В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Таким образом, листы— пуассоновы стэуктугы гладкие многообразия, но они, вообще говоря, не аамкнуты и имеют различные раамерности. Классический (явно указанный С. Ли, 1890, но по существу рассматривавшийся уже Якоби) пример пуассонова многообрааия — дуальное пространство (конечномерной) алгебры Ли. Элементы самой алгебры можно рассматривать как линейные функции на этом пространстве. Пуассонова структура определяется как продолжение структуры алгебры Ли с этого конечномерного подпространства пространства гладких функций (на дуальном исходной алгебре Ли пространстве) на все пространство гладких функций. Такое продолжение существует и единственно: если ы», о>„— базис исходной алгебры Ли, то (ве Ь)гоевеп = Х (да(дсе;) (дЫдюу) (о)гз о)~)ые В этом примере листы — орбиты коприсоединенного представления группы Лн в дуальном к ее алгебре пространстве.
Каждый лист пуассонова многообразия имеет еппественную еимтиелтичесвую структуру (аамкнутую невырожденную на листе 2-форму). Эта форма определяется так. Рассмотрим два вектора гамильтоновых полей, приложенные в одной точке листа. Значение 2-формы на атой паре векторов определяется как значение скобки Пуассона их функций Гамильтона в указанной точке (ато аначение не зависит от выбора функций Гамильтона, но лишь от векторов). Замкнутость формы на листе следует нз тождества Якоби, невырожденность — из равенства нулю вектора, вдоль которого производная любой функции равна нулю.
Фазовые потоки гамильтоновых полей сохраняют сиьшлектическне формы лис тов. Таким образом, листы пуассонова многообразия четномерны, и его можно рассматривать как объединение симплектических многообразий (вообще разных размерностей), симплектические структуры которых согласованы условием гладкости объединяющей скобки Пуассона. Например, на орбитах коприсоединенного представления группы 80(3) (сферах с центром в нуле) можно выбрать согласованные локальные координаты Дарбу: в окрестности ненулевой точки структура Пуассона в подходящих локальных координатах принимает вид (х, у) = 1, (х, г) = (у, з) = О. Эта нормальная форма структуры Пуассона пространства моментов полеана для исключения уала в задаче многих тел (см.
п. 5 з 5 гл. Н1 в статье: А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической небесной механике О УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6). Якоби заметил, что скобку Пуассона (классическую) первых интегралов любой гамильтоновой системы можно рассматривать как структуру Пуассона (эта структура обсуждается в п. 3 $1 гл. Ч1 той же статьи). 424 довявллнив ~з Конструкция пуассоновой структуры на пространстве, дуальном алгебре Ли, приводит опять к алгебре Ли. Поэтому эту конструкцию можно повторять, получая все новые (бесконечномерные) пуассоновы структуры. Более общим образом, пусть дана какая- нибудь пуассонова структура на многоооравии. Тогда пространство функций на этом многообразии получает структуру алгебры Ли. Значит, пространство, дуальное к пространству функций,наделяется пуассоновои структурой (как дуальное пространство этой алгебры Ли функций).
Элементы пространства, дуального к пространству функций, интерпретируются как распределения на исходном многообразии. Таким образом,пространство распределений на пуассоновом многообразии (например, на симплектическом фазовом пространстве) имеет естественную пуассонову структуру. Эта структура повволяет применять гамильтонов формализм к уравнениям типа Власова, описывающим эволюцию распределения частиц в фавовом пространстве яод действием поля, совданного самими частицами.
Б. Пуаесоновы отображения. Пусть даны два пуассоповых многообраэия. Отображение первого во второе называется ~уассонсеым, если оно уважает пуассоновы структуры. А именно, для любой пары функций на втором многообразии нх скобка Пуассона, после перенесения отображением на первое многообраэие, должна совпадать со скобкой Пуассона на первом миогообравии перенесений самих исходных функций. Например, вложение симплектического листа в пуассоново многообразие является пуассоновым отображением. Прямое произведение пуассоновых многообравий имеет естественную пуассонову структуру, в которой проекции на оба сомножителя пуассоновы (скобки Пуассона функций, перенесенных с равных сомножителей, нулевые). С.
Ли докавал, что всякое пуассоново многообравие локально (в окрестности точки, где размерности симплектических листов посгполнны, например — в окрестности точки общего положения, где раэмерности максимальны) равлагается в прямое проивведение симплектического листа и дополнительного пространства, на котором все скобки Пуассона нулевые.
В такой окрестности можно ввести координаты рн ан сг так, что р и д имеют обычные симплектические скобки Пуассона, а скобки Пуассона каждой ив функций сг со всеми функциями тождественно равны О. В физике координаты р;, д; наэываются переменными Кяебша, а функции сà — функциями Каеимира (Клебш ввел свои переменные для гамильтонова описания гидродинамики идеальной жидкости, а Казимир рассматривал центр алгебры Ли функций на дуальном пространстве исходной алгебры Ли). Равмерности симплектичесиих листов пуассонова многообравия в точках не общего положения меньше, чем в точках общего положения. В окрестности такой точки пуассоново многообравие ПУЬССОНОВЫ СТРУКТУРЫ все равно можно представить в виде прямой суммы окрестности атой точки на ее симплекхическом листе и окрестности отмеченной точки на некотором пуассоновом многообравии дополнительной размерности.
Иными словами, на минимальном трансверсальном к симплектическому листу сечении возникает (единственная с точностью до диффеоморфиама) локальная пуассонова структура— так называемая трансверсальнал пуассон«еа етруинура (см.: % е ! ив!в! пА. ТЬе 1оса! вФгисФпге, о1 Ро!шоп шаш1оЫв О Х. П!П. Сеош.— 1983.— У. 18.— Р. 523 — 557) *). В трансверсальной структуре скобки Пуассона всех функций в отмеченной точке (начале координат) равны нулю. Структура задается скобками Пуассона координат. Ряды Тейлора этих скобок начинаются с (х * хт) = Ж зле + ..
' где с,", « — структурные константы конечномерной алгебры Ли (лик«ар ее«анной трансеерсальной ппруктуры). Возникает естественный вопрос: можно ли уничтожить высшие члены ряда Тейлора за счет подходящего выбора системы координат? Вопрос о строении трансверсальных структур обсуждался уже давно (см., например, п. 3 з 1 гл. У1 цитированной выше статьи в УМН, 1963, т. 18, вып. 6). Воли линеаризованная алгебра полупроста, а структура Пуассона аналитична, то от высших членов ряда Тейлора можно избавиться аналитической заменой координат; смл Со па Э. Ь|- пеаг)ха«1оп о1 апа)уВС Ро(ввоп в!гпс$пгев О Аппа1в о1 Ма!1ь— 1984.— У.
119.— Р. 577 — 601. Аналогичный реаультат справедлив в гладком случае при условии компактности группы Ли. А. Вейнстейн, ранее доказывавший аналогичный результат для формальных рядов, высказал гипотезу, что полупростота необходима для такой уничтожимости нелинейных членов ряда. Исследование особенностей пуассоновых структур на плоскости (а значит, и вообще структур коранга 2) приводит, однако, к другому выводу. В. Пуаееоновы структуры на плоскости. С точки зрения дифференциальной геометрии пуассонова структура задается гладким бивекторным полем на многообрааии. Действительно, скобка Пуассона в каждой точке сопоставляет число паре кокасательных векторов.
Позтому она является сечением расслоения внешних квадратов касательных пространств, т. е. бивекторным полем. Тождество Якоби означает своего рода «замкнутостье этого бпзекторного поля. На двумерном многообразии зто условие замкнутости всегда выполнено автоматически, так что любое гладкое бивекторное поле на плоскости задает пуассонову структуру. Это обстоятельство позволяет применять при классификации пуассо- е) Предестережевве: теорема ЗЛ атой работы неверна (А. Б.
Гяеевтель). 426 ДОБАВЛЕНИЕ 13 новых структур на плоскости обычные соображения общего поло.жения (трансверсальность и т. п.). Через координаты х, у бивекторное поле выражается формулой / (д„/~ д„), где / — гладкая функция.
Соответствующая пуассонова структура определяется условием (х, у) = / (х, у). Пуассонову структуру на плоскости можно задать н дифференциальной 2-формой бх /~ бу//. Эта форма, как и бивекторное поле, инвариантно связана с пуассоновой структурой, но имеет, в отличие от него, на кривой / = 0 полярную особенность. Листы в этом случае — точки кривой / = О и компоненты дополнения к этой кривой на плоскости.
Точки кривой ~ = 0 называются осо.быми точками пуассоновой структуры. В окрестности неособой точки пуассонова структура на плоскости приводится к нормальной форме (х, у) = 1. Начало иерархии особенностей пуассоновых структур на плос.кости в окрестности особой точки таково: Лв вв Лг Ле Лв Лв Лв 7 'вв — уе — уе з7 ~в ' Ев — Е7" -Ев .Здесь буквы означают пуассоновы структуры, которые в окрестности изучаемой особой точки записываются в подходящей системе локальных координат с началом в этой точке в виде (х, у) = /, где функция ~ дается следующей таблицей: 11а,в лм- хвухув' в 1+ау -в 1+ +Ьув Т е о р е м а. Пуассонова структура на двумерном многообразии либо в окреспьности каждой точки приводитпсл к одной ив нормальных форм предидувцей таблицы, либо принадлежит множе,ству кораемерности 8 в пространспвве пуассонових структур." пуассоновы стРуктуРы Таким образом, пуассоновы структуры общего положения в окрестности каждой точки приводятся к нормальным формам (х, у) = 1 (неособая точка) или (х, у) = у (точка А,).
В одиопараметрических семействах общего положения встречаются ещепри отдельных значениях параметра структуры А,: (з, у) = = Ь (я» ~ у'), Ь ~ О; в двупараметрических семействах А „ и т.д. 3 а м е ч а н и е 1. В двумерном случае все пуассоновы структуры образуют линейное пространство, поэтому можно говорить о структурах или семействах общего положения (имея з виду структуры (семейства), принадлежащие некоторому открытому всюду плотному множеству пространства структур (семейств)) Задача классификации пуассоновых структур в пространстве трех или большего числа измерений с точки зрения общего положения не поставлена однозначно, так как все структуры не образуют единого многообразия (могут встречаться компоненты «разных размерностей», как при классификации алгебр Ля). 3 а м е ч а н и е 2. Структура (х, у) = у типа А» — это стандартная пуассонова структура дуального пространства алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой. Эта структура рассматривалась в 1965 г.
в связи с изучением уравнений Эйлера левоинвариантной метрики на гругше (в данном случае — метрики Лобачевского на полуплоскости), причем сразу же выяснилось, что она устойчива и локально эквивалентна любой структуре вида (х, у) = у +..., где точки обозначают нелинейные члены (с нулем выше первого порядка). Это (очевидное) наблюдение противоречит гипотезе А.
Вейнстейна, согласно которой подобная линеаризуемость всех не содержащих линейных членов возмущений — признак линейных пуассоновых структур дуальных пространств яозуяросз»ыз алгебр Ли. 3 а м е ч а н и е 3. Параметры а, Ь в приведенной выше таблице — модули (непрерывно зависящие от структуры инварианты). Точнее говоря, структуры, эквивалентные данной, встречаются при изменении параметров лишь конечное число раэ. Таким образом, уже в однопараметрических семействах общего положения на плоскости встречается континуум локально неэквивалентных друг другу пуассоновых структур. Дроби в таблице можно было бы заменить многочленами, но удобнее этого не делать. Числа модулей в знаменателях на единицу меньше чисел неприводимь»х компонент кривых 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
