В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 73
Текст из файла (страница 73)
П л =(у ю) «)« донзвлкнин 5 фаэовое пространство — это кокасательное расслоение двумерной сферы Теяз. Приведеннан функция Гамильтона на кокасательном расслоении сферы представляет собой сумму квадратичной относительно кокасательных векторов «кннетической энергии приведенного движения» и «эффективного потенциала» (включающего потенциальную внергию и кинетическую энергию вращения относительно вертикали). Переход к приведенному фааавоыу нростраяству в давнам случае почти сводятся к «всключаввю цвклвч«свай коардвкаты «Р«. Разивца состоит лишь в том, что обычная процедура исключении требует, чтобы ковфвтурзцваввае влв фазовоа пространство было прямым прав»ведеввем ка окружвасть, тогда нак в нашем случае имеется лишь расглоавве.
Это расслоение мо«аяо превратить в прямое врал»вздевав ценой уыевьшеввя кавфягурацвовяого простравствз (т. е. введеввем координат с особ«алостями у полюсов); преимущество и»паж«влага выше подхода саатавт в там, чта выясняется, па ввкакай реал»вой ааабеввостл (кроме особанваств австемы координат) вблвзв полюсов в«т. О п р е д е л е н и е. Фаэовые кривые в М, проектирующиеся в полов«ения равновесия приведенной системы на приведенном фазовом пространстве р», наэываются относительными равновесиями исходной системы. П р и м е р.
Стационарные вращения твердого тела, эакрепленного в центре инерции, являются относительными равновесиями. Точно так же относительными равновесиями являются движения тяжелого твердого тела, сводящиеся к вращению с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. Т е о р е м а. Фа»овал кривая системы с б-инвариантной функцией Гамилыпона лвллетсл относитгльн м равновесием тогда и пыл»ко тогда, когда она явллгтсл орбитой однопараметричгской подгруппы группы ««в исходном фазовом простронсп«ве.
Д о к а »атель с т в о. Что фа»авва крввал, являющаяся орбитой, проем«вру«тая в точку, ачеввдво. Если фа»авва кривая л («) проектируется в точку, та «а можно однозначна представить в ввде х («) = З (Г) з(0), в тогда легко видеть, чта (З (г)) — подгруппа, ч.
т. д. С л е д с т в и е (. Асимметричное твердое тело в любом осссимметричном потвнциальнамполв, закрепленное в точке на оси полл, имеет не менее двух стационарн»«х вращений (при каждом значении кингтичсского момента относительно оси симл«стрии). С л е д с т в и е 2. Осесимметричнае твердое тело в любом потенциальном силовом поле, з креплгннае в точке на оси симметрии, имеет нс менее двух стационарных вращений (при каждом значении ки етичсского момента относительно аси симметрии). Оба следствия вытекают иэ того, что функция на сфере имеет не менее двух критических точек.
Другое приложение относительных равновесий состоит в том, что с их помощью удобно исследовать перестройки топологии инвариантных многаобраэий энергии и момента. ногмяльпык юогмы Бвлдватичных ГАмильтонилнов 34Т Т е о р е м а. Критические точки отобразсения маовензиа и энергии Р х Н: М-+.
у"' х К на реву ярном множестве уровня момента — это в точности относительные равновесия. Дои аз а тельство. Крвтвческве точки отобрэжоввя Р Х Н— это условные экотроыувы функции Н ва многообразии уровня момевта Мр (тзк как рассматриваемое ывогообрззве уровня регулярно, т. э. для всех й вз Мр имеем Р,ТМ„= Тбр~). условные экстремумы фуввцвв Н вз Мр прв фэвторвзацвв по бв дают критические точки прввэдеквой фуввцвн Гаыйльтова (так как Н ввзарвавтка о«косит»льва бр). Теорема дока»ива. Фактическое исследование относительных равновесий и особенностей отобран<ения энергии — момента не просто и не проведено полностью дая«е в такой классической задаче, как задача о движении асимметричного твердого тела в поле тяготения. Случай, когда центр тяжести лежит на одной иэ осей инерции, разобрав в написанном С.
Б. Каток приложении к переводу цитированной на стр. 337 статьи С. Смейла. В этой задаче размерность фазового пространства 6, а группа окружность; приведенное фаэовое пространство Т«Б« четырехмерно. Многообразия неособого уровня энергии в приведенном фазовом пространстве бывают (в зависимости от значений момента н энергии) следующих четырех видов: Юз, Юз х Яг, ВР» и «крендель», получающийся иэ трехмерной сферы оз приклеиванием двух «ручек» вида Нг х /)з (,9» — круг, ((х, у): лз + уз ( Ц). Добавлекве 6 НОРМАЛ ЬНЫЕ ФОРМЫ КВАДРАТИЧНЫХ РАМИЛЬТОНИАНОВ В настоящем добавлении приведена таблица нормальных форм, к которым можно привести квадратичную функцию Гамильтона вещественным симплектическим преобразованием. Эта таблица составлена Д.
М. Галиным на основании работы: %'111)а шэ о и ). Оп ап а!яеЬга(с ргоМеш, сопсегп(пя Фе погша1 1оппэ о1 1шеаг йупаш)са1 эуэтешя // Ашег. г. о1 Ма1Ь.— 1936.— У. 58, .и» 1 Р $41 163 В работе Вильямсона укаэаны нормальные формы, к которым можно привести квадратичную форму в симплектическом пространстве над любым полем. А. Обоэначения. Мы будем записывать гамнльтониан в виде Н = — (Ах, х), 1 348 ДОБАВЛЕНИЕ В где ю = (р„ ..., р ; д„ ..., д„) — вектор, записанный в симплектическом базисе, А — симметрический линейный оператор. Канонические уравнения имеют тогда вид ю= 1Ах, где Собс1яаеялмми числами гамильтониана мы будем называть собственные числа линейного инфинитезимально-симплектического оператора 1А.
Точно такн1е лод я<орлановой клеткой мы будем понвмать жорданову клетку оператора 1А. Собственные числа гамильтониана бывают четырех типов: вещественные пары (а, — а), чисто мнимые пары (1Ь, — 1Ь), четверки (-~а~1Ь) и нулевые собственные числа. Жордановы клетки, соответствующие двум членам пары или четырем членам четверки, всегда имеют одинаковую структуру. В случаях, когда вещественная часть собственного числа равна нулю, приходится различать я1ордановы клетки четного и нечетного гюрядка.
При этом клеток нечетного порядка с нулевым собственным числом четное количество и они естественно разбиваются на пары. Окончательный список нормальных форм следующий. Б. Рамильтонианы. Паре жордановых клеток порядка Ь с ве1цественными собственными числами +а отвечает гамильтониан 1 1-1 Н = — а ~~ РУ11 + А1 РЯ511 1=! 1=1 Четверке 1кордановых клеток порядка Ь с собственными числами -~а+Ь1 отвечает гамильтониан 11 1 21-3 и = — а Х ря;+ ь Х (р — д — р ч .— ) + Х рН Паре жордановых клеток нечетного порядка й с собственным числом нуль отвечает гамильтониан Н = ~ рзгы1 (при 1 =1, Н= О). Жордановой клетке четного порядка 2Ь с собственным числом нуль соответствует гамильтониан ровно одного из следующих двух видов: 1-1 1 1-1 1-1 НОРМАЛЬНЫК азОРМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ГАМНЛЬТОННАНОВ 349 (при Ь = 1 вида Н = ~зl дз).
Гамилътонианы с верхним и нижним знаком не переводятся в друга. Паре жордановых клеток нечетного порядка 2Ь + 1 с чисто мнимыми собственными числами -ЕЬ» отвечает гамильтониан ровно одного иа следующих двух видов: 1 ГГ~ Н + (Ьгрмры гз+г + Д»Я«1 ~+г) — (Ьгрг,.
1Р»1-«чг+ дг~-зчгг-гз+э)( — ~„эРЯзчз. -Х' При Ь =() Н = -»- — (Ь»Р1 + Дг). Гамильтонианы с веРхним и ниж- 1 г » ним знакаыи не переводятся друг в друга. Паре жордановых клеток четного порядка 2Ь с чисто мнимыми собственными числами ~Ь1 отвечает гамильтониан ровно одного из двух следующих видов: г Н =+ 2 ( ~ »г Угз-1У»1-а+1+ зГ»Я»»-гззч«1 1 1-1 к » (Ьргз«зрг«-гззчз+Рмзгрг» ьззг)1 Ь У,Р»Г-зчгз+ ~,Р»Я»г-з — — 'У, 3 г з 1=1 З=з (пРи Ь = 1 Н = ~ — ~ — гдзг+ Ог) — Ь»Рзаг+ Ргаз).
Здесь также гамилътонианы с верхним и низкним знаками не. переводятся друг в друга вещественным симплектическим преоб- разованием. Т е о р е м а В и л ь я м с о н а. Линейное вещественное симп- лектическое пространство, на ктпором эадана квадратичная форма Н, распадается в прямую сумму ззопарно косоортоеональн»зх ве- щественных симплектических надпространств так, что форма Н представляется в виде суммы форм указанных выше видов на этих поднространстеах.
В. Неустранимые исордановы клетки. Индивидуальный га- мильтониан «общего зюложения» не имеет кратных собственных чисел и приводится к простому виду (все жордановы клетки пер- вого порядка). Однако если рассматривается не индивидуальный гамильтониан, а целое семейство систем, зависящих от параметров, то при некоторых исключительных значениях параметров могут появиться более сложные жордановы структуры.
От некоторых из них можно избавиться малым шевелением семейства, другие же неустранимы и при малом зпевелении семейства лишь немного де- формируются. Если число параметров семейства 1 конечно, то та- ДОБАВЛЕНИЕ 6 ких неустранимых в 1-параметрическом семействе случаев конечное число. Формулируемая ниже теорема Галина повволяет перечислить все втн случаи при любом фиксированном 1. Обозначим через п, (з) )~ и, (з) ~)...
~ )и, (г) размеры жордановых клеток с собственным числом г. Т е о р е м а. Многообразие гамильтонианов с указанными размерами жор домовых клеток имеет в пространстве всех гам ил ьтонианов корозмерность кю с = -2- ~ ~~ (21 — 1) п; (г) + где Ь вЂ” кавичепыо отличных от нулл различных собственных чисел, т — число жордоновых клеток нечеткого порядка с собственным числом нуль. (См. К о й а 1с Н.
Хогша1 1оггпа апб чегза1 бе(огша11опз о1 Нпеаг Нани)$оп1ап зуз1ешз /~ У. 1)111. Ецпа$. — 1984. — У. 51, № 3.— Р. 359 — 407; (1падга11с 1п$еяга1з о1 11пеаг Наш(1$оп1ап зуз$ешз. МопаЬ11егйе Маей. — 1984. — У, 98, №1. — Р. 53— — 63.) С л е д с т в и е. В семейств х линейных гамилып оновых систем, зависящих общим образом от 1 параметров, встречаются системы только с токами жордановмми клетками, чгпо вмчисленное по предыдущей формуле число с не превосходит 1: все случаи с болмиим с устранимы малым шевелением семейства. С л е д с т в и е.
В одно- и двупараметрических семействах встречаются как неустранимые только жордановы клетки следующих 72 типов: 1 = 1: (~а)г, (.-~1а)г, Ог (здесь жордановы клетки обозначаются их определителями, например (+-а)г означает пару жордановых леток порядка 2 с собственными числами а и — а соответственно); 1 = 2: (~а)з, (~а1)з, (~а-~М)г, Ог, (-Еа)з (~Ь)г, (~а1)г (~Ь1)г, (~а)г (+.Ь1)г, (~а)г О', (з-а1)з 0' (остальные собственные числа простые). Галин вычислил также нормальные формы,.к которым можно привести любое семейство гладко зависящих от параметров линейных гамильтоповых систем прн помощи гладко зависящей от параметров симплектической линейной замены координат. Например, для простейшей ягордановой клетки (~а)г такой нормальной формой гамильтониана будет Н(Х) = — а(ргог+ рздг) + ргуг + )чр,у, + Хгргдг (Х, и Хз — параметры)» НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 35$ Добавление 7 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ВБЛИЗИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИИ При исследовании поведения решений уравнения Гамильтона вблизи положения равновесия часто недостаточно ограничиваться линеаризованным уравнением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
