В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 97
Текст из файла (страница 97)
е. является поверхностью уровни гамильтониана свободной частицы), гиперповерхность 2 образована всеми векторами, приложенными в точках изучаемой поверхности в К". В этом случае В есть многообрааие всех ориентированных прямых евклидова пространства, а Х вЂ” многообрааие касательных ортов. Отобраясеняе Х -я В сопоставляет касательному орту содержащую его касательную прямую. Многообразие С есть пространство (ко)касательного расслоения изучаемой поверхности. Х -я С— вложение в зто пространство пространства расслоения единичных сфер (в иных терминах влоксение гиперповерхности уровня кинетической энергии, т. е.
гамильтониана движения со свяаями). Приведенную выже диаграмму всегда полезно иметь в виду при исследовании свяаей в симплектической геометрии. Продолясение доказательства теоремы 3. Предположим, что в евклидовом (конфигурационном) пространстве аадана гладкая функция и что ограничение атой функции на некоторую прямую имеет невырожденную критическую точку.
В таком случае такая же критическая точка (точка касания прямой с поверхностью уровня функции) будет и на любой близкой прямой. Значение функции в критической точке является, таким образом, функцией от прямой. Назовем эту функцию прямой индуцированнвй (из исходной функции точки). Л ем м а В. Если функции точек евклидова пространства таковы, чяю плоскости, касающиеся их поверхностей уровня в точках касания некоторой прямой е этими поверхностями *), ортогвнвльны, то скобка Пуассона индуцированных функций обращается в нуль в точке, являющейся расс триваемой прямой. До к а з а т ел ьс т во л ем мы В.
Вычислим проиаводную второй индуцированной функции вдоль фазового потока, заданного первой, как функцией Гамильтона. Фазовые кривые, заданные первой индуцированной функцией на ее поверхности уровня, являются характеристиками этой поверхности. Поверхность уровня первой индуцированной функции состоит из всех прямых, касающихся фиксированного многообразия уровня первой функции точки.
Каждая характеристика атого многообразия прямых, по лемме А, состоит из прямых, касающихся одной геодезической многообразия уровня первой функции точки. Я) Точка касания, вообще говоря, своя дия каждой функции. ОБ ЭЛЛНПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 441 При бесконечно малом сдвиге точки по геодезической поверхности касательная к геодезической прямая (с точностью до малых высшего порядка) поворачивается в плоскости исходной касательной и нормали к поверхности.
По условию, касательная плоскость к поверхности уровня второй функции в точке касания атой поверхности с нашей прямой перпендикулярна касательной плоскости поверхности уровня первой функции. Поэтому при указанном выше бесконечно малом повороте прямая сохранит касание с той же самой поверхностью уровня второй функции (с точностью до малых высшего порядка). Следовательно, скорость изменения второй индуцированной функции под действием фазового потока, заданного первой, обращается в нуль в изучаемой точке пространства прямых, что и доказывает лемму В. Окончание доказательства теоремы 3. Зафиксируем прямую общего положения в К".
По теореме 2 она касается и — 1 квадрик конфокального семейства в и — 1-й точке. Построим в окрестности каждой из этих точек гладкую функцию, без критических точек, поверхности уровня которой — квадрики напето конфокального семейства. Зафиксируем одну из этих квадрик (гпервуюг) и рассмотрим уравнения Гамильтона в пространстве прямых, функцией Гамильтона которых является первая индуцированная функция прямой, Каждая фазовая кривая на фиксированной поверхности уровня функции Гамильтона состоит из касательных прямых одной геодезической квадрики (лемма А). Остальные индуцированяые функции имеют с этой функцией нулевую скобку Пуассона по лемме В (ибо плоскости, касающиеся конфокальных друг другу поверхностей в точках одной прямой, ортогональны по теореме 2).
Итак, все индуцированные функции суть первые интегралы системы, функцией Гамильтона которой является любая из них. Поскольку фазовые кривые этой системы — касательные к одной геодезической первой поверхности, все индуцированные функции принимают на всех зтнх касательных постоянные (не зависящие от точки геодезической) значения. Отсюда вытекает как теорема 3, так и Т е о р е и а 4. Геодезический поток на угнтральнай поверхности второй степени в гвклидовом пространстве — вполне интегрируемая по Лиувиллю система (имеющая спюлько независимых интегралов в инволюиии, каково число степеней свободы).
3 а м е ч а ни е. Строго говоря, мы доказали теорему 3 лишь для прямых общего положения, но результат по непрерывности легко распространяется на исключительные случаи (в частности, на асимптотические прямые нюпихквадрик). Точно так же теорема 4 доказана для поверхностей с неравными главными осями, но предельным переходом распространяется на более симметричные квадрики вращения (а также на нецентральные, «параболоидьв>). дОБАВление гг В. Магнитные аналоги теорем Ньютона и Айвори. Эллиптические координаты позволяют распространить известные теоремы Ньютона о притяжении сфер на случай притяжения эллипсоидов. О п р е д е л е н и е.
Гомеоидной плотносгпью на поверхности эллипсоида нааывается плотность слоя между данным и бесконечно близким к нему гомотетичным эллипсоидом с тем же центром. Те о р ем а Ай в о р и. Конечная масса, распределенная яо поверхности гллипсоида с гомеоидной плотностью, не притягивает внутренние точки, а внешние точки притягивает так же, как такая же масса, распределенная с гомеоидной плотностью по поверхности меньшего конфокального гллипсоида. Здесь притяжение определяется законом Ньютона или Кулона: в и-мерном пространстве сила пропорциональна гг (как предписывает фундаментальное решение уравнения Лапласа). Теорема Ньютона о притяжении внутренних точек переносится на случай гиперболических гомеоидных слоев и на случай притаженпя массой, распределенной по гнперповерхности уровня гиперболического многочлена любой степени.
[Многочлен степени 'т, ~ (х„..., х„) называется гиперболическим (относительно точки О), если его ограничение на любую прямую, проходящую череа О, имеет лишь действительные корни. Гомеоидная плотность ааряда на гиперповерхности ~ = О определяется как плотность однородного бесконечно тонкого слоя между гиперповерхностями ~ = О н ~ = е-+ О (знаки зарядов выбираются так, чтобы последовательные овалоиды были заряжены противоположно).
Гомеоидный заряд не притягивает точку О (и все точки внутри самого внутреннего овалоида), и гто свойство заряда сохраняется, если умножить его плотность на любой многочлен степени т — 2. О б о б щ е н и е: если умножить гомеоидную плотность заряда на любой многочлен степени т — 2 + г, то потенциал такого заряда внутри самого внутреннего оволоида будет гармоническим многочленом степени г (А. Б. Гивенталь, 1983). Производные потенциала высокого порядка алгебраичны и в следующих областях (В. А.
Васильев, 1989) при п=2]. При попьпке перенести на гиперболоиды теоремы Айвори о притяжении конфокальными эллипсоидальнымн слоями выяснилось, что существенную роль играет топология гиперболоида. При переходе к гиперболоидам различных сигнатур вместо гомеоидных плотностей следует рассматривать гармонические на гиперболоидах дифференциальные формы рааличных степеней, а вместо ньютоновского или кулоновского потенциала — соответствующим образом обобщенные потенциалы аакона Био — Савара. В простейшем нетривиальном случае однополостного гиперболоида в трехмерном евклндовом пространстве результаты состоят в следующем.
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 443 Гиперболоид делит пространство на две части: «внутреннюю» и «внешнюю» (неодносвяаную). Рассмотрим линии эллиптических координат, поверхности уровня которых — квадрики, конфокальные данному гиперболоиду. Линии эллиптических коордияат на нашем гиперболоиде, получающиеся пересечением его с эллипсоидами (замкнутые линии кривизны гиперболоида), назовем параллелями гиперболоида.
Перпендикулярные им линии пересечения с двуполостяыми гиперболоидами назовем меридианами. Хотя эллиптические координаты и имеют особенности (на всех плоскостях симметрии квадрик семейства), гиперболоид гладко расслоен на параллели (диффеоморфные окружностям) и меридианы (диффеоморфвые прямым). Область внутри трубы гиперболоида также гладко расслоена на меридианы (ортогональные конфокальным зллипсоидам семейства), а кольцевая область вне гиперболоида — на параллели (ортогональные двуполостным гиперболоидам).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
