В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Рассмотрим точку на построенной в симплектическом многообразии поверхности, лежащую над интересующей нас точкой контактного многообразия. В симплектаческом многообразии можно выбрать вблиаи атой точки локальную систему координат так, чтобы еп = про Л езо + .. ° + АРп Л ечп и пабы при этом координатная поверхность Р = О совпадала с нашим 2п + 1-мерныод многообразием (см. 1 43, где ири доказательстве свмплектической теоремы Дарбу первая координата выбирается проиавольно). Заметим теперь, что (-форма Россо +... + Р„д)дп имеет производной ап.
Значит, локально дд = Род)со + ° ° ° + Рпвсп + Е"" где ю — некоторая функция, которую можно считать равной пулю в начале координат. В частностл„на поверхности Ро = О форма сд принимает ввд п(,-е=рдбсд+ - +Р ЕЗ +Ею. Проекция и позволяет перенести координаты Рд °, Рп' Фо: яд ° ° . Зп. и функпию и на контактное многообразие. Точнее, ны определим функции х, у, о формулами хд (яА) = рд (А), щ (иА) = ад (А), о (яА) = и (А), гДе А — тачка на повеРхности Ро —— О.
Тогда мы получаем ю = хеу + ЮН и остается лишь проверить, что функции (х„..., хп', уп..., уп, о) образуют координатную систему. Для етого достаточно проверить, что отличии от нуля частная проиаводвая функции п ио д . Иными словами, нужно проверить, что д-форма и на векторе коордвнатного направления ао отлична от нуля, Последнее зквивалентяо отличаю от нуля 2-формы аа на паре векторозд координатном направления ао и вертикальном. Но вектор координатного направлеяия а косоортогонален всем векторам координатной плоскости Ро = О. Если бы он был вдобавок косоортогонален и вертикальному везтору, то он был бы косоортогонален всем векторам вообще, воирекн невырол(дениости формы адх. Итак, ддо/ддо Ф О, н теорема доказана.
И. Контпктныс гвмильтонквны. Предположим, что контактная структура контактного многообразия задается дифференциальной 1-формой од, н что этв форма фиксирована. О и р е д е л е я н е. ад-поазяениело контактного многообразия в свою снмплектизацию называется отображение, сопоставляющее точке контактного многообрааня сужение формы од на касательную плоскость в этой точке. О и р е д е л е н н е. Контактной функцией Гпмильтани контактного векторного поля ка контактном многообразии с фнкск- ззо ДОВАВЛКНИЕ 4 рованной (-формой ю называется функция К на контактном многообразии, значение которой в каждой точке равно значению однородного гамильтониана Н снмплектизации поля в образе данной точки при ю-вложении: К (А) = Н (ю )л).
Т е о р е м а. Контактная функция Гамильтпона К конта тного векторного полл Х на контактном многообразии с выбранной 1формой ю равна вначгнию формы ю на гпюм контактном поле: К= ю(Х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся эырая1евием для приращения обычвой фувкции Гамильтона вдоль пути череа векюрвое поле и коятактвую структуру ($ 48, В). Для этого проведем через ту точку В в симплевтвзации, в которой мы хотим вычислить функцию Гамильтона, вертикальяый отрезок () В), О ( й Ь 1.
Сдвиги этого отрезка эа малое время т под действием симллекгизации потока, эадаияого нашим полем Х, заполяяют яекогорую двумерную полоску о (г). Значение гамильтокиава в точке В равво пределу В (В) = — )пл ~ ~ ла, 1 Р о (ю так как И (лВ) О при ь О. Но интеграл формы Ва по полоске равен яятегралу 1-формы а по краю, образовавяому траевторией точки В (остальяые части границы дают вулевые интегралы). Поэтому двойной интеграл равен просто иитегралу 1-формы и по отрезку траектории, а предел — зяачеяию 1-формы и ва векторе скорости Ъ' сиыплектиэовавяого поля. Стало быть, Х (яВ) = В (В) = а(г) = ы (Х), что и требовалось доказать, К.
Вычислительные фориулы. Предположим теперь, что мы польауемся координатами теоремы Дарбу, в которых форма ю имеет нормальный вид ю=хду+дгг х=-(хы...,х„), у=(ую...,у„). 3 ад а ч а. Найти компоненты контактного поля с данной контактной функцией Гамильтона К = К (х, у, г). Ответ. Уравнения контактного потока имеют вид х = — Кэ+хК, у = — К„,-) г = К вЂ” хК„.', Р е ш е я и е. Точку симплектиэацяи мозкяо задать 2л + 2 числами г~ уз, г, "ь, где (г, у, г) — координаты точки ковтакпюго мяогосбраэия, а ь— чйсло, яа которое надо умножить ы, чтобы получить даияую точку свмллектиаовавиого простраиства.
В этих иоордияатах и = Ьг эу+л аг. Поэтому в системе коордкяат р, о, где ы=(р, р), р=), р,=1, Ф=(в. %д Ч= у чэ=" КОНТАКТНЫК СТРУКТУРЫ форма а принимает стандартный вид: а = р ву, ва = вр /~ вв. Действие Т„мультипликетиепой группы свелось теперь к умиожешпо р пв число: ув(р, д) -(рр, о).
Иоитвктвый гвмильтоввзп К выражается через обычный гзмильтоьщвп Н = Н (р, д, ре, дз) по формуле К (г, у, г) = Н (г, у, ь, г). Функция Н однородна первой степени по р. Поэтому частные производные К в точке (г, у, г) связаны с производными Н в точке (р = г, рг — — т, В = у, д = г) соотношениями Е!з = — Кх Н„=- К вЂ” гКх. Уравнения Гамильтоне с функцией Гвмильтова Н имеют поэтому в рассмат риввемой точке вид в+й = — к„, откуда и получается приведенный выше ответ.
3 а д а ч а. Найти контактный гамильтониан скобки Пуассона контактных полей с контактными гамильтонианами К и К'. Ответ. (К, К') + К,ЭК' — К',ЭК, где скобкой обоаиачена скобка Пуассона по переменным х и у, а Э вЂ” оператор Эйлера, ЭК = и" — хК. Р е пь е в и е. В обозначениях решения предыдужей звдечя требуется выразить обычную скобку Пуассона однородвых гамильтовиапов Н, Н' в точке (р = з, рь = $, у = у, дь = г) через коятзктяые гамильтовиввы К, К'.
Имеем (Н, Н) =Н,Н' — Н„Н',=Н„Н„' — Н„Н'„+Н, Н', Подставляя значения производных из решепия предыдущей задачи, находим в рассматриваеьюй точке (Н, Н') = К К„вЂ” К К„+ К,(К' — гк„) — К,(К вЂ” гК ). Л. Лежаидровы многообразия. Лагранжевым подмногообразиям симплектического фазового пространства в контактном случае соответствует интересный класс многообразий, которые можно назвать лвжандровыми, так как они тесно связаны с преобрачованиеы Лежандра.
О п р е д е л е н и е. Лелсандровым подмнозообравием контактного 2п + 1-мерного многообразия называется и-мерное интегральное многообразие ноля контактных плоскостей. Иными словами, зто интегральные многообразия наивысшей равмерности, которая возможна для интегральных многообразий невыро>кденного поля плоскостей. 332 довлвлкник « П р и м е р 1. Множество всех контактных элементов, касающихся подмногообразия любой раамерности в т-мерном многообразии, является лежандровым т — 1-мерным подмногообразием 2т — 1-мерного контактного многообразия всех вообще контактных элементов. П р и м е р 2.
Множество всех касательных плоскостей к графику функции 1 = «р (х) в и + 1-мерном евклидовом пространстве с координатами (х,..., х„; Д является лежандровым подмногообразием в 2п+ 1-мерном пространстве всех невертикальных гиперплоскостей в пространстве графика (контактная структура задается 1-формой ы = р,ах, +... + р„ах„— гц, плоскость с координатами (р, х, Д проходит через точку с координатами (х, 1) паРаллельно плоскости 1 = Р,хт +...
+ Р„х„). Преобразование Лежандра описывается в атих терминах следующим образом. Рассмотрим еще второе 2п + 1-мерное контактное пространство с координатами(Р, Х, р) и контактной структурой, заданной формой Инволюцией Лежандра называется отображение, переводящее точку первого пространства с координатами (р, х,1) в точку второго с координатами Р=х, Х=р, Р=рх — У. Инволюцня Лежандра, как легко сосчитать, переводит первую контактную структуру во вторую.
Очевидна Т е о р е м а. Диффеоморф зм одного контактного многообразия на другое, переводящий контактные плоскости в контактные, переводит каждое лежандрово многообразие в лежандрово. В частности, под действием инволюции Лежандра лежандрово подмногообразие касательных к графику функции плоскостей переходит в новое леи«кадрово многообразие. Это новое многообразие называется преобразованием Лежандра исходного.
Проекция нового многообразия на пространство с координатами Х, р (параллельно Р-направлению), вообще говоря, не является гладким многообразием, но имеет особенности. Эта проекция называется преобразованием Лежандра графика функции «г. Если функция ц~ выпукла, то проекция сама является графиком функции Р = Ф (Х). В этом случае функция Ф называется преобразованием Лежандра функции <р.
В качестве другого примера рассмотрим движение ориентированных контактных элементов под действием геодезического потока на римановом многообразии. Возьмем в качестве «началь- контлктнык стггктгэы ного волнового фронта» какое-нибудь гладкое подмногообрааие нашего риманова многообразия (размерность подмногообразия может быть любой). Все ориентированные контактные элементы, касающиеся этого подмногообрааия, обраауют лежандрово многообразие в пространстве вообще всех контактных элементов. Мы получаем из предыдущей теоремы С л е д с т в и е.
Семей»таво всех касательных к волновому фронту элементов преобразуется под действием геодезического потока за время г снова в лежандрово многообразие пространства всех контактных элементов. Следует заметить, что это новое лежандрово многообразие может не быть семейством всех алементов, касательных к какому- либо гладкому многообрааию, так как на волновом фронте могут воаникать особенности. Возникающие таким образом лежандровы особен.ности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п + 1-мерном контактном многообразии— ато расслоение, все слои которого — лежандровы п-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования и-мерных лежандровых подмногообразий 2п + 1-мерного контактного многообразия на и + 1-мерную базу лежандрова расслоения.
Рассмотрим пространство К»сы с контактной структурой, заданной формой и = х Иу + с(г, где х = (х„ ...,х„), у = (у, ... ..., у„). Проенция (х, у, я) (у, я) задает лежандрово расслоение. Эквивалентностью лежандровых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий контактную структуру и слои первого расслоения в контактную структуру и слои второго. Можно доказать, что всякое лежандрово расслоение эквивалентно только что описанному специальнаиу в окрестности каждой точки пространства расслоения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
