В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Определим в окрестности этой точки апроиаводящую функциюэ Ф «« — ~ у ~ + 2 3 Цеха+в*а луг+луг~ с помощью некоторой симплектической системы координат (х, у) *). Далее, построим с помощью другой симплектической системы координат (х', у') аналогично определяемую проиаводящую функцию Ф'. Т е о р е м а. Если линеариэация симплектичесяого 'диффеоморфиэма в неподвижной точке не имеет собственных чисел, равных — 1, то функции Ф и Ф' эквивалентны в ее окрестности в том смысле, чпьо существует такой диффеоморфивм у (вообще несимплектический), что Ф (х) = Ф' (у (я)) + сопэг.
Докааательство ем. в статье. "Ъ7 е1 и э С е1 и А. ТЬе (пчаг(апсе о1 Ро(псаге'э яепега11пя йшсс(оп 1ог сапошса1 1гапэ(огшаг(опэ О 1пчеп11опш МаьЬеша11сае.— 1972.— т'. 16, ь й«3.— Р. 202 — 214. «) Приращение этой фуикции вдоль какой-либо дуги равно интегралу формы, задающей симплектическую структуру по полоске, образованной прямолииеяиыыи отрезками, соедиияющиыи каждую точку с ее обрааом. Поатоиу такая функция ЬР свяааив с отображевием иивариаитяо отиосительио лииейиых каиоиических аамеи координат. 393 КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ Следует ааметить, что два диффеоморфизма с эквивалентными в окрестности неподвижной точки производящими функциями не обяаательно эквивалентны в классе симплектических диффеоморфизмов. Предположения, высказанные в первом издании этой книги в виде гипотез, для торов и двумерных многообравий теперь доказаны.
См.: Со п1е у С. С., Х е Ь и д ег Е. ТЬе В1гЬЬО11— 1.етч1в Пхей ро1п1 1Ьеогеш апд а соп1ес1пге о1 Ч. 1. Агпо16 // 1пчеп1. Ма1Ь.— 1983.— Ч. 73.— Р. 33 — 49; 1 а и й е и Ь а с Ь Р., 8 1 с ог а ч 1. С. Регв1в1апсе д'1п1егвес11оп ачес 1а весПоп пп11е ап сопгв д чапе 1во1ор1е ЬашП1овйеппе дапв пп ПЬге со1апяеп$ //1пчепс Ма1Ь.— 1985.— Ч. 82.— Р. 349 — 358; см. также: А р н о л ь д В. И.
Первые шаги симплектической топологии//УМН.— 1985.— Т. 41, .Ьй 6.— С. 3 — 18. Развивающие эту тему работы Хофера, Флоера, Громова, Элиашберга, Витербо, Вейнстейна, Гивенталя я др. уже мотли бы составить целую книгу. Добавление 10 КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ЗЛЛНПСОИДЫ, ЗАВИСЯЙН1Е ОТ ПАРАМЕТРОВ Семейства эллнпсоидов в евклидовом пространстве встречались нам несколько раз в этом курсе.
Например, при изучении зависимости собственных частот малых колебаний от параметров мы встречались с зависящим от жесткости системы эллипсоидом уровня потенциальной энергии в евклидовом пространстве (метрика пространства определяется кинетической энергией). Другой пример — эллипсоид инерции твердого тела (параметры вдесь— форма твердого тела н распределение масс в нем). Здесь мы рассмотрим общий вопрос о том„при каких значениях параметров спектр собственных чисел вырождается, т. е. соответствующий эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Заметим, что собственные числа квадратичной формы в евклидовом пространстве (или длины осей эллипсоида) непрерывно меняются при непрерывном изменении параметров системы (коэффициентов формы). Кажется естественным ожидать, что в зависящей от одного параметра системе при иаменении параметра в отдельные моменты одно из собственных чисел будет сталкиваться с другим, так что при отдельных значениях параметра система будет иметь кратный спектр.
Представим себе, например, что мы хотим превратить эллипсоид инерции твердого тела в эллипсоид вращения, перемещая по жестко вакрепленяой в теле штанге одну юстировочную массу, так что в нашем распоряжении имеется один параметр. Трн главные оси инерции а, Ь, с будут непрерывными функциями от этого параметра, и на первый ввгляд кажется, что при надлежащем ДОБАВЛЕНИЕ $0 аначении параметра (р) можно добиться равенства двух осей, скажем а (р) = Ь (р). Оказывается, однако, что дело обстоит в действительности не так и что, вообще говоря, пук<но перемещать не менее двух юстировочных масс, чтобы сделать эллипсоид инерции эллипсоидом вращения.
Вообще, кршаний спектр в типичных семействах квадратичных форм набледаетсл лишь при двух или более парамегпрах, а в однопараметрических семействах общего вида спектр прн всех аначениях параметра простой. Практически это проявляется в том, что при иаменении параметра в типичном однопараметрическом семействе собственные числа могут тесно сближаться, но, подойдя достаточно близко одно к другому, как бы начинают отталкивать друг друга и снова расходятся, обманув надежду меняющего параметр лица добиться кратного спектра.
В настоящем добавлении рассматриваются причины этого странного на первый взгляд поведения собственных чисел, а также коротко обсуждаются аналогичные вопросы для систем с рааличными группамн симметрий. А. Многообразне зллипеоидов вращения. Рассмотрим множество всевозможных квадратичных форм в евклицовом и-мерном пространстве К". Это множество само имеет естественную структуру линейного пространства раамерности и (и + 1)/2.
Е1апрямер, все квадратичные формы на плоскости образуют трехмерное пространство (форма Ахз + 2Вху + Суз имеет координатами три числа А, В, С). Поло>кительно определенные формы образуют в этом пространстве квадратичных форм открытую область (например, в случае плоскости зто внутренность одной из пол конуса Вз = АС, обрааованного вырожденными формами). Каждый эллипсоид с центром в начале координат задает положительно определенную квадратичную форму, для которой он является множеством уровня 1; обратно, множество уровня 1 любой положительно определенной квадратичной формы является эллипсоидом.
Мы можем, следовательно, отождествить множества положительно определенных квадратичных форм и эллипсоидов с центром в начале координат. Тем самым мы введем в множестве эллнпсоидов с центром О в К" структуру гладкого многообразия размерности и (и + 1)/2 (зто многообразие покрыто одной картой: указанной выше областью в пространстве квадратичных форм). Рассмотрим теперь множество всевоаможных аелилсоидвв вращения. Я утверждаю, что зто множество имеет в рассматриваемом пространстве кораамерность 2, т. е.
задается двумя неаависимыми уравнениями, а не одним, как это кажется на первый вагляд. Точнее, справедлива 395 КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ Т е о р ем а 1. Мнохсеси>во зллипсоидов врал>ения представляет собой конечное объединение гладких иодмногообрагий кораз:- мерности 2 и выше в многообразии всех зллипсоидов. Здесь коразмерностью подмногообразия называется разность между раамерностью объемлющего пространства и раамерностью подмногообразия. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим вначале эллипсоиды в и-мерном пространстве, у которых две равные осн, а остальные оси рааличны. Такой эллипсоид определнется направлениями различных осей, что дает (п — 1) + (п — 2) +... + 2 = (и + 1)(и — 2)/2 параметров, и еще величинами осей, что дает и — 1 параметр. Итак. общее число параметров равно (иг — п — 2+ 2п — 2)!2, что на два меньше размерности пространства всех эллнпсондов (равной п (и + 1)!2). Приведенный подсчет параметров покааывает также, что множество эллнпсоидов с ровно двумя равными осями является многообраанем. Что касается эллипсоидов с ббльшим числом равных осей, то ясно, что все онн обраауют множество еще меньшей размерности.
Строгое доказательство вытекает из следующей леммы. Л е м м а. Мнозсество всех гллиисоидов, имсюид>х тг двукратных, чг трехкратных, чг четырехкратных осей и >и. д., является сладким подмногообразием многообразия всех азлипсоидов, имеюигиы корагмерность 2 +5 +9 +... = у — Р— 1)(~+2)~г. ч-> 1 Докааательство этой леммы проводится таким же подсчетом параметров, как в разобранном выше частном случае (который соответствует тг = 1, »г = чг =...
= О). Читатель легко сам проведет этот подсчет, заметив сперва, что размерность многообрааия всех й-мерных подпространств в и-мерном линейном пространстве равна к(и — Й) (так как к-мерную плоскость общего положения в п-мерном пространстве можно рассматривать как график отображения иа и-мерного пространства в и — й-мерное, а такое отобра>кение задается прямоугольной матрицей раамера й Х (п — й)). П р и м е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
