В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Математическим вариантом этих физических представлений являются асимптотические формулы для решений соответствующих дифференциальных уравнений, формулы, которые дают тем яуч1пее приблив1енпе, чем выше частота колебаний (т. е. чем короче волны). Эти асиъштотические формулы записываются в терминах лучей (т. е. движений в некоторой гамильтоновой динамической системе) или фронтов (т. е.
решений уравнения Гамильтона — Якоби). Подобная коротноволновая асимктотика существует для решений многих уравнений математической физики, описывающих всевозможные волновые процессы. При этом в разных областях физики и математики ее связывают с различными именами. Например, в квантовой механике коротковолновая асимптотика называется квазиклассическим приближением, а ее отыскание— методом ВКБДж (Вентцеля, Крамерса, Бриллюана, Джефриса), хотя гораздо раньше этим приближением пользовались, например, Лиувилль, Грин, Стоке и Резей. Построение коротковолновой асимптотики основано на представлении, что локально в каждом месте наблюдается ряд почти строго синусоидальных волн, однако амплитуда этих волн и направление их фронтов медленно меняются от точки к точке. Формальная подстановка функции такого вида в уравнение с частнымн производными, описывающее волновой процесс, приводит (в первом приближении при малой длине волны) к уравнению Гамильтона — Якоби для волновых фронтов.
Следующие приближения позволяют определить также и аависимость амплитуды колебаний от точки. Конечно, вся процедура требует математического обоснования. Точная формулировка и доказательство соответствующих теорем совсем не просты. Особенно большие затруднения вносят так называемые каустики (иначе — фокальные нли сопряженные точки, или точки поворота). Каустики — это огибающие семейств лучей; их можно видеть на стене, освещенной лучами, отраженными от какой-лнбо гладкой кривой поверхности. Если лучи, воаникающие при описании волн, пересекаются и обраауют каустики, то вблиаи каустик формулы коротковолновой асимптотики должны быть несколько иаменены. А именно, фаза колебаний вдоль каждого луча испытывает стандартный разрыв (на четверть волны) при каждом прохождении луча у каустики.
Точное описание всех этих явлений удобно проводить в терминах геометрии лагранжевых подмногообразий соответствующего фазового пространства и их проекций на конфигурационное пространство. ДОБАВЛЕНИЕ 11 Каустики интерпретируются при этом как особенности проекции лагранжева многообрааия, задающего семейство лучей, из фааового пространства в конфигурационное.
Таким образом, нормальные формы особенностей лагранжевых проекций, приведенные в добавлении 12, доставлнют, в частности, классификацию особенностей каустик, образованных системами лучей «общего положенияз. В настоящем добавлении приведены (без доказательств) простейшие формулы коротковолновой асимптотики для квантовомеханического уравнения Шредингера.
Более подробное изложение имеется в следугощях местах: Х едквг Дж. Введение в исток фазовых ватегрзлов.— М.в Мкз, 1965 (см. оссбмвво Дополнение П в книге Ходквга); М а с л о в В. П. Теория возмук1евкй к асккктоткческое методы.— Мл Изд-во МГУ, 1965; А р н о л ь д В. И. 0 характеристическом классе, входявзвв в условяя квантования П Фувкцковзлькый анализ в его приложения.— 1967,— Т. 1, вык. 1.— С.
1 — 14; Х е р ы з и д е р Л. Ивтегрзлькые операторы Фурье П Математика.— 1972.— Т. 16, в в 1.— С. 17 — 61; 1972.— Т. 2, И 2.— С. 67 — 136; Асса Ма1Ьмва11сз.— 1971.— в'. 127, в з 1 — 2.— С. 119. А. Квазиклаесическое 'приблвкение для решений уравнения Шредингера. Уравмением Шредингера для частицы в поле с потенциалом 17 в евклидовом пространстве называется уравнение относительно комплексной функции ф (д, 1) ьв З1 = и Авз+ 17(д)ф, ЧЯ-И "6=И. Здесь Ь вЂ” некоторая вещественная постоянная, которая и является малым параметром рассматриваемой задачи. А — оператор Лапласа. Предположим, что начальное условие имеет коротковолновый вид — „вм) чав-о = ~Р (Д)е" где гладкая функция вр отлична от нуля лишь внутри некоторой ограниченной области. Мы укажем ниже асимптотическую (пря й-~ О) формулу для решения уравнения Шредингера с таким начальным условием.
11режде всего рассмотрим движение классической частицы в поле с потенциалом 17, т. е. рассмотрим уравнения Гамильтона дН' . дН 1 9= —, р= — —, где Н= —.р'+17(д) ар * ач 2 в 2п-мерном фазовом пространстве. Решения зтих уравнений определнют фазовый поток (при некоторых условиях на потенциал, которые мы предположим выполненными; зги условия запрещают уход на бесконечность за конечное время). ковотковолеовын Асимптотики Нашим коротковолновым начальным условиям мы сопоставим лагранжево подмногообразие в фазовом пространстве (т. е. многообразие, размерность которого равна размерности конфигурационного пространства и на котором обрззцается тождественно в нуль 2-форма йр /~ с(у, задающая симплектическую структуру в фазовом пространстве).
А именно, мы определим «импульс», соответствующий нашему начальному условию, как градиент фазы, т. е. положим р (д) = диду. Л е и м а. Какова бы ни была гладказ функция г, график построенной по ней функции р(д) в фазовом пространстве В»" = = ((р. д)) является лазранзкевым многообразием. Обратно, если лагранжево многообразие однозначно проектируется на д-пространство (я яется графиком), то оно задается некоторой производящей функцией г по предыдущей формуле.
Обозначим лаграшкево многообразие, построенное по начальному условию (по функции з) через М. Фазовый поток у' за время й переводит многообразие М в другое многообразие д'М. Это новое многооб- ! разно также лаграшкево, так как гз». х««. щ аэзз»жззз зз»в»з- 3кззмх мн«еззб»зззй фиюВмм зо фазовый поток сохраняет сшзплектическую структуРУ. При малых 8 новое лагранжево многообразие, как и старое, одноаначно проектируется на конфигурационное пространство. Однако при больших ~ это уже не обязательно так (рис. 244).
Иными словами, в одну точку Ч' конфигурационного пространства может проектироваться несколько точек нового лаграижева многообразия. Мы предположнм, что этих точек конечное число, и что все они невырождены (т. е. что невырождена производная отображения проектирования нового лагранжева многообрааия на конфигурационное пространство в каждой из точек„ проектирующихся в заданную точку Й.
Условие иеэырождзвнеств выполнено для почти всех точек Я. 'Ге особенные тачки (>, для которых еяо ве выполнено, образуют з всяфмгурацвсмвом пространстве множество мвуы мух». В общем случае зто»эюжзстзо — поверхность, размерность мотором на 4 меньше числа изморозей ковфвгурзцвсвиого пространства.
Эта поззрхиость, играющая роль к«устами~~э нашей задаче, сама может иметь довольно словаыз особенности. Проектирующиеся в заданную точку Ч' точки нового лагранжева многообразия произошли при преобразовании фазового потока из некоторых точек исходного лагранжева многообразия (построенного по начальному условию). Иными словами, в точку гз за время $ приводит несколько траекторий классической частицыв 410 доилвлиник ы начальные условия которых принадлежат исходному лагранжеву многообразию. Обозначим через (рм дг) эти начальюяе точки фазового прост- ранства, а через Яг действие вдоль траектории фазового потока, выходящей из точки (р;, дг). Точнее, мы положим 1 Я,(В г) = г(дг)+ 1.ЫО, а где 2 (у) Тогда при Ь -+.
О решение ураененил Шредингера с заданным функциями г и ф осциллирующим начальным услоеием имеет асинптотику ф Ю, г) = (~~ ф (цг) ! — '~ ~ ' ' ь "о' " ° "'+ О (й), Вг. 1 еде рг — целое число (и н д е к с М о р с а), определение котороео дано ниже. Чтобы разобраться в атой формуле, рассмотрим сперва случай, когда промежуток времени г мал. В атом случае сумма сводится к одному-единственному слагаемому, так как лагранжево многообразие, полученное из исходного лагранжева многообрааия преобразованием фазового потока за малое время, проектируется на конфигурационное пространство одноаначно.
Иными словами, из семейства частиц, соответствующих начальному условию для уравнения Шредингера, только одна приходит в 0 через малое время г. Для малых г индекс Морса равен нулю (как мы увидим ниже из его определения). Таким образом, функция ф ф, г) имеет, так же как и начальное условие, быстро осциллирующий вид. При этом функция Ю, определяющая фронты волн в момент г, есть не что иное, как значение в момент г решения уравнения Гамильтона — Якоби, начальное условие для которого аадается функцией г, определяющей фронты волн в начальный момент. Амплитуда же волн в момент г в точке 9 получается из их амплитуды в начальный момент в исходной точке приходящей в Ч' траектории умножением на некоторый множитель. Этот множитель подобран так, чтобы при движении частиц, соответствующих нашему начальному условию, интеграл квадрата модуля функции ф по заполненной частицами области конфигурационного пространства не менялся с течением времени.
(Здесь предполагается, что в начальный момент выделена любая область в конфигурационном пространстве, затем рассматриваются фазовые точки на исходном лагранжевом многообразии, чьи проекции на конфигурационное пространство лежат в этой области, далее — их КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ 4«х обрааы под действием фазового потока через время 8 и, наконец, проекции последних на конфигурационное пространство образуют область, «заполненную частицами в момент (».) Б. Индексы Морса и Маслова. Число ру определяется как число фокальных к многообразию М точек на отрезке (О, ») фазовой кривой, выходящей нз точки (ри д ). Определение фокальной к М точки состоит в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
