В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 77
Текст из файла (страница 77)
*) Здесь пролаллотсл следующее общее лвлснио: думать удобнее об отображонилх аа период, а считать легче с потоками. 362 донлвлвнне 7 Нет никаких оснований думать, что отображение А коммутирует с каким-либо нетривиальным диффеоморфизмом д, для которого лэ = Е. 3. Отображение Ав имеет три неустойчивых неподвиасных точки на расстоянии порядка е от начала координат, близкие к вершинам правильного треугольника. При достаточно малых отклонениях от резонанса (т. е. при достаточно малых с) отображение А также имеет три неустойчивые неподвижные точки вблизи вершин равностороннего треугольнина.
Это вытекает из теоремы о неявной функции. 4, Сепаратрисы неподвижных точек отображения Ав образутот (при бливких к резонансу нерезонансных значениях параметра) фигуру, близкую к сторонам я продолжениям сторон равностороннего треугольника. Если начать с точки на одной нз сторон треугольника, то при повторении отображения А„из атой точки получится последовательность точек на той же стороне треугольника, стремящаяся к одной из ограничивающих сторону вершин, скажем к М . При применении Ав' получится последовательность, сходящаяся к другой вершине, которую мы обозначим через Л'„. Каждая иэ трех неустойчивых неподГ+ Г вижных точек отображения А также имеет сепаратрисы, близкие н сторонам треуголь- )7 ника (рис. 240).
Л именно, те точни плоскости, которые стремятся к неподвижной точне М прн применении к ним отображений А", п-+- + оо, образуют гладкую кривую Г', инвариантную относительно А, проходящую через точку М и вблизи точки М гас. мэ. гасжвваеаав близкую к стороне Магов треугольника сеператрис преобразования А,. Те же точки, которые стремятся к Ф при применении А", где и — ь — оо, образуют другую гладкую инвариантную кривую Г, проходящую через точку )7' н также близкую к МвЛ'в вблизи точки Л',.
Однако две кривые Г+ и Г, обе близкие к прямой М,Ищ отнюдь нв обязаны совпадать. В этом и состоит явление расщепления сепаратрис, норенным образом отличающее поведение траекторий укороченной и полной систем. Величина расщепления сеаэратрас ара малых е эксаоаеацаальао мала, поэтому явление расщеалеаая легко пропустить ара вычщслеавах ао той ала иной схеме втеораа возыущеаайю Однако это явяеаае весьма важно в принцаааальаоы отаожеаав.
Например, вз его существоваава сразу следует расводаловюь радов маогочаслеааых вариантов теории яозыущеаай (твк как если бы рццы сходились, расщеплеаая бы ае было). Вообще расходвмссть рядов таораа вонмущеавй (ара хорошем арвблажеааа, даваемом аескольаваа пераыма членами) обычно связала с тем, что юцвтся несуществующий объект. Исяа мы пытаемся подогнать азучавмое явлеаае под схему, которая в действательаоста ав ухватывает существеааых черт явяеааа, то аеудаввтельао, что ваша ряды расходятся. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 363 Ряды Биркгофа (которые получатся если ве огравичиаатьея нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — одни иа примеров формально состоятельной, но ва сэмом деле расходящейся схемы теории воамулыняй. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной етепевъю свободы е периодическимй коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления гепаратрис (а на самом деле оно есть).
Возвращаясь к исходной замкнутой траектории, мы увидим, что трем неустойчивым неподвижным точкам преобразования А соответствует неустойчивая замкнутая траектория, близкая к утроенной исходной. Существует семейство траекторий, стремящихся к этой неустойчивой траектории при б -+- + оо, и другое семейство траекторий, стремящихся к неустойчивой при 8 — ь — оо.
Точки траекторий каждого из этих семейств образуют гладкую поверхность, содержащую нашу неустойчивую траекторию. Эти две поверхности и есть сепаратрисы, о которых шла речь выше в утверждениях 4, 5, 6, стр. 360. При их пересечении с нашей трансверсальной площадкой получаются инвариантные кривые Г+ и Г отображения А. Зги две кривые при своем пересечении образуют запутанную сеть, о которой А. Пункаре, впервые обнаруживший явление расщепления сепаратрис, писал: «Пересечения образуют нечто вроде решетки, или ткани, или сетки с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна сама себя пересекать, но она должна изгибаться столь сложным образом, чтобы пересечь бесконечное число раз все петли сети.
Приходится поражаться сложности этой фигуры, которую даже не пытаюсь начертить. Ничто не может дать нам лучшее представление о сложности проблемы трех тел и всех проблем динамики, где нет голоморфного интеграла и ряды Болина расходятся» (П у а н к а р е А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 2.— М.: Наука, 1972, гл. 33). Следует заметить, что в картине пересекающихся сепаратрис до сих пор многое неясно. Е. Резонансы высших порядков.
Резонансы следующих порядков также можно исследовать с помощью нормальнойформы. Заметим при этом, что резонансы порядка выше 4 обычно не вызывают неустойчивости, так как в нормальной форме появляются члены четвертой степени, гарантирующие минимум или максимум функции Н, даже в момент резонанса. В случае резонанса порядка и ) 4 типичная перестройка фазового портрета системы с функцией Гамильтона Не дается формулой Не = ет + т'гь (т) + пт"~~ зш п«р, 2т= ра+ дт, а(0) = -»-1, и состоит в следующем (рис. 241). довлвленип 7 При малом (порядка е) отклонении частоты от резонанса на малом расстоянии (порядка у' ~ з ~) от положения равновесия в начале координат функция Не имеет 2п критических точек вблизи вершин правильного 2и-угольника с центром в начале координат.
Половина этих критических точек — седла, а вторая половина — максимумы, если в начале координат минимум, и минимумы, если в начале координат максимум. Седла и устойчивые точки перемежшотся. Все и седел лежат на одном уровне функции Не, и их сепаратрисы, соединяя последовательные седла, образуют п «островов», каждый из которых заполнен замкнутымн фазовыми кривыми, округ с.
»м. ус»сянснннв жающими устойчивую точку. Ширина осте»мал»токчан Оааоннт колеса а ав . н рево- розов порядка е< !П-и». Замкнутые фазо- вые кривые внутри каждого острова назы- нанса 5: 1 вают фазовыми, колебаниями (так как меняется з основном фаза колебания вокруг начала координат).
Период фазовых колебаний растет при уменьшении расстройки частоты з как я"з«. Внутри узкого кольца, образованного островалш, ближе к началу координат, лежат замкнутые фазовые кривые, обходящие начало координат; вне кольца фа»оные кривые также замкнуты, но движение по ним происходит в другую сторону, чем внутри кольца.
Заметим, что радиус кольца имеет порядок у' ~я ) независимо от порядка резонанса, лишь бы этот порядок был больше 4. При атом кольцо островов существует только при одном из двух знаков е. При переходе от укороченной системы с гамильтонианом Не к полной сепаратрисы расщепляются подобно тому, как описано выше для резонанса порядка 3.
Величина расщепления сепаратрис зкспоненцнально мала (порядка е М' ), однако расщепление имеет принципиальное значение для исследования устойчивости, особенно в многомерном случае. Возвращаясь к нашей исходной замкнутой траектории, мы приходим к следующей картине. При приближении к резонансу по оси е с одной определенной стороны *) от периодической траектории ответвляются две другие: устойчивая и неустойчивая.
Эти новые траектории замыкаются после и оборотов вдоль исходной траектории и удалены от исходной на расстояние порядка 3Г~ е(. Вблизи устойчивой траектории имеется зона медленных фазовых колебаний с периодом порядка е и«и амплитудой порядка нй в азимутальном направлении и порядка ело-1и в радиальном. Потери устойчивости исходной периодической тра- е) В отличие от резонанса порядка 3, для которого ответвлявнцаяся кеустойчквая перкодкческая траектория есть по обе сторокы от резокавса, твогия возмушкния условно-пвэио шчкских двгьквнни 305 ектории в момент прохождения резонанса не происходит, по меньшей мерв в том приближении, которое мы рассматриваем. Случай резоиаяса четеертого порядка стоит яесколько особкяком. Дело в том, что з этом случае в нормальной форме имеются каи резояаяспме, тзк и яерезокансвые члены четвертой степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
