В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 103
Текст из файла (страница 103)
При столкновениях солитонов наблюдается довольно сложное нелинейное взаимодействие. Однако численный эксперимент показал, что размеры и скорости полигонов не меняются в результате столкновения. Это обстоятельство навело на мысль о законах сохранения.
И действительно, Крускалу, Эабусскому, Лаксу, Гарднеру, Грину и Миуре удалось найти целую серию первых интегралов для уравнения Кортевега — де Фриза. Этн' интегралы имеют вид 1, = ) Р, (и,..., исю) Их," где Р, — многочлен.' Например, легко проверить, что первыми интегралами уравнения (1) являются 1 г = ~ и Йх, 1» = ~ и«дх, 1» = ~ ~-й — + и») Их, 1и' 1,= ~ ~ —" — — и'и'+ — и«) Их. Появление бесконечной серии первых интегралов легко объясняется следующей теоремой Лакса ««). Будем обоаначать оператор умножения на функцию от х знаком этой функции, а оператор дифференцирования по х — символом д.
Рассмотрим аависящий от функции и (х) оператор Штурма — Лиувилля 1 = — д«+ и. Непосредственно проверяется Т е о р е м а. Уравнение Корте«в»а — де Фриза (1) эквивалентно уравнению и = [Ь, А), еде А = 48» — 3 (ид + ди). «) Ура»певи« Корт«вега — де Фриза является уравнением Эйлера для геодезического потока (ср. добавление 2). Состсстствующзя бсскопечпомеркап группа па»ываетсп группой Впрассо и является одномерным центральным распщревпсм группы диффсоморамов окружясстп.
См. Овсиенко В. Ю., Хесин Б. А. Суперуравиевпе Корт«вега — дс Фриза как уравкспке Эйлера/~ Фупкц. »палм» и его прплож.— 1987.— Т. 21. пып. 4.— С. 81 — 82. «2) Л а к с Н. Д. Интегралы»волюцпсппых уравнений и уедппеппые возпы П Математика.— 1969.— Т. 13, )м 5.— С. 128 — 150. уРАВнение когтевегя — де ФРизА 467 Из этой теоремы Лакея непосредственно вытекает С л е д с т в и е. Операторы Ь, построенные по решению уравнения (1), при всех 1 унитарна эквивалентны; в частности, каждое из собапвенных чисел Х задачи Штурма — Лиувилля Ц = Ц с нулевыми усаовиями на бесконечности является первым интегралом уравнения Кортевега — де Фриза.
В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев ааметяли,что уравнение (1) является вполне интегрируемой бесконечномерной гамильтоновой системой, и указали соответствующие переменные действие— угол *). Сшшлектическая структура в пространстве убывающих на бесконечности фунгщий и (х) задается кососкалярным проивве- 1 Г денисы го~ (дю, до) = — дт (ю дс — о ди) г]х, а гвмильтонианом уравнения (1) является интеграл 1Р Иными словами, уравнение (1) записывается в виде уравнения Гамильтона в функциональном й 57д пространстве функций от х, й = — —.
ах би Каждый интеграл 7, задает таким же образом «высшее ураза 57. пение Кортевега — де Фриза» й = ]',), (и], гдето, = — — ' — полинам от и, и',..., иы+г. ИнтегРалы 1е находЯтсЯ в инволюции, и соответствующие им потоки в функциональном пространстве коммутируют, Явный вид полиномов Р, и Дю а также явный вид переменных действие — угол (и, следовательно, решений уравнения (1)), описывается в терминах решения прямой и обратной задач теории рассеяния на потенциале и. Явный вид,полиномов 17е можно получить также иэ следующей теоремы Гарднера, обобщающей теорему Лаков. Рассмотрим в пространстве функций от х дифференциальный оператор вида А = Хрсд™ ', где ре = 1, а остальные коаффвциенты р« — многочяены от и и производных и по х. Оказывается, для каждо«о е сущестеует такой окератор А порядка 2» + 1, «тоссо коммутатор с онер«тором дутурма — Лиуеилля А есть онератср умножения на 1дУнкцинс (7, А ] = (7е.
Оператор А, определяется выписанныыи условиями однозначно с точностью до добавления линейной комбинации Аг с г ( е; тем самым и много- члены Я, от и и от производных и определены с точностью до прибавления линейной комбинации предыдущих (7г. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, Л. Д. Фаддеев и другие исследовали с помощью приема Лакса и техники обратной задачи теории рассеяния целый ряд физических важных уравнений, в том числе уравнения ии — и„„= зш и, ]фс + фкс ~ ф ] ф ]' = О.
Исследование аадачи с периодическими граничными условиями для уравнения Кортевега — де Фриза привело С. П. Новикова**) ь) 3 ах а р о в В. Е., Ф адд ее в Л. Д. Уравнение Кортевега — де Фриаа — вполне интегрируемая гамильтонова система Л Функциональный алалнэ и его приложения.— 1971.— Т. 5, 76 4.— С. 18 — 27.
сь) Н о в и к о в С. П. Периодическая задача для уравнения Нортевега — де Фриза, 1 Л Функциональный анализ и его приложеаия. — 1974. — Т. 8, дй 3.— С. 54 — 66. доБАВлкннн $е к открытию интересного класса вполне интегрируемых систем с конечным числом степеней свободы. Эти системы строятся следующим образом. Рассмотрим какую-либо конечную линейную комбинацию первых интегралов 1 = Яс,1„„и пусть ср — — 1.
Множество стационарных точек потока с гамильтонианом 1 в функциональном пространстве инвариантно относительно фазовых потоков с гамильтонианами 1„в частности относительно фазового потока уравнения (т). С другой стороны, зти стационарные точки определяются из д Ы Ы уравнения — — = О, нли — = д. Последнее уравнение предНх ои * Ьи ставляет собой уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала 1 — И „включающего п-е пронаводные. Следовательно, оно имеет порядок 2п и может быть записано как система уравнений Рамиль- тона в 2п-мерном евклидовом пространстве.
Окааывается, получающаяся гамильтонова система с и степенями свободы имеет и интегралов в инволюции и может быть полностью проинтегрирована с помощью подходящих координат действие — угол. Таким образом получается конечномерное семейство частных решений уравнения Кортевега — де Фриза, зависящее от Зп + т параметров (2к фазовых координат и еще и + т параметр с» ..., с„; д). Найденные решения обладают, как показал Новиков, замечательными свойствами: например, в периодической задаче онн задают функции и (х), для которых линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами — Х" + и (х) Х = = ьХ имеет конечное число зон параметрического реаонанса (см. т' 25) на оси Х. Обаоры современного состояния теории интегрируемых систем опубликованы в серии «Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления», т. 4 (М.: ВИНИТИ, $985) и т. 16 (М: ВИНИТИ, т987) Б. А. Дубровиным, И. М. Кричевером, С. П. Новиковым, М. А. Ольшанецким, А. М. Переломовым, М. А. Семеновым-Тян-Шанским, В. В. Трофимовым и А. Т. Фоменко. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебра Ли 181, 284 285 — — вевторвых полей 184 — — группы Ли 186 — — первых интегралов 190 — — фувнцан Гамильтона 187, 190 Апоцентр 36 Атлас 72 — симплентическид 201 Атласы эквивалентные 72 Базис свзшлентическид 192 — ерматово.ортонормировавныд 309 Биения 97, ЯВ Вариации 53 Вектор касательный к многообразны 74, 75 — «окасателькыд к многосбрааюо 178 — Лапласа ЗВ! — Пуассона З45 — формы иулевод 206 — характериетнческид 335 Векторы нососргоговальаые 192 Вихрь двумерного поля скоростеД ЗОО Волчок быстро еапущенвмВ 146 — быстрыд !М вЂ” Лагранжа 132 — Ыз ЧЫ81З — щд 136 Вразцение 112 — пеРеносное 113 — Равномерное 113 — стационарное 129, ЗЯЗ Время 13 Гамильтовиав кведратичныд 347 — —, собственные числа 348 Гвперплосность контактная 320 Гомологии 174 Граница цепи 182 Г!мфкк отображения 15 Группа галилеева 13 — дифбмомсрбпымов однопараметрическая 25, 182 — Ли 186, 284 — ортогональная 197 — параллельньщ переносов 12 — сиюзсентнческая 183 — стационарная 241 — ушпарная 197 Двяжение в НИ 14 — в галилеевой системе координат 15 — в лагранжевод свсземе 77 — в подвижной системе взсрдинат 111 — в пыггральном поле 32.
58 — поступательное 112 — условно-периодическое 2М, 381 Действие 57 едетвие группы Ли пуаесснсвское 339 иеергсвция 165 Диффеоморфлем 25 —, гомолопзчныд тоиществевному 387 — контактныд 325 Дифференциал фувкшвнала 53 Ф а путя оптическая 220 ополкение косоортегональное !92 унеогкость системы 99 Задача двух тел 49 — Кеплера 39 — трех тел 20 — — — ограниченная 383 Закан Кеплера вторсн 33, 34, 40 — — первмн 49 — — третий 40 — сохранения изшульса 45 — — кинетического момента ЗЗ, 34, 42, 46, 47 — — цириулзщид 298 — — енергии 21, 26, 42, 47 — 49, 181 Иеотропвоеть прсстрансыж 17 Импульс 45 — обобщенвыд 57 Инвариант аднабатичеснид 262, 283, 380, 381 — ввтегральныд 179 — — отиосительныд 186 — — — Иуанкаре 209 — — Луанкаре — Вартана 203 Икволвтввкссть 60 Инволюцня Лежандра 332 Индекс Маслова 411 — 413 — Морса 410, 411, 4!3 Индикатриса 2!В Интеграл формы по цени 163 Ивтегрированве дифферешпыльвых форм 158 Карта 72 Карты совместные 72 Каустика 407.
408, 417, 449 Нвадрики койфокальнне 436 Класс когозюлогид алгебры Ли 339 Клетки жордановы 348 — — веустравимые 349 Когомологии 173, 339 Нолебавия малые 88 — собственные 95 — фаеовые 364 Коллчество двяженин 45 Коммутатор 181, 184 — Ли 186 Нонтааччыация свмплектвчесвио многообразна 335 ио ПРКДМЕТНЫН УКАЗАТКЛЬ Ноординвты сбобнгенные 57 — циклические 58 64 — Оллиптическиб 1>37 КОРеаиббнссп иногообрааин 395 Ноцвлл алгебры Ли лаукерямй 339 Кривая 15 — фааовая 22 Призвана римавова 268, 269 — — по двумерному направленкю 272 Кривые эквивалентные 75 Лагренжнан 57 Лемма Пуанкаре 172 — Стокса 205 — многомерная 207 Лиаеарввацвн 91, 92 Линии нкхревые 205 — ~ютопа 205, 207 Линия мировая 15 Луч 220 Масса 20 Маятник >Руко 118 Мацлательность фронта нормальнан 220, 223 Метрика келерова 313 — рвианова 78 — — леаоинвариантная 287 — — правоинаарнантвая 295 Мкр 1З Многсобраеке клон>еш>ое 74 — днффермпшруемое 72, тз — нелерово 313 — лагракжево 409, 448 — —, порожденное триадой 461 — лежандрово 331 — параллелнауемое 121 — пуассоново 422 — пиманова 78 — свяаиое 73 — снмплектаческое 175, 427 Многочле» гнперболнческвй 442 — тгебышева 29 Множество еллвпсовдов вращения 894 Момент 340 — вектора отлов>пельно оси 43 — — — точки ЗЗ вЂ” инерции относятельно осн 123 — кинетический 32, 46, 289 — количества движения 32 Направленяе СоцряженНОЕ 221 Невесомость 116 Неравенство Юнга 60 Ну цю 135.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
