В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Вид фазовых кривых укорочевяой системы зависит от того, какой из этих членов яормальяой формы перетяяет: резояаясяый плп верезоиаясяый. В первом случае перестройка такая же, как длл резонанса третьего порядка, только вместо треугольника — квадрат. Во втором случае перестройка такая же,иак при л ) 4. Заметим в заключение, что даваемое нормальной формой приближение тем лучше, чем ближе мы находимся к резонансу (е ~= 1) и чем меньше отклонение начальной точки от периодической траектории. А именно, при приближении к точной соизмеримости периода замкнутой траектории с периодом колебаний соседних траекторий около нее и при приближении начального условия к замкнутой траектории возрастает промежуток времени, на котором наше приближение правильно описывает поведение фазовых кривых.
Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория'устойчива по Ляпунову, но докбзательство требует существенно новых сообрангений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см.
добавление З). Добавление 8 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА Иьгеющийся в нагнем распоряжении набор точно решаемых «интегрируемых» задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако, с помощью этих «интегрируемых случаев» можно получить довольно значительную информацию о движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближеяие. Примером такой ситуации является задача о движении планет вокруг Солнца по закону всемирного тяготения.
Масса планет составляет примерно 0,001 массы Солнца, поэтому в первом приближении можно пренебречь взаимодействием планет друг с другом и учитывать только их притяжение Солнцем. В результате довлвлвннв 8 получается точно интегрируемая задача о движении невзаимодействующих планет вокруг Солнца; каждая планета независимо от остальных будет описывать свой кеплеров эллипс, и движение системы в целом будет условно-периодично.
Если теперь учесть взаимодействие планет друг с другом, то кеплерово движение каждой планеты носколько иаменится. Небесно-механическая теория возмущений призвана учитывать это взаимодействие. При этом ясно, что расчет на времена порядка И)00 лет не должен вызывать принципиальных трудностей. Однако если мы захотим исследовать ббльшие промежутки времени, а особенно если мы заинтересуемся качественными вопросами о поведении точных решений уравнений движения на бесконечном интервале времени, то такие трудности вошшкают. Дело в том, что накопление воаыущений в течение большого по сравнению с $000 лет промежутка времени может привести к полному изменению характера движения: например, планеты могут падать на Солнце, уходить от него и сталкиваться друго другом.
Заметам, что к задаче о двюкевии реальных планет вопрос о поведевйи рев1епий уравнений движепия Оа бесковечкых промюкутках времени имеет лвтпь к«овсяное отношение. Дело в том„что на интервалах времени порядка миллиардов лет сильно сказываются малые пеконсервативиые аффекты, неучтенные в ураакевиях Ныотоиа. 'Хаким обрааом, аффекты гравитациокпого взаимодействия плапог реально сущастаеякы лишь в том случае, если ови серьезко измеияют картину движения за конечное время, малое по сравкевию с временем проявления пекоксерватявкых аффектов. Прв расчете движения па такое кокечпое время существенную польау дают вычислительные машины, быстро определяющие дзижекие планет па много тысяч лет вперед или пааад. Однако следует заметить, что даже применение совремеккых вычислительвых средств может оказаться неспособным предсказать влияние возмущевий, если фазовая точка попадает в вону експояеициалькой неустойчивости.
Еще болыпее значение асимптотические и качественные методы имеют при исследовавии движения заряжекяых частиц в магввтяых полях, так как при жом частица обгоняет вычислительную машину и успевает сделать опвш много оборотов, что машивкое вычисл<жие ее траектории кевозможио даже в отсутствие зкспоиевциальпой неустойчивости. Для учета воамущений в небесной механике был разработан целый ряд методов. (Подробный разбор их имеется в книге: П у а нк а р е А.
Новые методы небесной механики П Избранные труды. Т. 1, Т. 2.— М.: Наука, $971, $972.) Особенностью всех этих методов является то, что они приводят к расходящил«ся рядам и потому не дают никакой информации о поведении движения в целом на бесконечных интервалах времени. Причиной расходимости рядов теорни возмущений являются «малые знаменателиз: целочисленные линейные комбинации частот невозмущениых движений, на которые приходится делить при вычислении влияния возмущений. При точном резонансе твогия возмущвнин условно-пвгнодичвских движвник 367 (т. е. при соиамеримости частот) ети знаменатели обращаются в нуль, а соответствующий член ряда теории возмущений становится бесконечно болыпим. Вблизи резонанса этот член ряда очень велик.
Так, например, Юпитер и Сатурн в своем даюкении вокруг Сожща проходят аа сутки примерно 299 и $20,5 секунды дуги соответственно. Следовательно, знаменатель 2юю — 5юс весьма мал по сравнению с каждой иа частот. Это приводит к болыпому доагопериадическому возмущению планет друг другом (его период около 800 лет); иаученне Лапласам стого аффекта было одкнм иа первых успехов теории ноемущенийл Заметим, что трудность, вызванная малыми знаменателями, весьма существенна. Действительно, рациональные числа образуют всюду плотное множество. Поэтому в фазовом пространстве невозмущенной задачи всюду плотное множество образуют такие начальные условия, при которых имеются резонансы и малые знаменатели обращаются в нуль.
Таким образом, функции, к которым приводят ряды теории возмущений, имеют всюду плотное множество особых точек. Указанная здесь трудность характерна не только для задач небесной механики, но для всех задач, близких к интегрируемым (например, для задачи о движении асимметричного тяжелого волчка, приведенного в очень быстрое вращение). Пуанкаре даже называл основной задачей динамики задачу об исследовании возмущений условно-периодических двиясенвй в системе, ааданной гамил вгони аном Н = Н«(1) + зНт (1, ф), е ~6 1, в переменных действие 1 — угол <р. Здесь Н, — гамнльтоннан невозмущенной задачи, а еН,— возмущение, являющееся 2я-периодической функцией углоных переменных гр„..., <р„.
В невозмущенной задаче (з = О) углы <р меняются равномерно, с постоянными частотами «оа = дН«/д1«, а все переменные действия являются первыми интегралами. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона 1 = — дН/дср, ф = дН)д1 в фазовом пространстве, которое является прямым произведением области в п-мерном пространстве с кооординатами 1 и и-мерного тора с угловыми координатами ~р. Существенное продвижение в исследовании возмущенных фазовых кривых этой задачи было начато в $954 г. работой А.
Н. К о лм о г о р о в а «О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтонаа (ДАН СССР. — т 954.— Т. 98, № 4.— С. 527 — 530). В настоящем добавлении излагаются основные результаты, полученные с тех пор в этой области. Доказательства можно найти в с~едующих работах: ДОВАВЛВННК В А р в о л ь д В. И. Малые авамеватели 1: Об отображениях окружвоств ва себя//Ивв.
АН СССР.— 1961.— Т. 25, Ж 1.— С. 21 — 86. А р в оп ад В. И. Малые евамевателв 11: Докавательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохравеввв условво-периодвческвх дввжеввй прв малом ивмевеввв фувкцяи Гамвльтова Н УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 5.— С, 13 — 40. А р к о л ь д В. И. Малые авамеяателв 111: Малые ввамевателк в проблемы устойчивости в классической и небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6.— С. 81 — 192. А г и о1д У.
1., А те а А. РгоЫешеа егйод)цпеа де 1а шбсашопе с1ааейрге.— Раг)а: С. ч/., 1967. М о в е р Ю. Об ввварвавтяых кривых сохраняющего площадь отображеввя кольца в себя // Математвка.— 1963.— Т. 6, гй 5.— С. 51 — 67 (Насйг. Асад. ЪУМа. Соышзеп Н МаФЬ. РЬуа.— 1962.— Вд. Иа, Дь. 1.— Я. 1 — 20). М о в е р Ю. Быстро сходящийся метод итераций к нелинейные двффеевцвальвые уравнения // УМН.— 1968.— Т. 23, вып. 4.— С.
179 — 238 АлпаЬ' де11а Ясоп1а Ыопв. Япр. де Р)аа, Яег П1.— 1966.— Т. 20, Ы 2.— Р. 265 — 315; 1966.— 74 3.— Р. 499 — 535). М о в е р Ю. О рааложеввв условво-перподвческпх двшкеквй в сходящвеся степеввые ряды Н УМН.— 1969.— Т. 24, вып. 2.— С. 165 — 2И (МаГЬ. Агш.— 1967.— Т. 169 — Р. 136 — 176). Я 1 е 8 е 1 С. 1,, М о е е г 1.
К. Еес1пгеа ов Се1ееба1 МесЬашса.— Ярмваег, 1971. Я 1е гп Ь ег 8 Я. Се1еема1 МесЬашсе 1, 11.— Ы. Ул Веп)аш1п, 1969. Прежде чем формулировать результаты, мы коротко обсудим поведение фазовых кривых невовмущенной задачи, уже изученное в гл. 10.
А. Невозмущенное движение. Система с гамнльтонианом Не (1) имеет и первых интегралов в инволюции (п переменных действия). Квкдое множество уровня всех этих интегралов представляет собой п-мерный тор в 2л-мерном фазовом пространстве. Зтот тор инваривнтен относительно фазового потока невоэмущенной системы: каждая фазовая кривая, начавшаяся в точке такого тора, на нем и останется. Движение фаэовой точки по ннваривнтному тору 1 = сопят является условно-периодическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
