В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 80
Текст из файла (страница 80)
2. Второе замечание состоит в том, что для отыскания инвариантного тора вместо обычных для многих схем теории воэму- теОРия Возмъчценин условно-ПВРиодических ДВижений 373 щений разложений в ряды по степеням Возмущения можно использовать быстросходшцийся метод типа ньютоновского метода касательных. Метод касательных Ньютона для отыскания корней алгебраических уравнений при начальной погрепшости е дает после л приближений ошибку порядка ез".
Такая сверхсходимость позволяет парализовать влияние малых знаменателей, появляющихся в каждом приближении, и в результате удается не только провести бесконечное число приближений, но и доказать сходимость всей процедуры. Предположения, в которых все это удаегся сделать, состоят в том, что невозмущенная функция Гамильтона Нв (г) аналитична и невырождена, а возмущающая функция Гамильтона еН, (Х, <у) аналитична и 2Я-периодична но угловым переменным ~. Присутствие малого параметра е несущественно: важно лишь, чтобы возмущение было достаточно мало в какой-нибудь комплексной окрестности радиуса р вещественной плоскости переменных <р (меньше некоторой пололжтельной функции М (р, Н,)). Как показал Ю.
Мозер, требование аналитичности можно заменить дифференцируемостью достаточно высокого порядка, если комбинировать метод Ньютона с предложенным Дж. Нашем сглаживанием функций в каждом приближении. Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами се оказываются данзе гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого ридом Линдштедта, действительно можно найти; однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений.
В. Зоны неустойчивости. Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве возмущенной аадачи означает, что при большинстве начальных условий в системе, близкой к интегрируемой, движение остается условно-периодическим с максимальным набором частот. Возникает, естественно, вопрос, что же происходит с остальными фазовыми кривыми, начальные условия которых попадают в щели между инвариантными торами, образовавшиеся на месте резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи. Распад реаонансного тора, на котором число частот на 1 меньше полного, легко исследовать в первом приближении теории возмущений.
Для этого нужно усреднить возмущение по тем и — 1-меряым инвариантным торам, на которые распадается резонансный инвариантный тор и которые всюду плотно заполняются фазовыми кривыми невозмущенной системы. В результате усреднения получим консервативную систему с одной степенью свободы (см. 374 довхвленнз 8 исследование фазовых колебаний вблизи резонанса в добавлении 7), которую легко изучить. В рассматриваемом приближении мы получаем вблизи распавшегося ~камерного резонансного тора перемежающийся набор неустойчивых и устойчивых п — 4-мерных торов, причем вокруг устойчивых происходят фазовые колебания. Соответствующие им условно-периодические движения имеют полный набор из п частот, в том числе и — $ быструю частоту исходных колебаний и одну медленную (порядка у'е) частоту фазовых колебаний.
Однако не следует думать, что все отличие движений в невозмущенной и возмущенной системе сводится к возникновению «островов» фазовых колебаний. В действительности явление гораздо сложнее, чем описанное выше первое приближение. Одним из проявлений этого сложного поведения фазовых кривых возмущенной задачи является расщепление сепаратрис, обсуждавшееся в добавлении 7. При исследовании движений возмущенной системы вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. В случае двух степеней свободы размерность фазового пространства равна четырем н многообразие уровня энергии трехмерно. Поэтому инвариантные двумерные торы делят множество уровня энергии. При этом начавшаяся в щели между двумя инвариактными торами возмущенной системы фазовая кривая вечно остается аапертой между этими торами.
Стало быть, как бы сложно ни вилась эта кривая, она не выходит из своей щели, и соответствующие переменные действия вечно остаются вблизи своих начальных условий. Если же число степеней свободы п больше двух, то и-мерные инвариантные торы не делят 2и — 1-мерное многообразие уровня энергии, но расположены в нем подобно точкам на плоскости или линиям в пространстве. В этом случае ещелиэ„отвечающие разным резонансам, соединяются друг с другом, поэтому инвариантные торы не препятствуют начавшейся вблизи резонанса фазовой кривой уйти далеко.
Стало быть, нет оснований ожидать, что переменные действия вдоль такой фазовой кривой будут оставаты ся близкими к своим начальным значениям во все моменты времени. Иными словами, в системах с двумя степенями свободы (удовлетворяющих условию изоэнергетической невырожденности, вообще говоря, выполненному) при достаточно малых возмущениях переменные действия вдоль фазовой траектории не только не имеют векового воамущения ни в каком приближении теории возмущений (т. е. мало меняются в течение времени порядка (Мз)л при любом Ж, где е — величина возмущений), но и вечно остаются вблизи своих начальных значений как для нерезонансных фазовых кривых, условно-периодически заполняющих двумерные торы тиовня возмкщкний условно-пвгиодичкских двнжкннй 375 (и составляющих большую часть фазового пространства), так и при остальных начальных условиях.
В то же время существуют удовлетворяющие всем условиям невырожденности системы с болыпим двух числом степеней свободы, в которых, несмотря на то, что при большинстве начальных условий движение условно-периодично, при некоторых начальных условиях возможен медленный уход переменных действия от их начальных значений. Средняя скорость этого ухода в имеющихся примерах а) оказывается порядка е '/г', т. е. эта скорость убывает при уменыпении возмущения быстрее любой его степени.
Поэтому неудивительно, что указанный уход не обнарулшвается ни в каком приближении теории воамущений (здесь под средней скоростью понимается отношение приращения переменных действия к времени, так что фактически речь идет о приращении порядка 1 аа большое время порядка е~/Уа). Оценка сверху средней скорости ухода переменных действия от начальных условий в общих системах канонических уравнений Гамильтона с и степенями свободы, близких к интегрируемым, содержится в работе Н.
Н. Нехорошева *а). Эта оценка, как и приведенная вьппе оценка снизу, имеет вид е '/аа„таким образом, приращение переменных действия мало, пока вРемп мало по сРавнению с е'ма, если е( аа. Здесь е — величина возмущения, а д — ааключенное между О и $ число, определяемое, как и еа, свойствами невозмущенного гамильтониана Н . При этом на невозмущенный гамильтониан накладывается некоторое условие невырожденности (конечнократность критических точек ограничений На на подпространства; достаточна квадратичная выпуклость невозмущенного гамильтониана, т. е.
знакоопределенность второго дифференциала функции На). Из указанной оценки сверху видно, что вековые изменения переменных действия не улавливаются ни в каком приближении теории возмущений, так как средняя скорость этих ичменений экспонециально мала. Заметим также, что вековые изменения переменных действия, по-видимому, не имеют направленного характера, а представляют собой более или менее случайное блуждание по резонансам вокруг инвариантных торов. Подробное обсуждение возникающих здесь вопросов можно найти в статье: 3 а с л а в с к н й Г.
М., Ч и р и к о в Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Ъ"ФН.— $97х.— Т. И)5, М х.— С. 3 — 39. *) См. А р в о л ь д В. Н, Неустойчивость динамических окотам оо мпогкмкотепеяямк свободы // ДАН СССР.— 1964,— Т, 156, Рй 1,— С, 9 — 12. а*) Н о х о р о го е в Н. Н. 0 поведении гамкльтоповых систем, бляаккх к вптогркруеапам. Фупкцяональкый аналпа к его приложения О 1971.— Т. 5, вьш. 4.— С. 82 — 83.
довлвлвнни в Г. Разные варианты теоремы об инвариантных торах. Аналогичные теореме о сохранении инвариантных торов в автономной системе утверждения доказаны для неавтономных уравнений с периодическими коэффициентами и для симплектическпх отображений. Другие случаи, где имеют место аналогичные утверждения, связаны с теорией малых колебаний в окрестности положения равновесия автономной системы или системы с периодическими коэффициентами, а также в окрестности замкнутой фааовой кривой фазового потока илн в окрестности неподвижной точки симплектического отображения. Условия невырожденности, нужные в разных случаях, различны.
Поэтому здесь длн справок приведены зги условия невыроясденности. Мы ограничиваемся простейшими требованиями невырожденности, которые все выполнены в системах «общего положения». Во многих случаях требования невырожденности можно ослабить, но достигаемый при атом выигрыш не окупает усложнения формулировки. 1. А вто но ми а я система.
Функция Гамильтона Н = Н, (1) + еН, (1, ср), 1Е:— 6С К", ершей 2я Е= Т'. Условие невырожденности с)ес ~,е (чь О гарантирует сохранение *) большинства инзариантных торов при малом возмущении (е ес: 1). Условие изоэнергетической невырожденностп данс даас д1а д1 дйс — с ду бес ° ) Реауяестск, прк воаиущепкп торы несколько Леформкруьстск. гарантирует существование на кая дом многообразии уровня энергии множества инварнантных торов, дополнение к которому имеет малую меру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
