В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Итак, если еа — симплеитическая структура, то исходное поле гиперплсскостей — контактная структура, и выделенное эыюе утверждение дон азана. С л е д с т в и е. Поле контактных гипврплоскостей гадает на многообразии всех коюпактных элементов любого гладкого мноюобрагил контактную структуру. Д о к а э а т е л ь с т в о. Симплектизация 2п — 1-мерного мкогообраэия всех контактных элементов яа и-мерпом гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательпого расслоения исходного и-мерного многообразия беэ нулевых кокасательных векторов.
Каноническая 1-форма сг на симплектиэации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали «р ау» и которая лежит в основе гамильтоновой механики (см. э 37). Ее производная г(сс есть, следовательно, форма «др /~ г(()», задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма гкх не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гяперплоскостей ие вырождено. Следствие доказано. Е. Коитактиые диффеоморфизмы и векторные поля. О п р е д е л е н и е.
Диффеоморфиэм контактного многообразия на себя называется контактным, если ов сохраняет контактную структуру, т. е. переводит каждую плоскость задающего структуру поля гиперплоскостей в плоскость того же поля. П р и ьг е р. Рассмотрим 2п — 1-мерное многообразие контактных элементов п-мерного гладкого многообразии с его обычной контактной структурой. Каждому контактному элементу можно приписать «положительную сторону», выбрав одну из половин, ва которые этот элемент делит касательное пространство к п-мерному многообразию. Контактный элемент с выбранной стороной мы будем называть (трансверсально) ориентированным контактным элементом. Все ориентированные контактные алемепты на нашем и-ыервом многообразии образуют 2п — 1-мерпое гладкое многообразие с естественной контактной структурой (опо двулистно накрывает многообразие обычных неориентированиых контактных элементов).
Предположим теперь, что па исходном "-мерном многообразии дана римаяова метрика. Тогда на многообразии ориевтирован- 326 довлвлкник « ных контактных элементов возникает «геодезический поток» л). Преобрааование за время г в этом потоке определяется так. Выпустим из точки контакта контактного элемента геодезическую, ортогональную ему и направленную в сторону, ориентирующую элемент. В течение времени г будем двигать точку контакта вдоль геодезической, оставляя элемент ортогональным геодезической. Через время 8 получим новый ориентированный элемент. Мы определили геодезический поток ориентированных контактных элментпов.
Т е о р е м а. Геодезический поток ориентированных контакелных элементов состоит из контактных диффеоморфигмов. Доказательство этой теоремы не приводится, так как она есть не что иное, как сформулированный в новых терминах принцип Гюйгенса (см. 5 46). О и р еде лен и е. Векторное поле на контактном многообразии называется контактным, если оно является полем скоростей однопараметрической (локальной) группы контактных диффеоморфизмов. Т е о р е м а.
Скобка Пуассона контактных векторных полей лвллетсл контактным векторным полем. Контактные векторные поля образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких век орных полей на контактном многообризии. Доказательства непосредственно вытекают из определений. Ж. Симплектизацня контактных диффеоморфнзмов и полей. По кащдому контактному диффеоморфизму контактного »1ногообразия каноническим образом строится симплектический диффеоморфиам его симплектизацин. Зтот симплектнческий диффеоморфизм коммутирует с действием мультипликативной группы вещественных чисел на симплектизованном многообразии и определяется следующей конструкцией. Напомним, что точкой симплектизованного многообразия является контактная форма на исходном контактном многообразии. О п р ед ел е н и е.
Образом контактной формы р с точкой контакта х под действием контактного днффеоморфизма Г' контактного многообразия на себя называется форма 1 Р ()вы) Р. Попросту говоря, мы переносим форму р из касательного пространства в точке х в касательное пространстве в точке ~ (х) при помощи диффеоморфизма ) (производная которого в точке х устанавливает изоморфизм между этими двумя касательными пространствами). Форма ~~р контактная, ибо диффеоморфизм ~ контактный. *> Строго говоря, здесь нужно потребовать, чтобы рпмэновс многообразие было полным, т. е.
геодезические продолжались кесграллчслнс. КОНТАКТНЫК СТРУКТУРЫ 327 Т е о р е м а. Определенное выше отобралсение ~~ симплеюпизации контактного многообразия в себя является симплетпическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипзикапшвной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую 1-форму на симллектпизации. Д о на э а те л ь от во. Утверждеяие теоремы вытекаег иэ того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие гругшы веществевкых чисел определены самой контактной структурой (при кх построеяии ве использовались координаты или иные неиквариавтвые средства), а диффеоморфизм ( сохраняет ковтактаую структуру.
Иэ этого следует, что переводит в себя все то, что инвариантно построено по коитактвой структуре, в частности 1-форму св, ее проиэводаую Ва и действие группы, ч. т. д. Т е о р е м а. Всякий симплектический диффеоморфпзм симплектизации контактного многообразия, коммутирующий с действием мульгпипликатиеной группы: 1) проектируепвся на исходное контактное многообразие в виде контактного диффеаморфиаиа; 2) сохраняет каноническую 2форму а. Д о к а э а т е л ь с т в о. Всякий диффеоморфизм, коммутирующий с действием мультипликативвой группы, проектируется в некоторый диффеоморфиэм коктакткого мкогообразия.
Чтобы доканать, что этот диффеоморфиэм ковтактяый, достаточно доказать второе утверждение теоремы (так как в коитактвую плоскость проектируются те и только те векторы Г„для которых а (а) .= 0). Для доказательства второго утверждения выразим интеграл формы а по любовву пути у через симплектическую структуру Ва: ~За= Иш~ ~ Ва, у с(з> где 2-цепь с (з) получена из у умножением ка всевоэвюжаые числа отрезка [е, 1[.
В границу 2-цепи о входят, кроме у, два вертикальных отрезка и путь — еу. Иитегрзлы формы и по вертикальным отрезкам равны нулю, а интеграл по гу стремится к нулю вместе с з. Теперь из иввэриавткости 2-формы Еа и коммутироваивя нашего диффеоморфизма г с умножением ва числа следует, что для любого пути у )а=)а, гт ч и, значит, диффеоморфизм г сохраняет 1-форму а, ч. т. л. О п р е д е л е н и е. Симплектигация контактного векторного поля определяется следующей конструкцией. Рассматриваем поле как поле скоростей однопараметрической группы контактных диффеоморфивмов. Симплектиаируем диффеоморфизмы. Получаем однопараметрическую группу симплектических диффеоморфизмов.
Рассматриваем поле скоростей атой группы. Оно и называется симплектиэацией исходного контактного поля. Т е о р е м а. Симплекпшзация контактного векторного по я есть гамильтоново веюпорное поле Гамильтониан можно выбрать однородным первой степени относительно действия мультипли- ДОБАВЛЕНИЕ « кативной группы вещественных чисел: Н (Лх) = ЛН (х). Обратно, всякое гамильтоново поле на симплектигованном контактном многообразии, имеющее однородный.
степени 1 гамильтониан, проектируется на исходное контактное многообразие в виде контактного векторного поля. Д о к а з а т е л ь с т в о. Гамильтоновость симплектизованного контактного поля следует из симплектичности симплектизации контактных диффеоморфизмов. Однородность приращений гамильтониана следует из однородности симплектизованных диффеоморфизмов (из коммутирования с умножением на Л). Таким образом, первое утверждение теоремы вытекает из теоремы о симплектиаации контактных диффеоморфизмов. Вторая часть вытекает таким же образом из теоремы об однородных симплектических диффеоморфизмах, и теорема доказана.
С л ед с т в и е. Симплектизация векторных полей яаяяетсч зоморфн м отображением алгебры Ли контиктных векторных полей на алгебру Ни всех локально гамильтоновых векторных полей с однородными гамилыпонианами степени 1. Доказательство очевидно. 3. Теорема Дарбу для контактных структур. Теорема Дарбу— это теорема локальной единственности контактной структуры. Ее можно сформулировать в любой из следующих трех форм. Т е о р е и а. Все контактные многообразия одинаковой размерности локально контактпно диффеоморфны (т. е.
существует диффеоморфизм достаточно малой окрестности любой точки одного контактного многообрааия на окрестность любой точки другого, переводящий отмеченную точку первой окрестности в отмеченную точку второй и поле плоскостей в первой окрестности в поле плоскостей второй). Т е о р е м а. Всякое контактное многообразие размерности 2т — 1 локально контактно диффеоморфно многообразию контактных элементов т-мерного пространства. Т е о р е м а.
Всякая дифференциальная 1-форма, задающая на многообразии размерности 2п + д невырожденное поле гиперплоскостей, записывается в некоторой локальной системе координат в «норлдальном виде» ю = хну+ ддг, где х = (х„..., х„), у = (ум..., у ) и и — локальные координадны. Ясно, что первые две теоремы вытекают из третьей. Ее же мы выведем из аналогичной теоремы Дарбу о нормальном виде 2-форм, задающих симплектические структуры (см. $43). Д сказ а тельство теоремы Д ар б у. Симплснтиэуем нади» многообразие. На полученном 2я + 2-ддернс»д симплекдичссксм многообразии КОКТАКТНЫИ СТРУКТУРЫ определены каноническая 4-форма сд, невырождепная 2-форма ли, проекция и на исходное контактное многообраане и вертикальное направление в каждой тачке.
Заданная на контактном многообразии дифференциальная 1-форма ю определяет з каждой точке контактную форму. Все зги контактные формы обраауют в симплектнческом многообразии 2п+ $-мерное подмногаобразие. Проекцвя п диффеоморфпо отображает зта подмногаобразпе на исходное контавтное многообразие, а вертикали пересекают зто поюдногосбразпе под ненулевым углом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
