В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Рассмотрим случай п = 2, т. е. эллипсы на плоскости. Эллипс определяется тремя параметрами (например, двумя длинами осей н углом, аадающим направление одной из ннх). Таким образом, многообразие эллипсов на плоскости трехмерно, как и должно быть по нашей формуле. Окружность же определяетсн одним параметром (радиусом). Таким образом, многообразие окружностей в пространстве эллипсов — это линия в трехмерном пространстве, а не поверхностьг как кажется на первый взгляд.
396 ДОБАВЛЕНИЕ 10 Этот «иарадоис» становится, быть может, более поиятиым из следующего вычисления. Квадратичные формы Ах«+ 2В«у + Су» с разными собстиеииыии числами образуют и трехмерном пространстве с ичордииатаии А, В, С многообразие, заданное одним уравнением А = Хю где )ч (А, В, С) — собственные числа. Однако левая часть этого уравнения язляетси су«пюй двух квадратов, что видно из формулы Лля Иискриииваита характеристического уравнения Ь = (А + С)« — 4 (А С вЂ” )Р) = (А — 'С)» + 4В».
Таким абра»ом, оиио уравнение а = О ояределяет и трехиерисм простран- стве ююдратичиых форм прямую (А = С, В = 0), а ие поверхность. Простейпп1й вывод иа того, что многообразие эллипсондов вращения имеет корачмерность 2, состоит в том, что это многообразие не делит пространство всех эллипсоидов (а многообразие квадратичных форм с кратным спектром не делит пространство квадратичнь1х форм), подобно тому как прямая не делит трехмерное пространство. Следовательно, мы можем утверждать не только, что у эллипсоида «общего положения» все осп разной длины, но и что любые два такие эллипсоида можно соединить гладкой кривой в пространстве эллипсоидов, сплошь состоящей иэ эллипсоидов с осями разной длины.
Более того, если два эллипсоида об1цего положения соединены гладкой кривой в пространстве эллппсоидов, на которой есть точки, являющиеся эллипсоидами вращения, то сколь угодно малым шевелениеы кривой можно снять ее с множества аллипсопдов вращения, так что на новой кривой все точки будут эллнпсоидами беэ кратных осей. Из сказанного вытекает, в частности, простое доказательство теоремы о возрастании собственных частот при возрастании жесткости системы. Действительно, производные некратного собственного числа квадратичной формы по параметру определяются производной квадратичной формы по соответствующему собственному направлению. Если жесткость растет, то потенциальная энергия растет по каждому направлению, в том числе и по собственному.
Значит, и собственная частота растет. Тем самым мы доказали теорему о возрастании частот в случае, когда от исходной системы к более жесткой можно перейти, минуя кратный спектр. Доказательство в присутствии кратного спектра получается теперь предельным переходом на основании того, что внутреннюю часть пути перехода от исходной системы к более жесткой можно сдвинуть с множества систем с кратным спектром сколь угодно малым шевелением.
Резюмируя, мы можем сказать, что типичное однопаралетрическое семейство эллипсоидов (или квадратичных форм в евклидовол«проопранстве) не содержит эл. ипсоидов вращения (квадратичных форм с кратным спектрол«). Применительно к эллипсоиду инерции получаем приведенный выше вывод о необходимости двух юстировочных масс.
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 397 Обратимся теперь к двупараметрическим семействам. Из напгих подсчетов следует, что в типичных двупаралгетрических семействах аслипсоиды вращения встречаются лишь в отдельных изолированных пигчках плоскости параметров. Рассмотрим,вапрвмер, выпуклую поверхность в трехмерном евклвдовом пространстве.
Вторэв ввэдрэтвчпэв форма поверхности определяет эллипс в касательвом пространстве в каждою точке. Поэтому возникает лвупараметрическое семейство эллипсов (которые можно перенести в одну плоскость, выбрав вблвэп точки вэ поверхвоств локальную систему воордвнэт). Мы приходим к выводу, что в каждой точке поверхности, прове отдельных вэолвровепвых точек, эллипс вмеег осв разков длины. Следовательно, вэ поверхности общего вида возникает два ортоговэльвых полн вапрэвлевпй (больших и малых осей эллипсов) с иаалираааниилги асабияи тичкаии.
В двфферевцвэльвой геометрии зтв вэправлепвн называются вэпрэзлеввями главных кривизн, э этв особые точки — анбли геакими точками. Шэпргсвер, ва поэерхвоств элли~сопле имеется четыре омблвчесвпе точки; овп нежат нэ содержащем большую и малую осв эллипсе в две вз ввх хороню гидвы вэ рисунке геодезических ва зллвпсопде (сы. рпс. 207). Точно так же в типичном трвхпаралгстрическом семействе эллипсоиды вращения встречаются лишь на отдельных лгннях в трехмерном пространспгве параметров. Например, если в каждой точке трехмерного евклидова пространства задан эллипсоид, (т. е. задан симметричный двухпндексный тензор), то особенности полей главных осей будут, вообще говоря, на отдельных линиях (где два из трех полей направлений терпят разрыв).
Эти линии, как и омблические точки в предыдущем прпмере, бывают нескольких различных типов. Их классификацию (для типичных полей эллнпсоидов) можно получить из классвфпкации особенностей лаграпжевых проекций, приведенной в добавлении 12. В типичном чсгпырехпараметрическом семействе эллипсоиды вращения встречаются на двумерных поверхностях пространства параметров.
Зги поверхности не имеют особенностей, кроме трансверсальных пересечений в отдельных точках пространства параметров; этим значениям параметров отвечают зллнпсонды с двуми (разными) парами равных осей. Трехкратная ось появляется впервые при пятгг параметрах, в отдельных изолированных точках пространства параметров. Значения параметров, соответствующие эллипсоцдам с двукратной осью, образуют в пятвмерном пространстве параметров трехмерное многообразие с особенностями двух типов: трансверсальными пересечениями двух ветвей вдоль некоторой кривой и коническими особенностями в отдельных (не лежащих на этой кривойу точках, а именно в точках пространства параметров, соответствующих эллипсоидам с трехкратной осью. Укэзаввэя коническая особеввость устроева тэк, что прп пересечении четырехмервой сферой малого радиуса с центрам в особой точке получаются два экземпляра проектвввой плосвоств.
Вовпввающве вложения проевтивиой илоскоств в четьгрехмервую сферу двффеоморфвы вложеввю, которое 398 ДОБАВЛЕНИЕ Гб знднетсн пятью сферическими фувнцвныв второй степени нн двумерной сфере (пять ортоворывровнввых н пространстве фузнцвй вн сфере не + нх + хе = 1 линейных комбинаций функций хенн ортогонндьных единице, эндндп четное отобран*евве 8' ое н, следовательно, вложение К ге ое). Полеано разобраться еще, как ведут себя собственные числа квадратичной формы из типичного двупараметрического семейства при подходе к особой точке, где два собственных числа совпадают. Небольшое вычисление показывает, что график указанной пары собственных чисел имеет над плоскостью параметров вблизи особой точки вид двупалого конуса, вершина которого отвечает особой точке, а каждая из половин — одному иа собственных чисел (рис.
243). Типичное одномерное подсемейство нашего двумерного семейства имеет вид кривой в плоскости параметров, не проходящей череа особую точку. Всякое одномерное подсемейство, содержащее особую точку, можно сдвинуть с нее малым шевелением, причем получающееся одно- А мерное семейство будет кри- Х вой в простраястве параметров, проходящей блиако от особой точки.
График собственных чисел над кривой на плоскости параметров, проходящей вблизи Особой точки, состоит из тех точек коРно. Уяг. Соботеенные частоты одно- н двух- е ннг,'гнете',нчееннх о зо е нонебете ьных он - нуса, котоРые ИРО ктируют ген общего вида ся на зту кривую. Следова- тельно, указанный график вблизи особой точки близок к гиперболе, похожей на пару пересекающихся прямых (пара прямых получилась бы, если бы наше однопараметрическое семейство проходило через особую точку). Приведенное рассуждение о собственных числах двупараметрических семейств квадратичных форм объясняет странное поведение собственных частот при изменении одного параметра: вообще говоря (исключая случаи совершеяяо особые) при изменении одного параметра собственные частоты могут подходить близко друг к другу, но не могут обгонять друг друга, а должны, сблиаившись, снова разойтись в разные стороны.
Б. Применение к исследованию колебаний сплошных еред. Приведенные выше общие соображения имеют многочисленные приложения прн исследовании зависимости от параметров собственных частот раанообразяых механических систем с конечным числом степеней свободы; однако, вероятно, наиболее интересные их приложения относятся к системам с бесконечным числом степеней свободы, описывающим колебания сплошных сред. Зтн приложения основаны на том, что кораакерноегпи многообразий гллипеоидоб е теми или иными кратностями осей определяются 399 КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ этими кратностями и не зависят от числа измерений пространства. Например, кораамерность множества эллипсоидов вращения в многообразии всех зллипсоидов равна двум в пространстве любого числа намерении;поэтому естественно считать,что и в бесконечном «многообразии» эллипсоидов в бесконечномерном гильбертовом пространстве множество эллипсоидов вращеяия имеет коразмерность 2 (и, в частности, пространство эллипсоидов без кратных осей свнзно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
