В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

Роль кольца в многомерном случае играет фазовое пространство: прямое произведение области в евклидовом пространстве на тор того же числа намерений (кольцо — зто проиаведение интервала на окружность). Симплектическая структура в фааовом пространстве задается обычным образом, т. е. имеет вид ьл = Е Ыхя /~ Иуа, где хя — переменньш действия, а уа — угловые переменные. Нетрудно выяснить, какие симплектнческие дпффеоморфизмы нашего фазового пространства гомологичны тождественному. Именно, симплектический диффеоморфизм А гомологичен тождественному, если его можно получить из тождественного непрерывной деформацией и кроме того, ~ (д=~ (у т лт для всякого замкнутого контура (не обязательно гомологичного нулю).

Условие гомологичности тождественному преобразованию «) Это онаоенве ио водтвердвлось. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ 389 аапрещает систематический сдвиг вдоль х-направления (чэволюцию переменных действияг), раарешая сдвиги вдоль торов. Рассмотрим какой-нибудь из и-мерных торов х = с = сопз$ н применим к нему наш гомологичный тождественному симплектическнй диффеоморфизм. Получим снова п-мерный тор. Оказывается, исходный тор пересекается со своим образом по меньшей мере в 2" точках (считая с кратностями), в том числе не менее и + 1 из них геометрически различны, во всяком случае в предпололсении, что тор-образ имеет уравнение вида х = г (у) с гладкой ~. При п = 1 выделенное утверждение означает, что каяшая нз концентрических окружностей, составляющих кольцо, пересекается со своим образом не менее чем в двух точках.

Это сразу следует иа сохранения площадей, причем предположение о том, что образ имеет уравнение х =- ~ (у), не нуя'но. Если его принять, то докааательство проходит следующим образом (беа него доказательство прп и ~1 трудное). Заметим, что исходный тор является лагранжевым подмногообразием фааового пространства. Наш днффеоморфизм снмплектнческий, поэтому тор-образ также лаграня1ев. Стало быть, 1-форма (х — с) ау на нем аамкнута.

Более того, эта форма на торе является полным дифференциалом некоторой однозначной гладкой функции р, так как наш диффеоморфиам гомологичен единице, и следовательно, для любого замкнутого контура (х — с) Ну = <~ хг(у — ~ сну = ~ хну — ~ еду = Ат Ат т дт = с~ду — с ~ду= О. т Ат Заметим, что точки пересечения тора с его обрааом являются критическими точками функции р (поскольку в них с(р = = (х — с) Ну = О). Из условия одноаначной проектнруемости тора-образа (т.

е. из того, что тор-образ имеет уравнение х = ~ (у)) вытекает, что и обратно, все критические точки функции Р являются точками пересечения наших торов. В самом деле, при указанном условии у можно принять за локальную координату на торе, и следовательно, равенство ЫР нулю для всех касательных к тору-образу векторов влечет х =- с. Гладкая функция на п-мерном торе имеет не менее 2"' критических точек, считая кратности, в том числе не менее и+ 1 геометрически различных (см., например, М и л н о р. Теория Морса.— М.: Мир, 1965). Следовательно, напш торы пересекаются не менее чем в 2" точках (счмтая кратности), причем геометрически различных точек пересечения не менее и + 1.

Точно такое же рассуждение покааывает, что образ любого лагранжева тора пересекается с этим тором ио меныией мере довлвлениж 9 в 2" точках (в том числе геометрически различных точек не менее п + х), в предположении, что как исходный тор, так и его образ, однозначно проектируются на у-пространство, т. е.

задаются уравнениями х = Г (у), х = я (у) соответственно. Впрочем, зто предложение сводится к предыдущему каноническим преобразованием (х, у) (х — ~(у), у). Д. Применения к отысканию неподвижных точек н периодических решений. Рассмотрим теперь гомологичное тождественному симплектическое преобрааование того специального вида, который возникает в интегрируемых проблемах динамики, т.

е. вида А, (х, у) = (х, у + ю (х)), где ю = дИдх. Здесь х б= Ко — переменная действия, у шоо)й 2я б= Т" — угловая координата. Предположим, что на торе х = хо все частоты соизмеримы: йо юо(хо) = — 2п с целыми )ои К; о» (хо) чь Оу и что вьпюлнено условие невырожденностн ае()дед ~„-, О. Т е о р е м а. Всякий гомологичный тождественному симплектический диффеоморфигм А, достаточно близкий к Ао, имеет вблизи тора х = хо не менее 2" периодических точек $ периода ))Г (так что Ак5 = й), считая кратности. Доказательство можно было бы свести к иссследовзняю пересечения двух лаграюгевых нодмногообразяй 4п-мерного пространства (Нз Х )~ уз Х Не Х у") с П = д д ду — дХ д ду, одно вз которых диагональ (Х = г, У = у), а другое — график отображения Ан.

Однако щюще непосредственно построить подходящую функцию на торе Действительно, отображение Ак вмеет внд о (г, у) ~-~ (з, у + а (х)), где и (зо) = О, де» ( да/дг )„Ч'= О. По теореме о неявной фушщвв отображение А имеет близ тора г = зо тор, смещающнйся чисто радиально ((з, у) ~ (Х, у)) н задзюпщйся ургвненнем вида г = г (у), причем его обраа также аадается уравнением такого же виде, х = г (у).

В этих обозначениях Х () (У), У) = г (У), У () (У). У) = У. Из гомологнчностн отображения А едняяце вытекает, что АК имеет однозначную глобальную производящую функцию вида Ху + Я (Х, у), где я имеет 1ю переменным у период уп. Функция Р (у) = Я (Х (г (у), у), у) ямеет на торе мяннмум йз крнтвческих точек у». Все точки $» = (Г' (у»), у») являются неподзижнымн тачками для А~. Действительно, др = (з — Х) Ну + (У вЂ” у) НХ = (х — Х) Ну = (Г (у) — у (у)) Ну. Позтомунадр)г — — О вытекает, что Г'(у») = у(у»), т. е.

Акй» = Ь, что и требовалось доказать, геомктгическля теОРемА пулнклгв зм Обратимся теперь к замкнутым траекториям консервативных систем. Польауясь термянологией добавления 8, мы можем сформулировать результат так. С л е д с т з и е. При распаде п-мерного инвариантного тора, сплошь заполненного гамкнутыми траекториями игогнергетически невырожденной сиспюмы с и степенями свободы, образуют я не менее 2" г замкнутых траекторий возмущенной задачи (считая с кратностями), в том числе не менее и геометрически различных, по меньшей мере если возмущение достаточно мало. Докааательство сводится к предыдущей теореме при помощи 2п — 2-мерной поверхности сечения.

При атом следует вначале выбрать угловые координаты у так, чтобы замкнутые траектории невоаму1ценной аадачи на торе задавались уравнениями у, =... ... = у„= О, а аатем определить поверхность сечения уравнением уз = О. В случае двух степеней свободы можно применять теорему Пуанкаре к кольцам, которые образуются при пересечении инвариантных торов с двумерной секущей поверхностью. Мы получаем следующий результат. В щели между двумя двумерными инвариантными торами системы с двумя степенями свободы всегда есть не менее двух замкнутых фазовых траекторйй, если отношения чштот условно- периодических движений на этих торах различны. Тем самым получается много периодических решений во всех задачах с двумя степенями свободы, где найдены инвариантные торы (например, в ограниченной круговой задаче трех тел, в задаче о замкнутых геодезических н т.

п.). Существует даже гипотеза, что в гамильтоновых системах «общего видаг с компактным фааовым пространством замкнутые фазовые кривые образуют всюду плотное множество. Впрочем, если зто и верно, аамкнутость большинства из таких кривых не имеет существенного значения, так как нх периоды чрезвычайно велики. Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Бнркгофа о существовании бесконечного числа лериоднческих решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (нли о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отобран~ения пространства на себя). Доказательства ааключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом испольауется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции.

Знание периодических решениИ позволяет, между прочим, доказывать несуществование первых интегралов (отличных от классических) во многих задачах динамики. Предположим, например, что на каком-либо многообрааии уровня иавестных интегралов 392 доваэлвнив э обнаружена периодическая траектория, которая неустойчива. Ее сепаратрисы в общем случае образуют сложную сеть, которую мы рассматривали в добавлении 7.

Если это явление расщепления сепаратрис удается обнаруяшть и если мы сумеем доказать, что сепаратрисы не укладываются ни в какое многообраэие меньшего числа измерений, чем рассматриваемое многообраэие уровня, то мы можем быть уверенными, что система не имеет новых первых интегралов.

Впрочем, сложное поведение фазовых кривых, препятствующее существованию первых интегралов, часто удается обнаружить и беа помощи периодических решений, просто с одного вагляда на найденную вычислительной машиной картину, обраэованную пересечением фаэовой кривой с поверхностью сечения. Е. Инвариантность проиэводящей функции.

Выше мы уже отмечали удручающую неинвариантность проиаводящнх функций относительно выбора канонической системы координат в снмплектическом многообразии. С другой стороны, мы неоднократно использовали свяэь между неподвижными точками отображения и критвческими точками проиэводшцей функции. Окаэывается, хотя вообще проиаводящая функция и неннвариантно свявана с отображением, вблизи неподвижной точки инвариантнан свяаь имеется. Точнее, пусть дан оставляющий на месте некоторую точку симплектический днффеоморфиам.

Характеристики

Список файлов книги