В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Интересный источник пуассоновых структур доставляют отображении периодов критических точек голоморфных функций (В а р ч е нк о А. Н., Г и в е н т а л ь А. В. Отображение периодов и форма пересечений П Функц. анализ и его приложения.— 1982.— Т. 16, вып. 2.— С. 7 — 20).
Отображение периодов позволяет переносить на базу расслоения структуры, имеющиеся в пространстве (ко)гомологнй слоя Пуассонова структура на базе возникает этим способом из формы пересечений в средних гомологпях слоя, когда эта форма восо- симметрична.
Отображение периодов определяется следующей конструкцией. Пусть дано локально тривиальное расслоение. С таким расслоением связаны расслоения гомологий и когомологий слоев с комплекснымн коэффициентами (база та же). Этн расслоения не только локально тривиальны, но и канонически локально тривнализованы (целочисленный цикл в слое перетаскивается в,соседний слойгомологически однозначно).
Отображениезс периодов называется сечение расслоения когомологий. Пусть теперь на пространстве гладкого расслоения дана дифференциальная форма, замкнутая на слоях. Отображение периодов этой формы сопоставляет точке базы класс когомологий формы в слое над этой точкой. Если на базе расслоения дано векторное поле, то любое (гладкое) отображение периодов можно дифференцировать вдоль этого полн, и производная также есть отображение периодов. Действительно, близкие слои расслоения кегомологий канонически отождествляются друг с другом целочисленной локальной тривнализацвей, после чего сечение становится (локально) отображением в один слой и дифференцируется, как обычная функция.
Предположим, что база — комплексное многообразие и что комплексные размерности базы и слоя расслоении когомологий одинаковы. Отображение периодов называется невырожденнзш, если его производные вдоль любых С-независимых векторов в каждой точке линейно независимьь Иными словами, отображение пе- пуассоновы стРукт'уРы 433 риодов невырождено, если соответствующее локальное отображение базы в один слой — диффеоморфиэм. Таким образом, производная невырожденного отображения периодов изоморфно отображает касательное расслоение базы на расслоение когомологий. Двойственный изоморфизм отображает расслоение гомологий на кокасательное расслоение базы„Этот иэоморфизм и переносит имеющиеся в группе гомологий дополнительные структуры на базу.
Предположим, что слои исходного расслоения — вещественные ориентированные четномерные многообразия, и рассмотрим гомологин средней размерности. В этом случае на пространстве гомологий определена билинейная форма: индекс пересечения. Эта форма симметрична, если размерность слоя кратна 4, и кососнмметрична в противном случае. Она невырождена, если слой замкнут (компактен и не имеет края), но может вырождаться в противном случае. Предположим, что форма кососимметрична. В этой ситуации нсвыролсдсянос отображение псриодос индуцирует на базе пуассоносу стпрултуру. Действительно, построенный выше изоморфизм кокасательного пространства базы с группой гомологий (снабженной кососимметрической формой пересечений) определяет билинейную кососимметрическую форму пары кокасательных векторов.
Скобка Пуассона двух функций н точке определяется как значение этой формы на дифференциалах функций. Эта скобка определяет на базе структуру Пуассона (постоянного ранга). Это видно нэ того, что заданное отображением периодов локальное отождествление базы с группой когомологий слоя вводит на базе такие локальные координаты, скобки Пуассонакоторых постоянны е). Варченко и Гнвенталь заметилн, что построенные таким способом по $-формам общего полояеения пуассоновы структуры на дополнениях к дискриминантным многообразиям в базах версальных деформаций критических точек функций двух переменных (если угодно, на дополнениях к волновым фронтам с типичными особенностями) голоморфно продолжаются на дискриминантное многообразие (волновой фронт).
Мы ограничимся простейшим примером возникающих на этом пути пуассоновых структур. Рассмотрим трехмерное пространство многочленов Са = (~а + Л,л~ + ),, + ),,) с координатами Хт. Многочлены с кратными корнями образуют в нем дискриминантную поверхность (ласточкин хвост, рис. 247). Пуассонова структура, возникающая из отображения периодов, приводится (сохраняющим ласточкин хвост диффеоморфизмом) е) В случае, когда форма пересечении симметрична, аналогичная конструкция определяет на базе плоскую псевдориманову метрику, быть может„ вырожденную. ДОБАВЛЕНИЕ 7 Э к такому виду: симплектические слои — это плоскости Л = сопэФ, их симплектическая структура — форма Ю.
/~ Юа. Расслоение, о котором здесь идет речь, образовано комплекс- ными кривыми Аэ (х,л: у'= +Л, '+Л +Л), отображение периодов задается, например, формой у«Ь (см. книгу Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-ЗадеС.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2.— М.: Наука, 1984, 1 15). Возникающая иэ отобра жения периодов пуассонова структура на пространстве ласточкина хвоста может быть локально определена как структура общего положения среди обладающих следующим свойстрне. 2«7. Птаеоонова етррнтвра ВОМ: ЛИВИЯ СаМОПЕрЕСЕЧЕНИя ХВОСта прострекотав мнотонненов вся лежит в одном симплектическом листе.
Нужное здесь условие общности положения состоит в том, что касательная плоскость листа в нуле не совпадает с касательной плоскостью ласточкина хвоста в нуле. Всякая гладкая функция, постоянная на ливии самопересечения хвоста, имеющая ненулевой дифференциал на касательной плоскости хвоста в нуле, приводится вблизи нуля сохраняющим хвост диффеоморфизмом к виду Лв+сопэ», а семейство голоморфных сималектических структур на плоскостях Л, =- сонэ» приводится к виду е»Л, /~ «7ЛЭ голоморфным локальным диффеоморфиэмом трехмерного пространства, сохраняющим ласточкин хвост и расслоение на плоскости Лв = сонэ«(УМН. — 1985.
— Т. 40, вып. 5. — С. 236). Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектическне) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитеэимально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты днскриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). «Кстественяое условие» в разобранном вьпяе трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ка + Лтэв + Л,х*+ +л +л. ОБ ЭЛЛИПТИЧКСКИХ КООРДИНАТАХ Добавление 14 ОВ ЗЛЛИПТИ«1ЕСКИХ КООРДИНАТАХ С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, л также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде.
Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат.
А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоордикатной форме. Для перехода к бесконечномерному случаю нужно всюду заменить симметрические операторы в евклидовом конечномерном пространстве самосопряженными в гильбертовом. При этом, поскольку эллиптические координаты связаны не с самим оператором, а с его резолъвеитой, неограниченность исходного оператора (который может, например, быть днфференциалъным) не является слишком серьезным препятствием. В некоторых случаях получаемые таким образом эллиптические координаты в гнльбертовом пространстве образуют счетный набор.
Однако возможен н случай непрерывного спектра, когда набор координат получается континуалъным. В этом случае переход от исходной точки гильбертова (скажем, функционального) пространства к континуальному набору эллиптических координат этой точки может рассматриваться как нелинейное преобразование функционального пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
