В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Многообразие характеристик наследует иэ исходного многообразия симплектическую структуру. 3. В частности, многообразие гкстрсмаявй гыс. »и пзссхгхксххс ораентироханных пряобщей вариационной задачи получает сими- ных лектическую структуру. 4. Рассмотрим пространство бинарных форм (однородных многочленов от двух переменных) нечетной степени. На этом четномерном линейном пространстве действует группа линейных преобразований плоскости. С точностью до множителя существует ровно одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма на атом пространстве, инвариантная относительно действия группы ЯЦ2) линейных преобразований с определителем единица.
Эта форма задает на многообразии бинарных форм нечетной степени естественную симплектическую структуру. 5. Бинарные формы от х и у с единичным коэффициентом при хх"+' образуют гиперплоскость в пространстве всех форм. Многообразие характеристик этой гиперплоскости естественно отождествляется с многообразием многочлснов четной степени ххх + . ° ° ... от х. Мы определили естественную симплекгическую структуру этого пространства многочленов. б. Однопараметрическая группа сдвигов вдоль оси х сохраняет указанную симплектическую структуру. Функция Гамильтона атой группы — многочлен второй степени (найденный еще Гиль- бертом (1893))- Многообразие характеристик поверхности уровня функции Гамильтона отождествляется с многообразием многочяснов степени 2й — 1 от х со старшим коэффициентом 1 и суммой корней О.
Мы получаем естественную симплектическую структуру в этом пространстве многочленов. 448 дОБАВление !ь В. Подмногообразия симплектического многообразии. Ограничение симплектической структуры на подмногообразие — аамкнутая 2-форма, но она уже не обязательно невырождена. В евклидовом пространстве, кроме внутренней геометрии еодмногообрааий, имеется обширная теория внешних кривизн.
В симплектической геометрии положение проще: Т е о р е м а (А. В. Гивенталь, 1981). Росток подмногообразия симплектического многообразия определяется ограничением на него симплектической структуры с точностью до симплектического диффеоморфизма. Промежуточная теорема, в которой использовались значения симплектической структуры на не касаюгцихся подмногообразия векторах, была ранее доказана А. Вейнстейном (1973). В отличив от теоремы Вейнстейна, теорема Гивенталя поаволяет классифицировать ростки подмногообразий общего положения в симплектическом пространстве: нужно лишь воспользоваться полученной Ж. Мартине (1970) и его последователями классификацией вырождений симплектических структур. П р и и е р ы. 1.
Двумерная поверхность общего положения в симплектическомпространстве в окрестности каждой своей точки симплектически диффеоморфна поверхности рг — — Р,', рз дз —— .. * ... = О (в координатах Дарбу). 2. На четырехмерном подмногообразии устойчиво встречаются линии зллиптических и гиперболических особых точек Мартине с нормальной формой Рг = Р1Рг ~ »7ь»уг + Фб» Рг — — О, Рз — — »уь =... = О. Эллвптвчвость и гвперболвчвость отвосатся к харавтеру дввжвввя в динамической системе, ввварвавтво свягаввой с подмпогообраапем. Вогввпающее бегдввергевтвое вевторвое поле в трехмерном простравстае имеет целую ливию особых точек.
Классвфвпгцяя особых линий оказывается менее патологачеекой, чеы классификация особых точек (првблкжающзяся по трудности к гьдачгы вебесвый мехаввви). Таковы первые шаги теории симплектических особенностей гладких подмногообразий. В. Лаграшкевы многообразия теории систем лучей. Напомню, что лагранлсевым многообразием называется подмяогообрагие симплектического пространства, на котором симплектическая структура обращается в нуль и которое имеет наибольшую возможную размерность (равную половине раамерности объемлющего многообразия).
П р и и е р ы. 1. Слои кокасательного расслоения лагранжевы. 2. Многообразие всех ориентированных нормалей к гладкому подмногообразию (любой размерности) в евклидовом пространстве— лагранжево подмногообразие пространства прямых. 3. Многообразие всех многочленов х™ +..., делягаихся на х", лагранжево. Лагранхсевым Расслоением называется расслоение, слои которого лагранжевы. Осовкниости аистам лъ'чеи П р и м е р ы. 1.
Кокасательнов расслоение лэхраижево. 2. Гауссово расслоение, сопоставляющее ориентированной прямой евклидова пространства ее орт, лагравжево. Все лаграижевы расслоеиия фиксированной размериости локально (в окрестности точки простраиства расслоения) симплектически диффеоморфкы. Лазранжевык отображением иазывается проектирование лагракжева подмиогообраэия иа базу лаграижева расслоения, т.
е. тройка У -~ Е -~ В, где первая стрелка — иымерсия лаграпжева подмяогообразия, а вторая — лаграижево расслоение. П р и м е р ы. 1. Градиентное отображение д дЯдд. 2. Нормальное отображение: вектору нормали к подмиогообраэию евклидова пространства сопоставляется его конец. 3.
Гуассово отображение: точке траисверсальио ориентированной поверхности евклидова пространства сопоставляется орт нормали (соответствующее лаграижево мяогообраэие образоваио самими иормаляыи). Эквивалентностью лаграижевых отображений называется симплектическое отображеиие пространств расслоений, переводящее слои в слои и первое лаграижево многообразие во второе. Множество критических эиачеиий лаграижева отображения называется каустикой. Каустики эквивалеятвых отображений диффеоморфиы. П р и м е р. Каустика нормального отображения поверхиости есть огибающая семейства нормалей, т.
е. фекальная поверхность (поверхиость центров кривиаиы). Всякое лаграяжево отображение локально эквивалентно градиептяому (иормальяому, гауссовому). Особеяиости градиеитиых (иормальяых, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у обгцих лаграижевых отображений. Простейшие иа иих классифицируются по группам отражений Аг, г1,„Е„Е„Ез (см. добавление 12). П р и м е р. Рассмотрим среду из пылевых частиц, движущихся по инерции с потенциальным полем скоростей. Через время 1 частица иэ х переходит в х + 1дЯдх. Мы получили одиопараметрическое семейство гладких отображений йз-+ йз. Эти отображения лаграижевы. Действительно, потенциальное поле скоростей задает лаграижево сечеиие пространства кокасательного расслоеиия.
Фазовый поток уравнения Ньютона сохраияет лаграпжевость. Но это лаграижево многообразие при больших 1 перестает быть сечеиием: его проекция иа базу имеет особеиности. Каустики этого отображения — места бескоиечиой плотиости частиц *). Согласно Я. Б. Зельдовичу (1970) аналогичная з) Связь кзустик с плотностью пылозидкой среды отмечали первыми Лифшиц, Судаков и Халзткиков; см.
обзор: 1. 1 1 з Ь 1 1 г И. М., Н а 1 з г- 1 и 1 й о т У. М. 1ктоз11язг(олз ш го1аг!т!змс созшо1ояу.!( Айт. Рьуз.— 1963.— Ч. 12.— Р. 185. 450 довлвлянив 15 модель (с учетом тяготения и расширения Вселенной) описывает обрааование крупномасштабных неоднородностей в распределении вещества во Вселенной. По теории лагранжевьтх особенностей, новорожденная каустика имеет вид эллиптического блюдца (рис. 254) (через время г после своего рождения блюдце имеет оси порядка г'/», глубину порядка Ф и толщину порядка 1ч*).
Рождение блюдца соответствует А . ш Метаморфозы каустик в общем однопараметрическом семействе лагранжевых отображений трехмерного пространства изображены на рис. 255 (Агпо1ЙУ. 1. Ът'ате .жи нр ррр жг Ргоп1 Ечо1п11оп апй Ецп1чаг1апФМогэе 1.ешша//СРАМ. — 1976. — У. 6, № 2. — Р.319 — 335). Т е о р е м а (1972). Ростки лаеранжееых отображений общего положения многообразий размерности ~(5 е каждой точке просты (не имеют модулей) и устойчивы.
Простые устойчивые ростки лагранжееых отображений классифицируются группами отражений А, Р, Е, как это объяснено ниже. Г. Контактная геометрия систем лучей и волновых фронтов. Напомню, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется невырожденное поле гиперплоскостей в касательных пространствах. В чем именно состоит условие невырожденности, несущественно, так как вблизи точки общего положения все поля гиперплоскостей общего положения на многообразии фиксированной нечетной размерности диффеоморфны (контактная теорема Дарбу, Добавление 4). П р и м е р ы. 1. Многообразие контактных алементое гладкого многообразия состоит из всех касательных гиперплоскостей. Скорость перемещения элемента принадлежит плоскости, аадающей контактную структуру, если скорость перемещения точки контакта принадлежит элементу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
