В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 83

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 83)

Занимаясь такими отображениями, Пуанкаре пришел к следующей теореме. А. Неподвижные точки отображения кольца на себя. Т е о р е м а. Пусть дано сохранлющее площади гомеомору>нее отображение плоского кругового кольца на себл. Предположим, что граничные окружности кольца сдвигаютсл отображением в разные спюроны. Тогда гто отображение имеет не менее двух неподвижных точек. Условие, что граничные окружности сдвигаются в разные стороны, означает, что если выбрать в кольце координаты (х, у шоб 2п), так что граничные окружности будут х = а и х =- Ь, то отображение задается формулами (х, у) ~- (7' (х, у), у + у (х, у)) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И»АНКАРЕ где функции ~ и у непрерывны и 2я-периодячны по у, причем У (а, у) =— а, У (Ь, у) = — Ь и у (а, у) ( О, у (Ь, у) ) О при всех у.

Доказательство втой теоремы, опубликованной Пуанкаре незадолго до его смерти, было дано лишь позже Дж. Д. Биркгофом, см. его книгу «Динамические системы» (М.: Гостехиздат, >941). При этом до сих пор остаются открытымв многие вопросы, связанные с атой теоремой и особенно с попытками ее многомерного обобщения, ваншыми для исследования периодических решений задач с большим числом степеней свободы.

Дело в том, что рассуждение, с помощью которого Пуанкаре пришел к своей теореме, применимо в целом ряде других случаев. Однако хитроумное доказательство, данное Бнрнгофом, плохо поддается обобщению. Поэтому неизвестно, правильны ли выводы, которые подсказывает рассуждение Пуанкаре, за пределами теоремы о двумерном кольце. Рассуждение, о котором идет речь, состоит в следувпцем. Б. Связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производя>цей функции.

Будем задавать симплектический диффеоморфизм кольца (х, у) ~-~ (х, у) с помощью производящей функции Ху + о' (Х, у), где функция о' 2п-периодична по у. Для такой записи диффеоморфнзма нужно, чтобы дх~дх ~ О. Тогда дд = ( — Х) ау + (У вЂ” у) дХ, и следовательно, неподвижные точки диффеоморфиама являются критическими точками функции Р (х, у) = Ю (Х (х, у), у). Последнюю функцию Р всегда можно построить, определив ее как интеграл от формы (х — Х) оу + (У вЂ” у) «>Х.

Градиент этой функции яаправлен либо внутрь кольца, либо наружу на обеих граничных окружностях одновременно (в силу условия о вращении в разяые стороны). Но всякая гладкая функция в кольце, градиент который на обеих граничных окрун>костях направлен внутрь кольца (или вовне его) имеет внутри кольца критическую точку (максимум или минимум). Более того, можно показать, что число критических точек такой функции в кольце не меньше двух.

Следовательно, мы могли бы утверждать, что наш диффеоморфизм имеет не менее двух неподвижных точек, если бы мы были уверены, что каждая критическая точка функции Р является неподвижной точкой отображения. К сожалению, последнее верно лишь при дополнительном условии, что дх/дх чь О, при котором можно выразить Р через Х и у. Таким образом, наше рассуждение проходит для отображений, не слишком сильно отличающихся от тождественного.

Например, дОВАВление 9 достаточно, чтобы производные проиаводящей функции о были меньше 1. Некоторое усовершенствование того же рассуждения (с другим выбором производящей функции е)) покааывает, что достаточно даже, чтобы собственные числа матрицы Якоби Р (Х,У)/Р (х, у) ни в одной точке не были равны — 1, т. е. чтобы наше отображение не переворачивало бы касательное пространство пи в одной точке.

К сожалению, все такие условия нарушаются в некоторых точках для отображений, далеких от тоишественного. Доказательство теоремы Пуанкаре в общем случае испольаует совсем иные соображения. Связь неподвижных точен отображения с критвческими точками производящих функций кажется более глубоким фактом, чем сама теорема об отображениях двумерного кольца.

Ниже приведено несколько примеров, в которых зта связь приводит к содержательным выводам, правда, при некоторых ограничениях, необходимость которых неясна. В. Симплектичсские диффеоморфизмы тора. Рассмотрим симплектпческий диффеоморфизм тора, оставляющий на месте центр тяжести (х у) ь(х+1(х, у), у+я(х, у)) = (Х, У), где х и у тодд 2п — угловые координаты на торе, снмплектпчность означает равенство 1 якобиана Р (Х, У)/Р (х, у), а условие сохранения центра тяжести состоит в том, то средние значения функций 1 и я равны нулю.

Т е о р е м а. Такой диффеоморфизм имеет нв менее четырех неподвижных точек, считал кратности, и нв менее трех геометрически различных, по меньшей,мере в предположении, что собственные числа матрицы Якоби ни в одной точке не равны — 1. Доказательство основано на рассмотрении функции на торе, ааданной формулой Ф (х, у) — ) (Х вЂ” х)(с(У + ау) — (У вЂ” у)(с(Х + йх), и на том, что гладкая функция на торе имеет не менее четырех критических точек (считая кратности), в том числе не менее трех геометрически рааличных.

Попытки доказательства атой теоремы беа ограничения на собственные числа наталкиваются на трудности, очень похожие на те, с которыми столкнулся Пуанкаре в теореме о кольце. Заметки, что теорема о кольце вытекала бы вв теоремы о торе, если бы и последвей можно было отбросить условве на собственные числа. В саком деле, составим тор ва двух вквемпляров нашего кольца, вставив вблвав кань дой ва двух граввчвых окрук1еостев еще по узкому сседвввтельлому кольцу. 1 ~Х вЂ” с у — у 2 ! ИХ + Вх ау+ Иу ~ ' Геометгнческля твогкмА пглнклге 387 Тогда ыы можем достроить наше отображеяве кольца до свыплевтяческого диффеоыорфяаыа тора так, что: г) яа каждом вз двух болыпзх колец двффеоморфвзы будет совпадать с исходным, 2) на каждом за соединительных колец дяффеоыорфягм не будет яые>ь яеподвюкяых точек, 3) цеятр тяжести будет оставаться ва месте.

Построение такого двффеоморфяаыа тора использует ововство зращеявя граничных окружяостей в разные стороны. На каждом соедяявтельяоы кольце все точки сдвигаются в ту же сторону, что в нг обеих окружпостях, ограничивающих ео>щинвтельяое кольцо. Поскольку яаправлевяя сдвига яа обоих соедяязтельвых кольцах противоположны, величину сюпп а можно >юдоб а>ъ так, чтобы обеспечить сохраяевяе центра тя>кес>я.

ТР еперь из четырех неподвижных точек яа торе дзе должны лежать в ясходяом кольце, я ыы получасы иа теоремы о торе теорему о кольце. Сформулированная выше теорема о торе допускает обобщение на другие симплектнческие многообразия, как двумерные так и многомерные. Чтобы сформулировать зги обобщения, нужно прежде всего переформулировать условие сохранения центра тяжести. 11усть йт М вЂ” М вЂ” симплектнческий диффеоморфизм.

Мы скажем, что диффеоморфизм а гомологичен тождественному, если его можно соединить с тождественным диффеоморфнамом(оставляющим на месте все точки многообравия ))>) гладкой кривой йы состоящей из симплектнческих диффеоморфизмов, так, что поле скоростей е> в каждый момент времени > имеет однозначную функцию Гамильтона.

Можно доказать, что симплектические диффеоморфивмы, гомологичные тождественному, образуют коммутант свявной компоненты единицы в группе всех симплектических дпффеоморфизмов многообразия. В случае, когда наше многообразие — двумерный тор, гомологичные тождественному симплектические диффеоморфнзмы — зто в точности те, которые мы назвали вып>е сохраяяюп)иьш центр тяжести. Таким образом, мы приходим к следующему обобщения> теоремы Пуанкаре.

Т е о р е м а. Всякий гомологичный тождес>поенному симплектический диффеоморфигм компактного симплектического многообразия имеет по меньшей мере столько неподвижных точек, сколько критических точек ил>ее>п гладкал функ>)ия на атом многообразии, во всяком случае, если этот диффеоморфигм не слишком далек от тождественного. Заметим, что условие гомологичности тождественному отображению существенно, как видно уже иа примера свига на торе, не имеющего ни одной неподвижной точки. Что касается последнего ограничения (диффеоморфизм не слил>ком далек от тождественного), то неясно, существенно лн оно. В случае, когда наше многообразие — 2п-мерный тор, достаточно, чтобы ни одно нз собственных чисел матрицы Якоби дичфеоморфизма (в какой-либо глобальной симплектической системе координат, заданной в Кг") не равнялось минус единице.

довлвлиннн 9 Ограввченво тако~о рода, быль может, в необходимо в многомерных аадачах. Ибо ве исключено, что теорема Пуанкаре является существенно двумерным аффектом«), подобно следующей теореме А. И. Шввревьмава в Н. А. Никишина. Веяний сохраняющий площадь дибйбеаиорЯием деумерной ~4ерн на себя имеет по меньшей мере дее ь«шяетричесни расличние неподеижние тонии. Доказательство атой теоремы основано на том, что ввдвкс векторного поля градиента гладкой функции двух переменных в наоаврованной крвтвчоской точно не может быль больше едвввцы (хотя может бьггь равен х, О, — 1, — 2, — 3,...), а сумма индексов всех неподвижных точек сохраняющего орневтацшо диффеомо)я1чшмя двумерной сферы на себя равна двум. Индекс же градиента гладкой фуннцвв большого числа веревеввых в критической точке может принимать любые целые авачевнн.

Г. Пересечения лагранжевых многообразий. Рассуясдению Пуанкаре можно придать несколько иную форму, если рассмотреть на каждом радиусе кольца точки, сдвигающиеся чисто радиально. Такие точки есть на каждом радиусе, так как ограничивающие кольцо окружности поворачиваются в разные стороны.

Предположим, что нам удалось составить нз радиально сдвигающихся точек замкнутую кривую, разделяющую внешнюю и внутреннюю окружности кольца. Тогда образ атой кривой при нашем отображении должен пересекаться с самой кривой (так как области, на которые кривая делит кольцо, переходят в области равной площади). Ясли указанная кривая и ее образ пересекают каждый радиус по одному разу, то точки пересечения кривой с образом являются, очевидно, неподвижными точками отображения. Иое-что яз приведенного рассунсдения можно перенести на многомерный случай, и зто дает полеаные реаультаты о периодических решениях аадач динамики.

Характеристики

Список файлов книги