляет неизменной как евклидову структуру конфигурационного пространства (заданную кинетической энергией), так и эллипсоид в конфигурационном пространстве, задающий потенциальную энергию. Из сказанного следует, что атот аллипсоид должен быпгь аллипсоидом вращения.
Действительно, если д — указанный оператор действия симметрии в конфигурационном пространстве, а й — вектор на главной оси эллипсоида, то ось направления уч также является главной осью (ибо вращение д переводит эллипсоид в себя). Для вектора уэ возможны два случая: либо уч = $, либо векторы 5 и уэ линейно независимы. Во втором случае плоскость. натянутая на векторы ф и уй, сплошь состоит из главных осей.
Поэтому соответствующее такой оси собственное число как минимум двукратное. Пространство, натянутое на три вектора, ь, уй, у>$, инвариантно относительно у. Оно либо двумерно (тогда у действует в нем как поворот на $20'), либо трехмерно (тогда я 401 КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ действует как такой же поворот вокруг оси Ь + я- + Ьг~). В последнем случае мы можем выбрать эту сумму в качестве направления одной из главных осей эллипсоида, а две другие оси з указанном трехмерном пространстве взять ему перпендикулярными. Поэтому оси эллипсоида, переходящего в себя при ортогональном преобразовании третьего порядка (в пространстве любого числа измерений) можно выбрать так, что всякая ось прн преобразовании либо остается на месте, либо поворачивается на 120 в инвариантной плоскости, натянутой на нее и на другую (ортогональную ей, как и зсе другие оси) ось той же длины.
В дальней1пем мы считаем, что осн эллппсонда и соответственно направления собственных колебаний выбраны именно таким образом. Наши рассуждения показывают, что собственяые колебания системы с поворотной симметрией третьего порядка могут быть двух типов: выдерживающие поворот на 120' (яэ = — е) и переходящие при таком повороте в независимое собственное колебание с той же частотой (а$ и 5 неаависимы). Во втором случае возникают даже три формы собственных колебаний с одинаковой частотой (Э, д и дг~), но независимых среди них только две: так как сумма трех векторов равной длины, образующих углы по 120' на плоскости, равна нулю. Общее число собственных колебаний нашей системы равно 6. Чтобы узнать, сколько нз них первого (симметричного) и второго (неснмметричного) типа, можно воспользоваться следующим рассуждением. Рассмотрим предельный случай, когда каждая из масс колеблется независимо от других.
В этом случае мы можем выбрать в конфигурационном пространстве ортонормированный базис из шести собственных колебаний, по два на каждую точку, при которых одна точка движется, а две другие нет. Обозначим через 51 и г)1 соответствующие 1-й точке собственные векторы с собственными частотами а и Ь соответственно, и пусть хг, у1 — координаты в ортонормированном базисе $1, Ч1.
Тогда потендиальная энергия запишется в виде П = — (агх,' + ЬгА + †. (агхг + Ьгуг) + †. (Егггг + Ьгу.'). Оператор симметрии я переставляет оси координат: а$1=ьг а$ =эг* аФз=ь ° УЧ1 = Чг А'Чг = Чг ЗЧг = Ч1. Мы можем теперь представить наше шестнмерное пространство в виде ортогональной прямой суммы двух прямых и двух двумерных плоскостей, инвариантных относительно оператора симметрии я.
А именно, инвариантные прямые определяются 402 донлвлнние !О направляющими векторами юг+4 +Вэ, Ч,+Чэ+Ч ° а инвариантные плоскости — это их ортогональные дополнении в пространствах, натянутых на орты с; и тй соответственно. При этом первая прямая является направлением симметричного собственного колебания с частотой а, а вторая — с частотой Ь. Точно так же любой вектор первой плоскости является направлением собственного колебания с частотой а, которое при повороте на 120' переходит в независимое с ннм колебание той же частоты; для всех векторов второй плоскости колебание также несимметричное, с частотой Ь.
Итак, з рассматриваемом вырожденном случае трех независимых точек имеются два независимые собственные колебания си метричного типа и четыре неси м тричного, причем последние разбиты на две пары. П каждой паре колебания имеют одинаковую собапвенную чаапоту и получаются друг из друга поворотом плоскости наших точек на 120:. Я утверждаю теперь, что подчеркнутый выше вывод остаегся справедливым для любого закона взаимодействия между нашими точками, лишь бы взаимодействие было симметричным, т.
е. потенциальная энергия системы сохранялась при повороте плоскости на 120'. Действительно, инвариантные относительно у векторы конфигурационного пространства образуют двумерную плоскость. Каждый вектор четырехмерного ортогонального дополнения к этой плоскости при применении оператора у поворачивается на 120'. Потенциальная энергия разлагается в прямую сумму форм на описанных двумерном и четырехмерном инвариантяых пространствах оператора у. Шесть собственных направлений выбираются теперь так. Ровно два из шести векторов соответствуют симметричным колебаниям, а остальные четыре лежат в ортогональном им четырехмерном пространстве векторов, поворачивающихся на 120'. Возьмем один из этих векторов, применим к нему оператор у и объявим полученный вектор парным с исходньви направлевием собственного колебания. Затем в ортогональном дополнении к получившейся плоскости в четырехмерном пространстве выберем любой вектор и в пару ему возьмем его образ при действии оператора у.
Мы получили систему из шести собственных колебаний, обладающую требуемыми свойствами. Таким образом, в системе общего вида трех тачек на плоскости с поворотной симмегприей третьего порядка имеются чегпыре различные собственные частоты, в том числе две простые и две двукратные. При этом каждой из прост х собстпвенных частот отвечает симметричное собапвенное колебание, а каждой из двукратных — три собственные колебания, получающиеся друз 403 КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ иа друга поворотом на 120' и дающие в сумме нуль (ток что не- вависимых среди них люлько два). 3 а д а ч а. Расклассифицврояать собогаеввые колебавия свстемы с симметрией правильного треугольника (допускающее ве только повороты иа 129', во также отражевия отвосительво высот треугольвика).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
