В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 92
Текст из файла (страница 92)
3 — 25. В. Таблица нормальных форм типичных особенностей проекций лагранжевых многообразий раамерности зг~(5. Мы будем польаоваться следующими обозначениями: (ды ..., д„) — координаты в конфигурационном пространстве, (Р„ ..., Р„) — соответствующие импульсы, так что вместе р и д образуют симплектическую систему координат в фазовом пространстве.
Лагранжево многообразие мы будем аадавать при помощи производящей функции Р формулами д; = дУ(дры ру = — дР/ддн где индекс 4 пробегает некоторую часть множества (1,..., и), а индекс 1 — остальную часть. А именно, 1 = 1, 7' ~ 1 для особенностей, обозначенных в списке череа А„, и 1 = 1, 2, у) 2 для особенностей, обозначенных череа О» и Ь». При таких обозначениях одно и то же выражение Г (Ры оу) может рассматриваться как задающее лагранжево многообразие в пространствах разного числа измерений: мы можем дописать сколько угодно аргументов йн от которых Р на самом деле не аависит. Список нормальных форм типичных особенностей имеет теперь следующий вид: при и = 1 Аз: Р = РН .4».
Р = -(- Р', при и = 2, кроме двух предыдущих, еще .4 з: Р = ~ Рз + о»Р»' 4 з. при и = 3, кроме трех предыдущих, еще А»: Р = ~ Р» + Ы~» + Чары 1)з: Р = + лл +' Рз + 2»Рь' 449 лагРанжевы осовенностн при и = 4, кроме пяти предыдущих, еще А,: Р = + ра + Ч Р, '+ Ч,ра + Ч Ра, ать: Р = + РьРт +' Ра + Чара + Чара~ при и = 5, кроме семи предыдущих, еще '4ь: Р = ~ Ра '+ Чьрь + ° ° * + Чарь ате: Р = ~РъРа ~ Ра + ЧьРь + ЧьРа + Черте паа Р =.:ЬРа+ Ра + ЧьРьра + ЧьРьрь + Чара. Г. Обсуждение нормальных форм.
Точка типа Аь неособая. Особенность типа А, — зто особенность типа складки. Действительно, если аа координаты на лагранжевом многообразии звать (Ры Ча, ..., Ч„), то отобРажение пРоектиРованиЯ запишется как (Р Ч, ° °, Ч) (~ЗРь,Ча,..., Ч„). Особенность типа А — зто сборка с полукубическим острием на видимом контуре. Чтобы в етом убедиться, достаточно выписать рве. ааа. Твввовые осоаенвоств ватствв в треавервсм вростРьвсьте явно соответствующее отображение двумерного лагранжева многообразия на плоскость: (Р, Ч,) (.+4Р;+ 2Чара Ч,) Особенность типа А» впервые появляется в трехмерном случаев и соответствующая каустика представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (рис. 246) с особенностью, называемой ласточкиным хвостом (мы уже встречались с пей в $46). Каустика особенности типа Рь в трехмерном пространстве представляет собой поверхность с тремя ребрами возврата (ти- й2О довлвлиник ьэ па Аг), касающимися в одной точке; при атом два из этих ребер возврата могут быть мнимыми, так что имеется два варианта каустяки гь«.
Д. Лаграяжевы эквивалентности. Теперь следует сказать, в каком смысле приведенные примеры являются нормальными формами типичных особенностей проектирования лагранжевых многообразий. Прежде всего мы определим, какие особенности мы будем считать «одкнаково устроеннымп». Отобрагкение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжев»гм отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие и-»ьерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательнымн расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектнческпй диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево многообразие во второе.
Сам симплектическнй диффеоморфизм называется тогда лагранжевой гквивалентььостью отображений. Заметим, что два лагранжево эквивалентных лагранжевых отображения превращаются одно в другое при помощи диффеоморфиамов в пространстве-прообразе и пространстве-образе (или, как говорят в анализе, приводятся одно к другому ааменой координат в прообразе и в образе). Действительно, наш симплектический диффеоморфизм, суженный на лагранхьево многообразие, задает диффеоморфизм прообразов; диффеоморфизм же конфигурационных пространств-обрааов возникает потому, что слои переходят в слои. В частности, каустики двух лагранжево эквивалентных отображений диффеоморфны, поэтому классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности влечет за собой классификацию каустик.
Однако классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности, вообще говоря, тоньше, чем классификация каустик, так как иа диффеоморфности каустпк вообще не вытекает лаграня ева эквивалентность отображений. Более того, классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности тоныпе, чем классификация с точностью до диффеоморфизвьов прообраза и образа, так как не всякая такая пара днффеоморфизмов реализуется симплектическим диффеоморфиэмом фазового пространства. Лагранжево отображение, рассматриваемое в окрестности некоторой выделенной точки, называется лагранжево вквивалентььым в атой елочке другому лагранжеву отображению (также имеющему выделенную точку), если существует лагранжева эквивалентность первого отображения в некоторой окрестности первой 421 льгвянжевы Осовкнности точки на второе в некоторой окрестности второй точки, переводящая первую точку во вторую.
Теперь мы можем сформулировать классификационную теорему для особенностей лагранжевых отображений в размерностях и ( 5. Всякое и-мерное лагранжево многообразие (п ( 5) можно сколь угодно малой деформацией в классе лагранжевых многообразий превратшпв в такое, что отображение проектирования на конфигурационное пространство будет в каждой точке лагранжево эквивалентпным одному иг лагранжевых отображений приведенного выше списка. В частности, двумерное лагранжево многообразие можно сколь угодно малым шевелением в классе лагранжевых многообразий привести в чобщее положение», так что отображение проектирования на конфигурационное (двумерное) пространство не будет иметь других особенностей, кроме складок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме Аэ) и сборок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме Аэ).
Заметам, что уже првведвввсе утверяожявв о двумерных лагравжевых отображениях ве вытекает иэ влэссвфввэцвоввой теоремы для сбщэх (велаграюкввых) отсбрэжвввй. Ибо, вс-певэых, лэгравжеэы отображения составляют среди всех гладких отсбрэжеввв весьма уэквй класс, в поэтому могут выгть (я двйстввтелько вмеют ври и ) 2) в качестве типичных дая лагравжевых отображений такие оссбеввоств, которые дяя отобрэжеввй общего вида ветвпвчвм. Во-вторых же, вэ воэможности прввгств отсбрэжевве к нормальной форме двффеоморфвэыэвв прообраза в обрэээ ыце яе следует всэможяость тэкогс враз»девая с помощью лагравжввой экэвээлевтпо о»в. Таким обрааом, каустики лагранжева двумерного многообрааия общего положения имеют в качестве особенностей лишь полукубические острин (и точки трансверсального самопересечения). Все более сложные особенности распадаются при малом шевелении лагранжева многообразия, тогда как точки возврата и точки самопересечения каустики неустранимы малым шевелением и лишь немного деформируются.
Нормальные формы следующих особенностей А„Р„... можно подобным же обрааом испольаовать для исследования каустик лагранжевых многообразий болыпего числа измерений, а также для исследования перестроек каустик лагранжевых многообразий неболыяого числа измерений при изменении параметров, от которых зависит многообразие Другие првкевеввя формулы настоящего раздела вэходят в теории лежандроэых особенностей, то есть сссбеввсстей волновых фронтов, пресбрээоваввй Лежавдра, огвбающвх в выпуклых оболочек (см. дсбэваевяе 4, стр. ЗЗЗ). Теории лэгравжевых в лежавдровых особевэсстей имеют очвввдвые врвасжгввя яе только в геометрической овтяве в тгорвя асвмвтстяк осциллвруюшзх ивтггрглсв, го в в варвацвоввом всчвелгввэ, в теории рээ- довавликив «э рмввмх решеивй иелввейвмх ураввеввй с час«вмми прои»водаыив, в задачах оптимизации, погони и т.
и. Р. Том предложил для теории ссобевиостей, теории бифуркаций в их вриложевий оэъедвваювме иазвзвие м«орал ваше«- е«де«г. Добавление 13 НУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ Наряду с классической скобкой Пуассона фуикций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример— скобка Пуассона функций от компонент М; вектора кикетического момента, (г', С) = ~(дг/дМ«) (д6/дМ«) (М;, М«).
Такие вырождепиые скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах симплектических мяогообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особекности (ке являются расслоениями): оии состоят из симплектических многообразий (листов) разных раамерностей, соединенных между собой условием гладкости задаикой вырожденными скобками пуассоковой структуры ка пространстве — объединении.
(В описанном выше примере листы — коицентрические сферы и их центр.) В настоящем добавлении перечислены простейшие элемеитаркые свойства пуассояовых структур ка кояечиомеркых многообразиях. Но нужно иметь в виду, что в приложениях (особекяо в математической физике сплошной среды) часто встречаются и пуассояовы структуры ка бескокечпомеркых многообразиях. При этом, впрочем, раамеркости или коразмеряости листов часто (хотя и не всегда) конечны. А.
Пуассоиовы многообразия. Пуаесоновой структурой па мкогообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций яа яем (т. е. билинейная кососимметрическая операция «скобки Пуассона» функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор ад = (а, ) (взятие скобки Пуассона с любой фуикцией а) является оператором диффереицпровапия по направлению некоторого векторного полн и„. Векторное поле г„иазывается тогда гамильтоновмм полем с фуякцией Гамильтона а. Отображение а р задает гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.
Мпогообрааие, снабженное пуассоновой структурой, называется пуаееоновым многообразием. Две точки ка пуассоковом миогообрааии называются гививалентнмми, если их можно соединить ломаной из отрезков фазовых кривых гамильтояовых полей. Классы эквивалекткых друг другу точек пааываются листами пуассопова мкогообразия. Векторы всевоаможкых гамильтояовых полей в каждой точке пуассоков а мкогообразия заполияют линейное пространство, а имеппо касательное пространство листа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
