В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 82

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 82)

Из этого вытекает, что движение тела будет вечно близким к комбинации движения Эйлера — Пуансо с азимутальной прецессией, исключая, однако, случай, когда начальные значения кинетической энергии и полного момента близки к таким, для которых тело может вращаться вокруг средней оси симметрии. В атом последнем случае, реализующемся лишь при специальных начальных условиях, вследствие расщеплении сепаратряс вблизи средней осп возникает более слои;Вое кувыркание около средней осп, чем в движении Эйлера — Пуан«о. Одним из обобщений теоремы об иввариактных торах является теорема о вечной адкабати геской январиантности переменной действия в одномерной колебательиой системе с периодически меняющимися параметрами. Здесь следует предположить, что закон изменения параметров задан фиксированной гладкой пери" одической функцией медченяого времени, а малым параметром задачк является отношение периода собственных колебаний и периода изменения параметров.

Тогда, если период изменения параметров достаточно велик, то изменение адиабатического инварианта фиговой точки остается малым в течение бесконечного промежутка времени. Аналогичным образом доказывается вечнал адиабагпическая инвариантность переменной действия в задаче о движении заряженной частицы в аксиально-симметричном магнитном поле. Нарушение аксиальной симметрии в этой задаче увеличивает число степеней свободы с двух до трех, так что иквариантные торы перестают делить многообразие уровня энергии я становится существенным блуждание фазовой кривой по резонансным зонам.

Наконец, в применении к задаче трех (или многих) тел удается найти условно-периодические движения «планетного тилак Чтобы описать зти движения, нужно сказать несколько слов о следующем после кеплеровского приближения В задаче о движении планет. Для простоты мы ограничимся здесь плоской задачей. рассмотрим для каждого кеплерова эллипса вектор, соединяющий фокус эллипса (т. е. Солнце) с центром эллипса. Этот вектор, называемый вектором Лапласа, характеризует как величину зксцентриситета орбиты, так и направление на перигелий.

Взаимодействие планет друг с другом приводит к тому, что кеплеров эллипс (и, следовательно, вектор Лапласа) слегка меняется со временем. При этом существует большая разница между изменением большой полуоси и изменением вектора Лапласа. А именно, большая полуось не имеет вековых возмущений, т. е. в первом приблия«енин лишь слегка колеблется вокруг своего среднего значения («теорема Лапласаг). Вектор же Лапласа совершает как периодические колебания, так и вековое движение. Вековое движение получится, если размазать каждую планету по 382 довавленнк а ее орбите пропорционально времени, затрачиваемому на прохождение участка орбиты, н заменить притюкение планет притяжением полученных колец, т. е.

если усреднить возмущения по быстрым движениям. Истинное движение вектора Лапласа получается из векового наложением малых колебаний; зти колебания весьма существенны, если нас интересует малый итпервал времеви (годы), но их аффект становится малым по сравнению с эффектом векового движения, если рассмотреть большой интервал времени (тысячелетия). Вычисления (проведенные еще Лагранткем) показывают, что вековое движение вектора Лапласа каждой из и планет, двинтущихся в одной плоскости, состоит в следующем (если пренебречь квадратами зксцентриситетов орбит по сравнению с самимизксцентриситетами). На плоскости орбиты планеты нужно расположить п векторов фиксированных длин, равномерно вращающихся каждый со своей угловой скоростью. Вектор Лапласа — их сумма.

Такое описание движения вектора Лапласа получается потому, что усредненная по быстрым движениям гамильтонова система, описывающая вековое двинтение вектора Лапласа, имеет поло>кение равновесия, соответствующее нулевым эксцентриситетам. Описанное двюкение вектора Лапласа — это разложение малых колебаний вблизи указанного положения равновесия на собственные колебания.

Угловые скорости равномерно вращающихся составляющих вектора Лапласа — это собственные частоты, а длины этих составляющих определяют амплитуды собственных колебаний. Заметим, что двюкекве вектора Лапласа Землв является, по-вядкмому, одним кэ факторов, с которыми связаны ледввковые периоды. Дело в том, по прв увелвчеввв эксвевтрясктета орбиты Земли время, которое ова проводит вблвэв Солнца, уменьшается, а вдали от него — увелкчквается (по закову площадей); итак, плакат становятся более суровым прв увелвчеввв эксцевтрксатета. Велвчква этого аффекта такова, что, например, количество солнечной энергии, получаемое аа год ва шпроте Лепввграда может достигать эвачеввй, которйе сейчас соответствуют пптротам Киева (прв укевьшеввв эксцевтрясвтета) в Таймыра (прв его увелвчевяв).

Характерное время иэмепекяя эксцевтрксвтета (десятки тысяч лет) хорошо согласуется с периодом ваступлеявя ледников. Теоремы об инвариантвых торах приводят к выводу, что при достаточно малой массе планет в фазовом пространстве задачи имеется множество положительной меры, заполненное такими условно-периодическими фазовыми кривьв~и, что соответствующее движение планет близко к движению по медленно меняющимся эллипсам малых зксцентриситетов, причем двинские векторов Лапласа близко к тому, которое дается описанным выше приближением.

Более того, если массы планет достаточно малы, то движения описанного типа заполняют большую часть области фазового пространства, соответствующей в кеплеровом приблин<ении тногия возмгщкнип головне-пкгиодичнских движении 383 движениям планет в одну сторону по непересекающимся эллипсам малых эксцентрис»ггетов. Число степеней свободы в плоской задаче и планет равно 2п, если считать Солнце неподвижным. Интеграл кинетического момента позволяет исключить одну циклическую координату, однако остается еще слишком много переменных, чтобы инвариантные торы делили многообразие уровня энергии (даже если планет всего две, это многообразие пятимерное, а торы трехмерные).

Поэтому в рассматриваемой задаче не удается сделать выводы о сохранении больших полуосей в течение бесконечного интервала времени для всех начальных условий, но только для болыпинства. Задача с двумя степенями свободы получается при дальнейшей идеализации. Заменим одну из двух планет «астероидом», который движется в поле второй планеты («Юпитера»), не возмущая двия1ения последнего. Задача о двия»енин такого астероида называется ограниченной задачей трех тел. Плоская ограниченная задача трех тел приводит к системе с двумя степенями свободы, периодически зависящей от времени, для движения астероида.

Ксли же вдобавок орбита Юпитера кругован, то во вращающейся вместе с ним системе координат для движения астероида получается автономная гамяльтонова система с двумя степенями свободы — так называемая плоскан ограниченная круговая задача трех тел. В атой аадаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает не- возмущенное кеплерово двия«ение астероида, изображающееся в нашем четырехмерноы фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается).

Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова прп всех начальных условиях: это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообрааии уровня функции Гамильтона. Следовательно, условие невырожденности в нашей задаче не выполняется, но условие изоэнергетической невырожденности выполняется.

Итак, теорема Колмогорова применима, и лгы заключаем, что большинство инвариантных торов с иррациональным отношением частот сохраняется в случае, когда масса возмущающей планеты (Юпитера) отлична от нуля, но достаточно мала. Далее, двумерные пнвариантные торы делят трехмерное многообразие уровня функции Гамильтона.

Следовательно, величина больиюй полуоси и эксцептриситет кеплерова эллипса астероида будут вечно оставаться вблизи своих начальн х значений, если в начальный момент кеплеров зллипс не пересекал орбиту возмущающей планеты и если масса этой планеты достаточно мала. ДОВАВЛВНИК 9 При этом в неподвижной системе координат кепплеров эллипс астероида может медленно поворачиваться, так как наша система лишь ивоэнергетически невыро>кдена, и поэтому при воамущении инвариантного тора сохраняются не частоты, а только их отношение.

В результате воамущения частота азимутального движения перигелия астероида в подвижной системе координат может сделаться слегка отличной от частоты Юпитера, и тогда в неподвижной системе перигелий будет медленно поворачиваться. Добавление 9 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ, КК ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ В своем исследовании периодических решений задач небесной механики А. Пуанкаре построил весьма простую модель, уже содер>кащую основную трудность задачи. Такой моделью является сохраняющее площади отображение плоского кругового кольца на себя. Отображения укааавиого вида возникают при исследовании динамических систем с двуми степенями свободы.

А именно, отобран>ение двумерной поверхности сечения па себя строится так: каждан точка поверхности сечения переходит в следующую точку пересечения выпущенной из этой точки фазовой кривой с поверхностью сечения (см. добавление 7). При этом замкнутым фазовым кривым соответствуют неподвижные точки отобра>кения или его степеней. И обратно, каждая неподвижная точка отобран>ения пли его степени определяет замкнутую фазовую кривую. Таким обрааом, вопрос о существовании периодических решений задач динамики сводится к вопросу о неподвижных точках сохраняющих площади отображений кольца на себя.

Характеристики

Список файлов книги