В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Частоты на этих торах, вообще говоря, зависят от величины воамущения, но отношения частот сохраняются при изменении е. Если я = 2, то условие изоэнергетической невырожденностн гарантирует также устойчивость переменных действия в том смысле, что они остаются вечно вблизи своих начальных значений при достаточно малом возмущении.
2. Периодическая система. Функция Гамильтона: Н = Нс (1)+ еНг(1, «р, с), 1Е= 6С К", сршос(2яб= 7; ткогяя возмхщкния головне-пнвноднчнскнх движвния 377 возмущение 2я-периодично не только по <р, но и по д Невозмущенную систему естественно рассматривать в 2п + 1-мерном пространстве ((Х, <р, г)) = й" >~ Т"ы. Инвариантные торы имеют размерность и + 1.
Условие невырожденности деФ ~ —,«] ~= О гарантирует сохранение большинства л + 1-мерных инвариантных торов при малом возмущении (з (( 1). Если п = 1, то зто условие невырожденности гарантирует также устойчивость переменной действия в том смысле, что она вечно остается вблизи своего начального значения при достаточно малом возмущении.
3. Отобран<ение (1, ф) (Г, ~у) «2пмерного к о л ь ц а>. Производящая функция ~ (Г, Ч) = ~« (Г) + е~ (Г, у) Г ~ б С В"« р ~ Т". Условие невырожденности йеФ ~ — „~ ~ ~ О гарантирует сохранение болыпинства инвариантных торов невозмущенного отображения ((7, <р) ~ (7, <р + дЯ«(д))) при малом возмущении (е ~~ 1). Если и = 1, то получается сохраняю>цее пло>цади отображение обычного кругового кольца на себя.
Невозмущеняое отобра>кение представляет собой на кано>ой окружности 7 = сопз$ поворот. Условие яевырожденности означает в атом случае, что угол поворота от одной скруп<ности к другой меняется. Инвариантные торы в случае и = 1 превращаютсн в обычные окрунп>ости. В атом случае теорема гарантирует, что при повторении отобран<ения все образы точки будут оставаться вблизи той окружности, на которой лежала исходная точка, если возмущение достаточно мало. 4. Окрестность положения равновесия (а в т о н о м н ы й с л у ч а й). Поло>кение равновесия предполагается устойчивым в линейном приближении, так что определены л собственных частот о>н..., о>„. Предполагаетсн, что между собственными частотами нет резонансных соотношений я>с> +...
+ я„е>„= О с целыми ям О ( ,'~~ ~ й> 1 ~( 4. Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме Виркгофа (см. добавление 7) П= По(т)+ ° ° « 1 %-~ где ыз (т) = ~ о>зтз + з ~ ымъзтн а точки означают члены довлвлнние з выше четвертой степени относительно расстояния от положения равновесия. Условие невырожденностн ае1) «м(чьо гарантирует существование множества иявариантных торов почти полной меры в достаточно малой окрестности положения равновесия.
Условие иэоэнергетической невырожденности йе1 "' " ~О гарантирует существование такого множества инвариантных торов на каждом множестве уровни энергии (достаточно близком к критическому). В случае и = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Нз не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову.
5. Окрестность поло'кения равновесия (п е р и о д и ч е с к и й с л у ч а й). Здесь снова предполагается устойчивость в линейном приближении, так что определены и собственных частот юд,..., ю„. Предполагается, что между собствекньвгя частотами и частотой изменения коэффициентов (которую мы будем считать равной единице) нет резонансных соотношений й,ад +... + й„а„+ й, = О с О ( ,'~~~ ~ й, ~ < 4. з=1 Тогда функцию Гамильтона поясно привести к нормальном форме Биркгофа такого же вида, как в автономном случае, ио с 2я-периодическим по времени остаточным членом. Условие невырожденности бе1~ гезд~ ~О гарантирует существование и + 1-мерных инвариантных торов в 2п+ 1-мерном расширенном фазовом пространстве, близких к окружности т ==- О, изображающей положение равновесия.
В случае и = 1 условие невырожденяости сводится к отличию от нуля производной периода малых колебаний по квадрату амплитуды малых колебаний. В этом случае невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову. б. Неподвижная точка отображения. Здесь предполагается, что зсе 2п собственных чисел линеаризации канонического отображения в неподвижной точке имеют модуль 1 тяогия возмь щвнна »словно-нвгнодичвских движвнип 379 и не удовлетворяют резонансным соотношенвям ннакого порядка Х,"*...3,» =1, )й,(+...+(й.(<4 (где 2л собственных чисел — это уч,..., Х„, Лм..., х„). Тогда отображение, если пренебречь членами выше третьей степени в ряду Тейлора в неподвижной точке, записывается в нормальной форме Биркгофа (т, <Р) (т, <Р+ а(г)), где а (т) = дИдт, 1 %3 К = ~ы»т -~- — » а,т»т, (обычные координаты в окрестности з,~ поло»кения равновесия — это р» = )/2ч»соз <Р» д» = 'г'2т»»1п <Р») ° Условие невырожденности деФ ~ ю», ~ ~ 0 гарантирует существование и-мерных инвариаятных торов (близких к торам т = сова»), образующих множество почти полной меры в достаточно малой окрестности положения равновесия.
Коли п = 1, то мы имеем дело с отображением обычной плоскости ка себя, а инвариантные торы превращаются в окружности. Условие невырождевности означает, что для нормальной формы производная угла поворота окружности по площади, ограниченной этой окружностью, отлична от нуля (в неподвижной точке и, следовательно, в некоторой ее окрестности). В случае и = 1 условие невырожденности гарантирует устойчивость неподвижной точки отображения по Ляпунову.
Заметим, что в этом случае условие отсутствия младших резонансов имеет вид )з ~ 1, Л» чь 1. Такши образом, неподвижная точка сохраняющего площадь отображения плоскости на себя устойчива по Ляпунову, если линейная часть отображения является поворотом на угол, не кратный 90' и 120', и если отличен от нуля коэффициент ым в нормальной форме Биркгофа (гарантирующий нетривиальную зависимость угла поворота от радиуса). Выше мы нигде не останавливались на условиях гладкости, предполагаемых в этих теоремах.
Минимальная необходимая гладкость неизвестна ни в одном случае. В качестве примера можно указать, что последнее предложение об устойчивости неповижных точек отображений плоскости на себя было вначале доказано Ю. Мозером в предположении 333-кратной дифференцируемости, и лишь впоследствии (усилиями Мозера и Рюссмана) число производных было понияюно до 6.
довлвлшгив г Д. Приложения теоремы об инвариантных торах и ее обобщений. Существует много механических задач, к которым применимы сформулированные выше теоремы. В качестве одной из простейших задач такого рода можно указать движение маятника под действием периодически меняющегося внешнего поля или под действием зертикальяых колебаний точки подвеса.
Известно, что в отсутствие параметрическогорезонанса нижнее положение равновесия маятника устойчиво в линейном приближении. Устойчивость эпгого положения равновесия с учетом нелинеиных эффектов (при дополнительном предположении отсутствия резонансов порядков три и четыре) может быть доказана лишь с помощью теорем об кнвариантных торах. Аналогичным образом можно использовать теорему об инвариантных торах для исследования условно-периодических движений системы связанных нелинейных осцилляторов. Другой пример доставляет геодезический поток на выпуклой поверхности, близкой к эллипсоиду.
В этой системе две степени свободы, и мы убеждаемся, что большинство геодезических на близкои' к трехосному эллипсоиду поверхности колеблется между двумя «каустиками», близкими к линиям кривизны поверхности, всюду плотно заполняя кольцо между ними. В то нге время мы приходим к теоремам об устойчивости двух замкнутых геодезических, получившихся при деформации поверхности из двух эллипсов, содержащих среднюю ось эллипсоида (в отсутствие резонансов порядков 3 и 4). В качестве егце одного примера мол»но рассмотреть замкнутые траектории па бильярдном столе люГ>ой выпуклой формы.
Среди замкнутых бильярдных траекторий имеются устойчивые в линейном приблигкении, и мы можем заключить, что в общем случае онн по-настоящему устойчивы. Примером такой устойчивой бильярдной траектории является малая ось эллипса к, следовательно, близкая к малой оси эллипса замкнутая бильярдная траектория на бильярде, близком к эллипсу, устойчива.
Применение теорем об инвариантных торах к задаче о вращении несимметричного тяжелого твердого тела позволяет рассмотреть неинтегрируемый случай тела, приведенного в быстрое вращение. Задача о быстром вращении математически эквивалентна задаче о движении с умеренной скоростью в слабом поле тнжестн: существенным параметром является отношение потенциальной энергии к кинетической. Если он мал, то мы можем использовать в первом приближении эйлерово движение твердого тела. Применяя теоремы об инвариаптных торах к задаче с двумя степенями свободы, которая получаотся после исключения циклической координаты (вращения вокруг вертикали), мы приходим к следующему выводу о движении быстро вращающегося тела: если кинетическая энергия вращения тела достпоточно велика по сравненшо с потенциольнои, то длина век>пора кинетического тВОРия ВОзмущений услОВно-пеРиодических дВижений 381 момента и его наклон к горизонту вечно остаются вблизи своих начальных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
