В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Рассмотрим в многообразии многочленов х" + )чх" ' + +... + Х„т множество всех многочлеиов с корнем фиксированной кократности й, (х — а)* "(хв +...). дифференцирование многочленов сохраняет кократность корня. Т е о р е м а (А. Б. Гивенталь, 1981). Последовательность пространств мгюгвчленов е корнем фиксированной кокрапвноети етабилигируетея е ростом степени, начинал с и = 2й + 1 (т. е. е момента раеивепления гамоперееечений). г П р и м е р. Раскрытый ласточкин хвост л — первое стабильное многообразие нгд обычным. Появление раскрытого хвоста в задаче об обходе препятствия аксиоматиэировзно в теории триад Гивенталя (1982).
О и р е д е л е н и е. Симплектическая г~в. гвг. гва р~~ыг тстриада (Н, Ь, 1) состоит иа гладкой гиперповерхности Н в симплектическом много- образин и лагранжева многообразия Х,, касающегося с ней с первым порядком касания вдоль своей гиперповерхносги 1. Лагранжевым многообразием (с особенностями), порожденным триадой, называется образ 1 в многообразии характеристик гиперповерхности Н. П р и м е р 1.
Рассмотрим в задаче об обходе препятствия с границей Г С К" расстояние вдоль геодезической до начального фронта кэк функцию г: Г-+-К. Многообразие Х, всех продолжений 1-форм дг с Г на К вместе с гиперповерхностью ХХ: р' = 1 олределяет триаду. Эта триада порождает в точности многообразие лучей, касательных к геодезическим нашей системы экстремалей на Г. П р и м е р 2.
Рассмотрим симплектическое многообразие мяогочленов Г = х'+ г х~ ~ +... + 1а четной степени И = = 2т, Многочлены, делшциеся на х", образуют в нем лагранжево подмногообразие. Рассмотрим гамильтониан сдвигов вдоль оси х. (Этот многочлен от Х равен й = Х ( — 1)'Ешгчя, в+ у = а, РИ) = И~РИх~.! Гиперповерхность Ь = О касается лагранжева многообразия Х по пространству 1 многочленов, делящихся на х +', и образует с ними триаду. Эта триада порождает лагранжев раскрытый ласточкин хвост размерности т — 1 (многообразие многочленов хв в + а,х" г + + ... + ав в, имеющих корень кратности болыпей половины степени).
462 довлвлвнив 15 Т е о р е м а (А. Б. Гивенталь, 1982). Триада примера 2 устойчива. Ростки триад общего положения во всех точках симплектически диффеоморфны роппкам триад пршиера 2. С л е д с т в и е. ят ноаообрагие лучей, касающихся геодезических системы экстремалей задачи об обходе препятствия общего полюхсения, локально симплектически диффеоморфно лагранэсеву раскрытому ласточкину хвосту.
В контактной геометрии с задачей об обходе препятствия связаны два лежандровых многообразия с особенностями: многообразие контактных элементов фронта и многообразие 1-струй функции времени. Первое из них диффеоморфно накрывает лагранжев открытый ласточкин хвост, второе диффеоморфно цилиндру под первым.
П р и и е р. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Ояи имеют по две точки возврата: обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообраане неособо, а над точкой касательной перегиба лежакдрово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2.
Ксссе7«се«се оейоеосо' /Рооеояс рис. гео. Эаовьаевти «теичес- «оа иареооиы рис. ггк Повар«воет ивоюоевевов с крита ыии корвина Т е о р е м а (1978). Поверхность в пространстве контактных элементов плоскости, расслоенном над плоскостью, образованном всеми контактными элементами эвольеент кривой общего положения вблиги точки перегиба кривой, локально диффеоморфна поверхности, образованной всеми многочленами с кршпными корнями в пространппее многочленов хе + ахе + Ьх+ с, расслоенном на прямые, параллельные оси Ь. Эта поверхность (рис.
265), вместе с поверхностью с = О прилояеенных на кривой элементов, образуют многообразие нерегулярных орбит группы отранеений Ва. Это наблюдение привело к теории краевых особенностей (1978). П р и м е р (И. Г. Щербак, 1982). Рассмотрим кривую общего положения на поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. В отдельных точках направление кривой совпадает с направлени- 463 осозенпости систвм пучки ем линии кривизны. Из теории лагранжевых краевых особенностей следует, что с такой точкой связана группа Вайля ре: фокальные точки поверхности (Аа), фокальныв точки кривой (А») и нормали к поверхности в точках кривой (Н ) образуют вблиаи центра кривизны каустику р«(рис.
266). Не останавливаясь подробно на теории краевых особенностей, отмечу «двойственность Лагранжа», переставляющую функцию и ее ограничение на край (с точностью до стабильной эквивалентности): такова современная трактовка правила множителей Лагранжа (И. Г. Щербак, 1982). Возращаясь к точке перегиба плоской кривой, рассмотрим еще график многозначной функции времени в задаче об обходе препятствия.
Линии уровня времени — эвольвенты. Поэтому график имеет вид изображенной на рис. 267 по- 2 вврхностя с двумя ребрами воаврата (порядков 3/2 и 5/2). В этой нарисованной мной поверхности А. Б. Гивенталь опознал нарисованное рис. ггг. зроиальнзте точки по- пертности с краем рис. 2«Ъ грасии Фтииции ереиени вблизи тачки перегиба границы препятстеня О.
В. Ляшко многообразие Х нерегулярных орбит группы Н (группы симметрий икосаэдра). Гипотеза Гивенталя вскоре была доказана: Т е о р е м а (О. П. Щербак, 1982). График (многозначной) функции времени в задаче сб обходе препятствия, ограниченного плоской кривой общего положения, в окрестности точки перегиба кривой диффеоморфен мпоеообразию Х.
В доказательстве использована Т е о р е м а (О. В. Ляшко, 1981). Многообразие Х диффеоморфно многообразию многочленсв хе + ахе + Ьхл + с, имеющих кратный корень. Теорема Ляшко описывает многообразие нерегулярных орбит группы Не как объединение касательных к пространственной кривой (1, И, «а), а теорема Щврбака — к кривой (1+ о (1), гз + о (ге), га + о (га)). Такую же особенность имеет фронт общего положения в точке касания асимптотического луча с поверхностью препятствия в Ка.
довявлвнив гв Опишем, наконец, вариационную вадачу, приводящую к особенности Н, (по О. П. Щербаку). Группа Нг состоит иа симметрий правильного многогранника в В4. Его 120 вершин лежат на Вг = ЭП(2) и образуют бинарную группу икосавдра (бинарная группа двулистно накрывает группу вращений икосаедра при накрытии Вг -ы 80(3)). Рассмотрим в евклидовом Вг препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Экстремали, соединяющие точку вне препятствия со всеми точками в обход препятствия, обраауют на поверхности препятствия пучок (однопараметрическое семейство) геодеанческих. Функцией времени нааывается расстояние до фиксированного начального многообразия (например, точки) вдоль стационарного (не обязательно минимального) пути иа отреаков геодезических и их касательных, рассматриваемое как (многоаначная) функция конечной точки пространства (решение уравнения Гамильтона — Якоби).
Т е о р е м а (О. С. Щербак, 1984). Для препятствия общего положения графил функции времени локально диффеоморфен многообр зию Х нерегулярных орбит группы Н в фокалъной для пучка л //' точке асимптотаической касатпель.4г ной к геодезической пучка в параболической точке поверхности. Явная параметаривация Х: (а, Ьг/2+ ас, сг/2+ аЬз, Ьз/5 + сг/3 + аЬгс). Рпе. 26г. катсиюка тртппы и, Соответствующая каустика изображена на рис.
268. Группа Н4 свяаана с четырехмерным пространством базы версальной деформации Е (ага связь уже указывалась в замечании 7 $9 статьи: А р н о л ь д В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообравии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.— 1979.— Т. 34, вып. 2.— С. 3 — 38). Соответствующее атому четырехмерному подпространству вложение локальной алгебры Р, в локальную алгебру Ев индуцирует на первой именно ту градуировку, которая задается сворачиванием инвариантов Н .
О. П. Щербак доказал, что эта связь доставляет еще одно описание многообразия нерегулярных орбит Нг: Т е о р е м а. Рассмотрим те значения т, для которых кривая хв + уг + Х,хгу + Х~хз + Агу + вч = 0 особа. Одна из неприводимых компонент этой трехмерной гиперповерхности (Ц диффеоморфна многообразию нерегулярных орбит грунтов Н,. РРАвнение КОРтевегА — де ФРизА а<а а-Р Р 2 апв Риа. зее.
тппичяая певеоаооапа еоопта поп осаопе поепяаоаипя Три типичных сечения многообразия нерегулярных орбит Н изображены н» рис. 269. Добавление 16 УРАВИЕИИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА Не все первые интегралы уравнений классической механики объяснены явной симметрией задачи (примеры — специфические интегралы вадачи Кеплера, задачи о геодезических на зллнпсоиде и т. п.). В таких случаях говорят о «скрытой симметриио. Интересные примеры такой скрытой симметрии доставляет уравнение Кортевега — де Фриза ес бми пп 466 ДОВАВЛКННН 1« Это нелинейное уравнение с частными производными возникло первоначально в теории мелкой воды; впоследствии окааалось, что это же уравнение встречается в целом ряде аадач математической физики «).
В результате серии численных экспериментов были обнаружены удивительные свойства решений этого уравнения с нулевыми граничными условиями на бесконечности: эти решения при 1-ь + о и 1 — — о распадаются на «солитоны» — волны определенной формы, бегущие с равными скоростями. Чтсбм получить салатом, бегупщй со скоростью с, достаточно подставить в уравнение (1) фупкцпю и = ~р (х — сг). Длп ф получится тогда ураввепке ~р" = З«з + ар + И (Ы вЂ” параметр). Это — уравнение Ньютона с кубическим пстспцкалом. На фавовой плоскости (ф, ~р') имеется седло. Сспаратрмса, идущая в» седла в седло, в котором <р = О, определяет стремящееся к О прк х — *со у«пеппе ~р; опо и есть сслвюк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
