В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 79

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 79)

Частоты этого движения суть производные невозмущенного гамильтониана по переменным действия: «рг = гог (1), где юа = дНе/дХг. Следовательно, фазовая кривая всюду плотно заполняет тор такого числа измерений, сколько среди частот шг арифметически независимых. Заметим, что частоты зависят от того, какой именно из торов мы рассматриваем, т. е. какие именно значения первых интегралов мы зафиксировали.

Система п функций а от л переменных 1, вообще говоря, функционально независима; в таком случае мы можем просто нумеровать торы частотами, выбрав переменные го за координаты в окрестности рассматриваемой точки в пространстве переменных действия Х. ткогия возмгщкний условно-пзгноднчкских двнжвний 369 Случай, когда частоты функционально наззвисимы, мы будем называть иезмрождехныл случаем. Таким обрааом, условие невырожденности имеет вид ~-д-~= бе~~ ",„' ~~6. Итак„в невырожденном случае на различных инвариантных торах в фазовом пространстве невозмущенной задачи реалиауются условно-периодические движения с разным числом частот. В частности, всюду плотное множество в фазовом пространстве образуют инвариаитные торы, на которых число частот максимально возможное (т. е. л); такие торы называются нерезоканскььки.

Можно показать, что нерезонансные торы образуют в фааовом пространстве множество волной меры, так что мера Лебега объединения всех резонансных инзариантных торов невозмущенной невырожденной системы равна нулю. Тем не менее резонансные инвариаитные торы существу~от н перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от 1 до и — 1. В частности, всюду плотное множество образуют такие инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты (число неаависимых частот 1). Заметим все же, что вероятность попасть на резонансный тор при случайном выборе начальной точки в фазовом пространстве невозмущенной системы равна нулю (так же как веронтяость попасть на рациональное число при случайном выборе вещественного числа).

Таким образом, пренебрегая множествами меры нуль можно сказать, что почти все инвариантные торы в невырожденной невозмущенной системе нерезонансные и имеют полный набор из и арифметически независимых частот. На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Таким обрааом, для почти всех начальных условий фазовая кривая невозмущенной невырожденной системы всюду плотно ааполняет инвариантный тор, размерность которого равна числу степеней свободы (т. е.

половине раамерности фазового пространстваа) . Чтобы лучше представить себе всю картину, рассмотрим случай двух степеней свободы (п ='2). В этом случае фазовое пространство четырехмерно. Следовательно, Рис. 242. Инвариантные томножества уровня энергии трехмерны. рк а та т в ок о аосВафиксируем одно из таких множеств "а~®'" тзо®"а '"~~~" уровня. Это трехмерное многообразие, расслоенное иа двумерные инвариантные торы, можно представить себе в обычном трехмерном пространстве как семейство концентрических торов, вложенных друг в друга (рис. 242).

З7О ДОБАВЛЕНИЕ В Фааовые кривые являются обмотками этих торов, причем обе частоты обращения меняются от тора к тору. В общем случае от тора к тору будут меняться не только обе частоты, но них отношение. Если производная отношения частот по переменной действия, нумерующей торы на заданном множестве уровня функции Н„отличка от нуля, то мы скажем, что наша система изоэнергстически невырожйеяа. Условие иаоэнергетической невырожденности имеет (как нетрудно сосчитать) вид д чуо д1' дН, д1 ФО. дНо д1 условия невырожденностн и изоепергетнческой невырожденности независимы одно от другого, т.

е. ненырожденнея система может быть иеоенергегичесии вырожденной, а изоенергетичесии невыронщенная — вырожденной. В многомерном (л ) 2) случае иеоэпергетичесная невырожденность означает невырожденность следующего отображения л — (-мерного многообразия уроеяя фуннпии Но от п переменных действия е проентнвное пространство размерности и — 1: 1 (ыт(1): юо(1): °:ю (1)). Итак, рассмотрим изоэнергетически невырождениую систему с двумя степенями свободы. Легко построить двумерную площадку, трансверсально пересекающую двумерные торы нашего семейства (по семейству концентрических окружностей в модели в трехмерном евклидовом пространстве). Фазовая кривая, начинающаяся на такой площадке, снова на нее возвращается, сделав оборот вокруг тора. В результате мы получаем новую точку на той же окружности, по которой тор пересекает площадку.

Тем самым возникает отображение площадки на себя. Это отображение плоскости на себп оставляет на месте концентрические меридианные окружности, по которым плоскость пересекают инвариантные торы. При этом каждая окружность поворачивается на некоторый угол, а именно на такую долю полного оборота, какую частота вдоль меридиана тора составляет от частоты вдоль экватора. Следовательно, если система изоэнергетически не вырождена, то угол поворота инвариантных окружностей на плоскости сечения будет меняться от одной окруягности к другой.

Стало быть, на одних окружностях этот угол будет соиамернм с полным оборотом, на других же несоизмерим. Те н другие окружности будут обрааовывать всюду плотные множества, но на почти исех окружностях (в смысле меры Лебега) угол поворота несоизмерим с полным оборотом. Соизмеримость или несоизмеримость следующим образом скааываются на поведении точек окружности при отображении пло- тновня ВОзмУщений Условно-пигиодичесних движвний 37х щадки на себя. Если угол поворота соизмерим с полным оборотом, то после нескольких итераций отображения точка возвращается на прежнее место (число итераций тем больше, чем больше знаменатель дроби, выражающей угол поворота). Если же угол поворота несоизмерим с полным оборотом, то последовательные образы точки при повторении преобразования всюду плотно заполняют меридианную окружность.

Заметим еще, что соизмеримость соответствует резонансным торам, а несоизмеримость — неречонапсным. Заметим также, что из существования резонансных торов вытекает следующее обстоятельство. Рассмотрим некоторую степень отображения нашей площадки на себя, осуществляемого фазовыми кривыми. Пусть показатель степени является знаменателем дроби, выражающей отношение частот на одном иэ резонансных торов. Тогда возведенное в укаэанную степень отображение имеет целую окружность, сплошь состоящую иэ неподвижных точек (а именно, меридиан рассматриваемого резонансного тора). Такое поведение неподвижных точек является противоестественным для отображений сколько-нибудь общего вида, даже канонических (обычно неподнижные точки изолированы). В данном случае целая окружность неподвижных точек появилась иэ-за того, что мы рассматривали невоэмущенную, интегрируемую систему. При сколь угодно малом возмущении общего вида указанное свойство отображения (иметь целую окружность неподвижных точек) должно пропасть.

Окружность из неподвижных точек должна рассыпаться, так что их останется только конечное число. Иными словами„при малом возмущении нашей интегрируемой системы следует ожидать изменения качественной картины фазовых кривых хотя бы в том отношении, что целые инвариантные торы, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми, должны распасться, причем останется конечное число замкнутых кривых, близких к невоэмущенным, а остальные фазовые кривые будут вести себя сложнее.

Мы уже встречались с таким случаем в добавлении 7 при исследовании фазовых колебаний вблизи резонанса. Посмотрим теперь, что происходит при малом возмущении функции Гамильтона с нерезонансными инвариантными торами. Формальное применение принципа усреднения (т. е. первое приближение классической теории возмущений, см. э 52) приводит к выводу, что нининой эволюции нереэонаненый пюр не нретерпееаип.. Заметим, что адесь весьма существенна гамильтоновость воамущений, так как при неконсерватианом воамущении переменные действия, очевидно, могут евояюционировать.

В небесно-механической ситуации их эволюция оаначает вековое иаменение больших ноя уосей кеплеровых вяяипсов, т. е. падение планет на Солнце или их столкновение, ияи уход на большое расстояние аа время, обратно пропорциональное величине возмущения. 372 ДОБАВЛЕНИЕ 8 Если бы консервативные воамушения првводхли к эволюции в первом приближееии, это сказалось бы ва судьбе планет через время порядка (000 лет.

К счастью, порядок эеличииы векоисервативкых воэмущекии много меньше. Формулируемая ниже теорема Колмогорова доставляет одно иэ оправданий приведенного вывода нестрогой теории возмущений об отсутствии эволюции переменных действия. Б. Инвариантные торы воэмущенной системы. Т е о р е и а. Если невозмущеннол замильтонова система не вырождена, то при достаточно лиулом консервативном гамилыпоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немнозо деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кризы.ки, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу ппепеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением.

Доказательство этой теоремы А. Н. Колмогорова основано на следующих его двух замечаниях. х. Зафиксируем нереэонансный набор частот невоэмущенной системы так, чтобы частоты не только были неаависимы, но и не удовлетворяли приближенно никаким резонансным соотношениям малого порядка. Точяее говоря, фиксируетея набор частот со, для которого существуют такие С и ч, что ( (ю, я) () С ) Ь ( ~ при всех целых векторах я ~= О. Можяо показать, что если ч достаточко велико (скажем, ч = л+ 1), то л~ера мяожестеа таких векторов ю (лежащих в фиксировавкой ограниченной области), для которых укаэавкое условие керелокаиокссти нарушается, мала вместе с С.

Далее, будем искать вблизи нереэонансного инвариантного тора невоэыущенной системы, соответствующего фиксированным аначенним частот, такой инвариантный тор возмущенной системы, на котором происходит условно-периодическое движение в точности с теми самыми частотами, которые мы фиксировали и которые, стало быть, удовлетворяют выписанноъсу вьппе условию нереэонансности. Таким образом, вместо обычной для многих схем теории возмущений вариации частоты (состоящей во введении частот, зависящих от возмущения), следует сохранять частоты нереэонансными и постоянными, но зато подбирать начальные условия поданному возмущению так, чтобы обеспечить движение с фиксированными частотами. Добиться этого малым вместе с возмущением иаменением начальных условий можно потому, что частоты меняются с переменными действия согласно условию невырожденности.

Характеристики

Список файлов книги