В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Это преобразование, по аналогии с преобразованием Фурье, можно назвать преобразованием Якоби: исходной функции сопоставляется функция, выражающая зависимость континуальной эллиптической координаты от ее номера (т. е. номера на оси спектрального параметра).
Вероятно, исследование функционально-аналитических свойств прямого и обратного преобразований Якоби — дело не слишком далекого будущего. Наряду с общей теорией эллиптических координат ниже обсуждаются некоторые нх применения в теории потенциала. Настоящее дополнение основано на статье автора «Несколько замечаний об влликтических координатах», в посвкщенной 50-летию Л. Д. Фаддеева нкв»е «Записки научных семинаров ЛОМИ» (Лл Ивд-во ЛОМИ.— 1984.— Т. 133.— С. 38 — 50) и докладах автора «Интегрируемые гамильтоновы системы, свкванные с квадриками (по Ю.
Мозеру)» (УМН.— 1979.— Т. 34, выл. 5.— С. 214); «8оше а)йеЬ»о-йеоше«г)са1 аарес«» о1 «Ье )Чем«оп вегаса!оп «Ьеогу» (в книге: Ргой»евв ш Ма«Ь»ша«1«».— Вовк»п«1 В1»ЬЬаоеег, 1983.— 436 ДОБАВЛЕНИЕ 14 У. 36 (1. В. 8Ьа(агеч1сЬ чо1пше, р. 1 — 4)); «Магввтнме аналоги теорем Ньютона н Айвори» (УМН.— 1983.— Т. 38, вмп. 5. — С. 145 — 146). Дальнейшие подробности по поводу упомвнутмх в дополнении реечльгатов моною найти в работах: М е ) г о е е В. В. Епшча)енсе о1 3)апсшу Ьурегеиг1асее // 1пчепг. МатЬ.— 1976.— У. 37.— Р.
165 — 191; М о е е р Ю. 11екоторые аспекты интегрируемых гемнльтоновых систем// УМН.— 1981.— Т. 36, вып. 5.— С. 109 — 151; А р н о л ь д В. И. Лагранжевы. многообраеня с особенностями, вснмптотвческие лучи н раскрытый ласточкин хвост д Функциональный аналне и его приложения.— 1981.— Т. 15, йй 4.— С. 1 — 14; А р н о л ь д В. И. Особеввостл в варнацновном исчислении // Итоги науки.
Современные проблемы метематвкн.— М.: ВИНИТИ.— 1983.— Т. 22. — С. 3 — 55; Г на е н т а л ь А. Б. Полпномнальность влектростатнческнх иотевпвалов // УМН.— 1984.— Т. 39, вып. 5.— С. 253, 254; А р н о л ь д В. И. 0 ньютоновском потенциале гиперболических слоев //Труды Тбилисского уввверснтега.— 1982.— Т.232 — 233. С. 23 — 28; Вайнштейн А.Д., Шапиро Б.З. Многомерные аналоги теоремы Ньютона и Айвори // Функцноиальвмй анализ н его прнложевня.— 1984.— Т. 18, г4 4. А. Эллиптические координаты и конфокальные квадрнки. Эллиптические координаты в евклндовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т.
е. иа теории главных осей эллипсоидов или на теории малых колебаний) переходом в солряясеяное пространство. О п р е дел ен и е 1. Евклидоеым лучком кеадрик (соответственно квадратичных форм) в евклидовом векторном пространстве $' называется однопараметрическое семейство поверхностей второй степени 2 (Аьв,ж)=1 1 (соответственно форм Ах), где Ах=А — ХЕ и А — симметрический оператор: А: У-+ Уе, А*=А. О п р е д е л е н и е 2.
Ком(бокальным семейсгпеом квадрик в евклидовом пространстве навывается семейство квадрик, двойственных квадрикам одного евклидова пучка (квадрик в пространстве, двойственном рассматриваемому): (Х$з)= Таким обравом, конфокальные друг другу квадрики обрвауют однопараметрическое семейство, но от параметра квадратичная форма семейства зависит уже не линейно.
П р и м е р. Плоские кривые, конфокапьные фиксированному эллипсу,— это все эллипсы и гиперболы с теми же фокусами. 422 ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНЯТЯХ На рис. 248 слева изображены кривые одного конфокального. семейства, а справа — кривые соответствующего евклидова пучка. Эллиптическими координатами точки называются аначения параметра Х, которым соответствуют проходящие через эту точку квадрики фиксированного семейства конфокальных квадрик. Зафиксируем в евклидовом пространстве эллипсоид, все оси которого имеют неравные длины. Т е о р е м а 1 (Якоби). Чсрсв каждую точку п-мерного евклидова пространства проходит и квадрик, конуюкальных выбранному зллипсоиду. Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под прямыми углами.
Д о к а а а т е л ь с т в о. Отличная от О точка пространства соответствует в двойственном пространстве аффинной гнперплоскости: последняя состоит из линейных форм, равных 1 в этой точке, Рис. ыг. Ксевсыоиып сгигастго г тгггяов В терминах двойственного пространства теорема 1 оаначает, что всякая гиперплоскость, не проходящая через О в и-мерном евклидовом пространстве, касается ровно и квадрик евклидова пучка, причем векторы, ведущие из О в точки касания, попарно ортогональны (рис.
243 справа). Доказательство указанного свойства евклидова пучка основано на том, что эти векторы определяют главные оси подходящей 1 1 квадратичной формы, а именно формы В = — (Аж, гс) — — (1, м)в, где (1, ж) = 1 — уравнение рассматриваемой гиперплоскости. В самом деле, на главной оси любой квадратичной формы В, отвечающей собственному числу Х, форма  — яВ обращается в О вместе со своим градиентом. Обращение в О самой атой формы в точке пересечения главной оси с гиперплоскостью означает, что 1 точка пересечения лежит на квадрике — (Аьм, м) = 1, а обращение в О градиента оаначает, что квадрика в атой точке касается гиперплоскости. Т е о р е и а 2 (Павля).
Общая прямая в и-мсрном свклидовом пространстве касается и — 1-й рагличной квадрики семейства кон- довлвлвние 14 лбокальних квадрик, причем плоскости, касающиеся каждая своей квадрики в точке ее касания с прямой, попарно ортогональни. Д о к а а а т е л ь с т в о.
Спроектируем квадрики конфокаль.ного семейства пучком параллельных прямых на перпендикулярную пучку гиперплоскость. Каждая квадрика определяет видимый контур (множество критических значений проектирования квадрики). Для направления проектирования общего положения видимые контуры квадрик — это поверхности второй степени в гиперплоскостк — образе проектирования. Л е м и а. Видизазе контуры квадрик конЯокального семейства сами образуют конфокальное семейство квадрик. Д о к а э а т е л ь с т в о. Переход к двойственяьгм объектам превращает сечения в проекции, а проекции в сечения.
Видимые контуры проектирования конфокальных квадрик пучком параллельных прямых двойственны поэтому сечениям двойственных квадрик проходящей через нуль гиперплоскостью. Но сечения квадрик евклидова пучка гиперплоскостью, проходящей через О, образуют евклидов пучок квадрик в атой гиперплоскости. По двойственности отсюда следует лемма. Применим доказанную лемму к проектированию вдоль прямой, о которой идет речь в теореме 2.
По лемме видимые контуры проектирования конфокальных квадрик теоремы 2 образуют конфокальное семейство квадрик в пшерплоскости. По теореме $ эти видимые контуры пересекаются под прямыми углами. Это доказывает тео,рему 2. Т е о р е м а 3 (Якоби и Шаля). Касательные прямые к геодезической линии квадрики в и-мерном пространстве, проведенные во всех точках геодезичетой, касаются, кроме втой квадрики, еще и — 2-х кон4окольных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек «оде«огеской. Начало доказательства.
Рассмотрим многообразие ориентированных прямых евклидова пространства. Это многообразие имеет естественную симплектическую структуру, как многообразие характеристик пшерповерхности рг = т в фазовом пространстве свободной частицы, движущейся по инерции в нашем евклидовом пространстве. (Характеристика на гиперповерхности в симплектическом многообразии — это интегральная кривая полн характеристических направлений, т. е„поля косоортогональных дополнений и касательной плоскости гиперповерхности.
Иными словами, характеристика гиперповерхности — это лежащая на этой гиперповерхности фаэовая кривая уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона, имеющей на этой гиперповерхности нуль первого порядка. Симплектическая структура многообразия характеристик гиперповерхности симплектического многообразия определяется тем, что кососкалнрное произведение любых двух векторов, ка- ок эллиптических коогдинятях 439' сающихся гиперповерхности в исходном симплектическом многообрааии, равно кососкалярному произведению их проекций на.
многообразие характеристик). Л е и ма А. Каждая характеристика многообр я всех прямых, касающихся заданной сиперповерхности в евклидовом пространстве, состоит из касательных прямых одной геодезической гиперповерхности (во всех точких геодезической). Доказательство леммы А. Здесь мы для краткости отождествим кокасательные векторы евклидова пространства с касательными при помощи евклидовой структуры, так чтоисходное фаэовое пространство будем представлять себе как пространство векторов, приложенных в точках евклидова пространства (нмпульсы отождествляем со скоростями). Орты, приложенные. в точках рассматриваемой гиперповерхности и касающиеся ее, образуют в фазовом пространстве подмногообраэие нечетной кораамерности (равной 3).
Характеристики этого подмногообраэип определяют геодезический поток на рассматриваемой гиперповерхности. Отображение, сопоставляющее вектору прямую, на которой он леясит, переводит укааанное подмногообрааие кораэмерности 3 в многообразие касательных прнмых гиперповерхностн. При этом отображении характеристики переходят в харакхеристикю (по определению симплектической структуры пространства прямых). Это доказывает лемму. 3 а м е ч а н и е. Проведенное рассуждение легко обоб1цается на следующую общую ситуацию, впервые рассмотренную Мельроэом. Пусть У, Я вЂ” пара гиперповерхностей в симплектическоы многообразии Х, трансверсально пересекающихся по подмногообраэию И».
Рассмотрим многообраэия характеристик В и С гиперповерхностей У и Я вместе с каноническими расслоениями на характеристики, У -~ В и Е -+ С; многообразия В и С наследуют иэ Х симплектическне структуры. В пересечении И' выделяется еще гиперповерхность (кораэмерности 3 в Х), в точках которой ограничение симплектической структуры Х на И' вырождается. Эту гнперповерхность л' в И' можно также определить как множество критических точек сквозного отображения И»с У ~ В (или, по желанию, И»С. Я-+ С).
Введенные объекты образуют коммутативную диаграмму: довлвленик 14 Аналог леммы А в этой ситуации утверясдает, что характеристики на образах отображений Х -+ В и Х вЂ” С являются образами одних и тех же кривых на Х (а именно — характеристик подмногообразия Х симплектического многообразия Х). Сама лемма А получается иа этого утверждения в частном случае, когда Х = Кз" — фазовое пространство свободной частицы в К", гиперповерхность 1' образована ортами (задается условием рс = 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
