В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Н. Варченко и А. Б. Гнвенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора нереального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевклидову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. П р и м е р.
Пространство многочленов нечетной степени со старшим козффициентом 1 и суммой корней О получает еще одну симплектическую структуру. Относительно этой структуры многообразие многочленов с максимально возможным числом двукратных корней окааывается лаграня~евым. При вырождении формы пересечений симплектическая структура заменяется пуассоновой (см.
добавление 13). Е. 'Гангенциалькые особенности. Первые привоя<ения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лея.андровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) мокше найти в книге: Арнольд В.
И., Варченко А.Н., Гусейн- 3 а д е С. М. Особенности дифферевцнруемых отображений. Т. 2: Монодромия и асимптотики интегралов.— М.: Наука, 1984, и в докладе: А р н о л ь д В. И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. Здесь обсуждаются другие приложения теорий лагранжевых и лежандровых особенностей — к исследованию взаимного расколол~ения проективного многообразия и касающихся его плоскостей различных размерностей.
К этим вопросам приводят как вариационные задачи с односторонними ограничениями (например, задача об обходе препятствия), так и исследование показателей крутизны Нехорошева невоамущенной функции Гамильтона (см. добавление 8). Рассмотрим поверхность общего положения в трехмерном проективном пространстве (рис. 259). Кривая параболических точек (р) делит поверхность на область эллиптических точек (е) и область гиперболических точек (Ь), где лежит еще кривая перегибов асимптотических линий Щ, с точками бнперегиба (Ь), самопересечения (с) и касания с параболической кривой (~).
осоввнности систкм лъчви 457 Из этой классификации выводится и оценка покааателей кривианы, и классификация проектирований: Т е о р е м а (О. А. Платнова и О. П. Щербак, 1981). Проектирование гладкой поверхности общего положения в КРг при любом выборе центра проектирования (не на пвверхнвстпи) локалыю эквивалентно в киж- е дай точке одному иг проектирований поверхностей г = 7 (х, у) прямыми, параллельными оси х, где 7' — одна иг 14 функций: Ь Ь х, х', х'+ ху, х' ~ хуг, хе + ху', хе + ху, хе + агу+ хуг, ~ ~у+ у, г „ггг к„г,„,а, хг .с хуе хл + хгу + хуг хл + ху тсчгг на пОВегхнссхи Здесь проектирование понимается как диаграмма У -~ Е -~ В, состоящая иэ вложения и проекции, а эквивалентность проектирований — как коммутатнвная 3 х 2-диаграмма, вертикали которой — диффеоморфиамы.
Проектирование из центра общего положения имеет особенностями лишь складки и сборки Уитни. Сборка появляется при проектировании вдоль асимптотяческого направления. Остальные особенности наблюдаеиы лишь иа некоторых точек. Конечность числа особенностей проектирований (и следовательно, числа особенностей видвмых контуров) ааранее не очевидна, так как множество неэквивалентных особенностей в общих трехпараметрических семействах отобраягений поверхностей на плоскость континуально.
Раэбиение пространства точек арения на области, иэ которых поверхность общего положения выглядит по-равному, и соответствующие виды ростка поверхности изображены на рис. 260 (для наиболее сложных случаев). Иерархия касательных становится понятнее, если переформулировать ее в терминах симплектической и контактной геометрии.
Р.Мельроэ (1976) ааметил, что касательные к поверхности лучи описываются парой пшерповерхностей в симплектическом фааовом пространстве: одна, рг = 1, определяет метрику, а другая— поверхность (стр. 439). Значительная часть геометрии асимцтотических может быть. переформулирована в терминах этой пары.
Тем самым мы переносим, понятия геометрии поверхностей на общий случай любой пары гиперповерхностей симплектического пространства и можем испольэовать геометрическую интуицию, накопленную в теории поверхностей, для исследования общих вариационных аадач с односторонними фавовыми ограничениями. Пусть У и 2 — гиперповерхности в симплектическом пространстве Х, трансверсально пересекающиеся по подмногообрааию И'. Осоввнностн снсткм пучки 459 Проектируя У н Х на их многообрааия характеристик П, У,получаем шестиугольную диаграмму: в которой Х вЂ” общее многообрааие особых точек проекций И' наУина У. П р и м е р. Х = (<7, р) — фааовое пространство свободной частицы в евклидовом пространстве (д — положение частицы, р — импульс); У вЂ” мяогообрааие ортов (рв = 1); Я вЂ” многообразие краевых векторов (<7 принадлея<ит гицерповерхности Г) Тогда 0 — многообразие лучей, У вЂ” многообрааие касательных векторов Г, И' — многообрааие краевых ортов, Х вЂ” многообрааие касательных ортов.
Если касательный орт не асимптотический„то особенности обоих проектирований И' — <- <7 и И' — ~ У в его окрестности — складки. Каждая ив них определяет на И'инволюцню, неподвижную на Х. П р и м е р. На многообрааии краевых ортов выпуклой плоской кривой уу' вовникают две инволюции, о и т (рис. 261).
Их прои введение — бильярдное преобравование Биркгофа (1927). Используя пары ипволЮций, Мельроз рие. де<. вилвлрдиее лренашел локальную нормальную форму па- иие двух иююлюциа ры гиперповерхностей симплектического пространства в описанной ситуации (в С"'-постановке, так как в аналитическом случае ряды расходятся, как в теориях Экаля (1975) и Воровина (1981) реаонансных динамических систем). Для более сложных особенностей (например, вблиаи асимптотического орта) пара гиперповерхностей имеет модули.
Для двух следующих аа складкой особенностей моя<но привести (по меньшей мере формально) к нормальной форме пару (первая гиперповерхность; след второй на ней). Это поаволяет научить особенности отобран<ения, сопоставляющего краевому орту определяемый им луч в окрестности асимптотического и биасимптотяческого ортов.
Критические значения етого отображения в симплектическое пространство прямых описывает довявленне 1г Т е о р е м а (1981). Все симплектические апруктуры общего положения в окрестности точки прямого произведения ласпючкина хвоста на линейное пространство формалыю диффеоморфны. Ибо вблизи биасимптотического луча многообразие касательных лучей локально диффеоморфно произведению ласточкина хвоста на прямую. Ж. Задача об обходе препятствия. Рассмотрим в евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Задача об обходе препятствия состоит в исследовании особенностей кратчайшего расстояния от переменной точки пространства до фиксированного начального множества в обход препятствия. (См.
Гивенталь Л. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения П Современные проблемы математики. Новейшее достижения. — 1988.— Т. 33, ВИНИТИ. С. 55 — 112). Кратчайший путь состоит иэ отрезков прямых и отрезков гео.дезических на поверхности препятствия (рис. 262). Рассмотрим .поэтому систему геодезических на поверхности препятствия, ортогональных фиксированному фронту.
Система всех лучей, касательных к этим геодезическим,— лагранжево подмногообразне в симплектическом многообразии прямых (как ивсякая системаэкстремалей решения вариационной задачи). Но если в обычных вариационных задазяся зг пзы я чах лагранжево многообразие гладко (даже в присутствии каустик), то в за.даче об обходе препятствия само лагранжево многообразие имеет особенности. Из последней теоремы вытекает С л е д с т в и е (1981). Лагранжево мноеообразие в задаче об .обходе препятствия общего положения имеет ребро возврата полу- .кубического типа вблизи осимптотического луча и особенность, диффеоморфную раскрытому лаппочкину хвосту, вблизи биасимпто.тического.
Раскрытый ласточкин хвост — это поверхность в четырехмерном пространстве многочленов хе + Ахз+ Вяз+ Сх+ Ю, образованная многочленами с трехкратными корнями. Дифференцирование мяогочленов отображает раскрытый ласточкин хвост в обычныи; при раскрывании ласточкина хвоста ребро возврата сохраняется, а самопересеченне исчезает (рис. 263). Т е о р е м а (1981). При движении волнового фронта общего положения ребра возврата мгновенных фронпюв заметают раскрытый ласточкин хвост в четырехмерном пространстве-времени (над обычным лаапочкиным хвостом каустики). Т е о р е м а (О.
П. Щербак, 1982). Рассмотрим общее однопараметрическое семейство пространственных кривых и предположим, что при некотором значении параметра (времени) одна и» кривых Осоввнностн систем лтчей 461 имеет точку биуплои(гнил (типа вт, вв, вв). Тогда проективно двойственные кривые образуют в пространстве-времени поверхность, локально ди4феаиор~бную раскрытому лаппочкину хвосту. Раскрытый хвост — первый представитель большой серии особенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
