В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 100
Текст из файла (страница 100)
2. /11ногообразие 1-струй функций у = / (х) имеет контактную структуру бу = рах (р = д//дх для 1-струи функции /). Внешняя геометрия подмногообразия контактного пространства локально определяется внутренней (контактная теорема Гивенталя). Интегральное подмногообраэие контактной структуры называется лежандроеым, если оно имеет наибольшую возможную размерность.
П р и и е р ы. 1. Множество всех контактных элементов, касающихся фиксированного подмногообраэия (любой размерности) — лежандрово многообразие. 2. В частности, все контактные элементы, приложенные в одной точке, образуют лежандрово подмногообраэие (слой расслоения контактных элементов). 3. Множество всех 1-струй одной функции — лежандрово подмногообраэие пространства 1-струй. ДОБАВЛЕНИЕ 55 Расслоение называется лежандровым, если его слои лежандровы. П р и м е р ы. 1. Проективное кокасательное расслоение (сопоставляющее контактному элементу его точку приложения) лежандрово.
2. Расслоение 1-струй функций над О-струями (забывание проиаводной) лежандрово. Все лежандровы расслоения фиксированной размерности локально контактно диффеоморфны (в окрестности точки пространства расслоения). Проектирование лежаидрова подмногообразия на базу лежандрова расслоения называется лежандровым отобралсением. Образ лежандрова отображения называется фронтом. П р и м е р ы. 1. Преобразование Лежандра: гиперповерхность в проектнвном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразпя. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость).
Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проентивно двойственную исходной. Итак, проективно двойственная гладкой гиперповерхность есть фронт лежандрова отображения. 2. Фронтальное отображение: отложим на каждой нормали к гиперповерхности в евклидовом пространстве отреаок длины й Мы получим лежандрово отображение, фронт которого — гквидистанта данной гиперповерхности. Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению.
Теория лежацдровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае. Т е о р е м а (1973). Ростки лежандровых отображений общсмо положения многообразий раззсерносспи (5 в каждой точке просты и устойчивы.
Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами А, П, Е: их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями. П р и м е р. Типичный волновой фронт в трехмерном пространстве имеет особенностями лишь (полукубические) ребра возврата (Аг) и «ласточкины хвосты» (А», рис. 256; в окрестности такой точки фронт диффеоморфен поверхности в пространстве многочленов х«+ ахл + Ьх + с, образованных многочленами с кратными корнями). Разумеется, возможны также трансверсальные пересечения ветвей фронта с описанными особенностями.
3 а м е ч а н и е. Вещественные формы простых особениостей фронтов также допускают описание в терминах групп отражений. Оссвенисстн систвм лучей Е. Лойенга показал,что вещественные компоненты дополнения к простому ростку фронта нумеруются классами инволюций (элементов порядка 2) в нормалиэаторе группы отражений, сопряженных по отношению к действию этой группы отражений Рис.
эгб. типичные особенности волновых фронтов (смл 7 ооцепйа Е. Т)ге 61зсг1ш1пап« о1 а геа) з1шр1е зшйп)аг1«у.— Сошроыс(о Мах)г.— 1978.— Р. 37, Раас. 1.— Р. 51 — 62). Д. Приложения контактной геометрии к симплекткческой. Все лагранжевы особенности можно получить из лежандровых, если реализовать последние проектированием лежандровых подмногообраэий пространства 1-струй функций на пространство О-струй: достаточно забыть значение функции, чтобы пространство 1-струй превратить в фаэовое пространство: лежандрово многообразие первого иэоморфно проектируется в лагранжево второго. В частности, каустика лагранжгва отображгния есть проскцич ребра возврата фронта лсжандрсва отображения при общем проектировании с одномерными слоями.
Т е о р е м а (О. В. Ляшко, 1979). Всг гояаморфныс векторные поля, трансвгрсальныс фронту простой сеобгнноспги, локально переводятся друг в друга аоломорфным диффгсморфиамом, сохраняю щим фронт. П р и м е р. Векторное поле общего положения в окрестности особойточкиласточкинахвоста(х«+ахг+ Ьх+ с = (х+ бх)~. - .) сохраняющим хвост голоморфным диффеоморфизмом приводится к нормальной форме дlдс (рис.
257). Приведение к нормальным формам Ь различных объектов днффеоморфиэмами, сохраняющими волновые фронты или каустики, — основное техническое средство исследования геометрии си- Рис. 227. Вевторное соле вблиСтем лучей и фронтов. Например, ио- ви то*он иного хвоста следование метаморфоз движущегося волнового фронта основано на результате, «двойственномг предыдущему: Т е о р е м а (1976). Гологиорфныв функции общего положения, разные О в «самой особойг точке фронта простой особенности, ло- довявлянив 1» вольно перееодятея друг в друга голоморфним диффеоморфигмом, сохраняющим фронт. П р к м е р.
В окрестности особой точки ласточкина хвоста функция общего положения сохраняющим хвост диффеоморфиамом приводится к нормальной форме а. Зта теорема — частный случай зквивариактной леммы Морса. Применяется она так. Мгновенные волновые фронты образуют в пространстве-времени «большой фронт». Время — функция в пространстве времени. Приводим ее к нормальной форме сохраняющим большой фронт диффеоморфизмом. Мы получили нормальную форму метаморфозы мгновенного фронта. Метаморфозы фронтов в Вз изображены на рис. 258.
Точно так же решается задача о метамор- А рве, 2»8. Твпвчвые перестрогвп во»вопия Еропюв фоэах каустик в однопараметрических семействах общего положения (рис. 255). Зто — задача о приведении к нормальной форме функции (времени) на пространстве — времени при помощи преобразования, сохраняющего ебольшую каустику». Если раамерность пространства-времени не превосходит четырех, большая каустика имеет лишь особенности типов А и Ю.
Каустики лагранжевых особенностей серии А отличаются от волновых фронтов серии А лишь сдвигом номера на единицу. Поэтому и метаморфозы каустик серии А — такие же, как у фронтов. Каустики серии Ю отличаются от фронтов. Нормальные формы функции времени общего положения в окрестности особенности каустики серии Ю найдены В. М.
Закалюкиным (1975). Топологические нормальные формы функции времеви особенно просты: осовзнности снствм лучей Здесь большая каустика Ц„ задается условиями: (Х: р (., Х) имеет вырожденную критическую точку), где Р(Я1 ).)=+ Ягэт«+ „— 1ЯГ+ р — 24 + +$«этт+ анке. Приведение ростка функции времени к нормальным формам осуществляется локальным гомеоморфизмом пространства Ко-г (О'-~), сохраняющим большую каустику и гладким всюду, кроме точки О (В.
И. Бахтин, Вестник МГУ.— 1987.— Вып. 4.— С. 58 — бт). Дж. Най (е . Р(уе, 1984) заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реалиауются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид «губе с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, по включение лагранжева или лежавдрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологнческие ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтонкана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гяперповерхностя. Диффеоморфизмам„сохраняющим фронт, отвечают векторные поля, касающиеся его.
Исследование этих полей приводит к своеобразной операции «сворачивания инвариантовз группы, порожденной отражениями. Паре инвариантов (функций на пространстве орбит) мы сопоставляем новый инвариант — скалярное произведение градиентов этих функций (поднятых с пространства орбит в исходное евклидова пространство). Линеаризация этой операции определяет билинейное симметрическое отображение кокасательного пространства к пространству орбит в себя.
Т е о р е м а ($979). Линеаригованное сворачивание инвариан«лов группы, тюрожденной отражениями, игоморфно, как билинейная операция, операции на локальной алгебре соответствующей особенности, заданной формулой (р, у) ~ Ю (р д), где 8 = Р + + (2/й) Е, дифференцирование Р— зйлерово кваеиоднородное, й— число Кокстера. 456 довхвлвнив ш В 1981 г. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
