В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Значит, эрмнтово-ортогональная к вектору «компонента Ч вектора й касается сферы Б" г н евклидово-ортогональна окружности, по кагоров сферу пересекает прямая р«. Согласно определению метрики на СР", рвмвнов квадрат длины вектора ь равен евклидову квадрату длины врмвтово-ортогональной к «компоненты Ч вектора ь. Вьгшслим компоненту Ч вектора 4, армитово-ортогональную к «. Запишем наше рааложевие в видей й = с«+ ч, где <ч, «> = О.
Умножая врмвтово на «, находим <й. «> =в<«, «>, следовательно, <«, «> $ — <$, «> « <«, «> Вычисляя эрмвтов квадрат вектора Ч, находим <Ч, г)> = <ти а>, <«, «> <й, $> — <й, «> <«, ф> <«, «> Тем самым формула (2) докаааиа для точек «едвничвой сферы. Общий случай сводвтся к рассмотренному гомогетвей « ~-~ «<) «!. Теорема доказана. Заметим, что наша конструкция повволяет определить в касательном пространстве к СР" не только евклидову структуру (2), но и ермитову структуру. ЗИ симплкктичвская сттьктьеа Действительно, рассмотрим эрмитово-ортогональное дополнение Н к направлению вектора я в пространстве ТС ~, где в (з= Е= Язз-г. Отображение р„;.
Н -ь Т (СР")р, изоморфно (как мы показали выше) отображает Н на касательное пространство к СР" и переносит туда эрмитову структуру из Н. Ясно, что скалярный квадрат, определенный атой эрмитовой структурой, дается формулой (2). Поэтому формулу для зрмитова скалярного произведения в касательном пространстве к СР" можно написать без новых вычислений: (~ ~ ) ($1 ьз)(е Йу — ($1 йу(э зз) (3) ы 3 (з Зз для любых векторов б„бз из ТС,'+~, удовлетворяющих соотношению р~$з = (.г е= Т (СР ), .
Заметим, что в формуле (3) точка и не обязательно лежит на единичной сфере. Построенные евклидова и эрмитова структуры (2), (3) в касательных пространствах к СР" инвариантны не относительно всех проективных преобразований многообразия СР", но лишь относительно тех, которые ведаются унитарными (сохраняющими эрмитову структуру) линейными преобразованиями линейного пространства С"+г. Б. Симплектическая структура комплексного проективного пространства. Рассмотрим мнимую часть эрмитовой формы (3), взятую с козффициентом †/я (зачем взят такой коэффициент, объяснено в задаче 1 на стр.
313) И(В„В,) - — — '1ш (В„Вз>. (4) Как и мнимая часть любой эрмитовой формы, вещественная билинейная форыа ье на касательном пространстве к комплексному проективному пространству ко со симметрична и невырождена. Т е о р е и а. Ди44еренци(ьеьная 2 (рорма ьз задает на ко.мплекеном проектиеном проетранппее еимпяектичеекую структуру. Д он з з атал ь с те о, В доказательстве вуждается только замкнутость формы П. Рассмотрим звепгеюю провэводвую зй формы И.
Зта двфферэпцвэльнэп 3 форма вз многообразии СР" плвэрвалтеэ стеосвтельпо отображений, впдудвровзнвых упвгэрвымв пресбрэзоваввямв пространства С"+г. Отсюда следует, что овз равна нулю. В самом деле, рассмотрим в касательном пространстве в Срз з какой- либо точке э эрмвтово-ортспормврозаввый С-базис ею..., е„. 'Гогдз векторы ею..., е„, зед,..., зе„образуют еэклвдово-ортопормвровэнный К-баеве. Покажем™, что эпзчзвве формы ззг ва любой тройке этвх К-бззвевых векторов равно нулю.
(Мы предполагаем, что з,ьы прп я=1 доказывать нечего.) Заметем, что вз любой тройки К-бзэвспых зевторов, уваззпвых выше, по мзпыпзй мере один эрывтозс-ортоговзлеп двум другам. Обозвзчвм этот вектор через е. Легко построить унитарное преобразовзвве пространства 312 дОБАвлянин э С"+э, ивдуаврующее в СР" движение, оставляющее ва месте рассматриваемую точку я и эрывтово-ортогональное дополнение в е и меняющее направление вектора е. Зиэчевве форин аээ ва иэжях трех векторах е, У, д равно ее значению иа тройке — е, У, д ввиду иивэриавтвостя формы аээ и, еледовательво, равно нулю. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Другой способ построения той же снмплектнческой структуры на коъшлексном проективном пространстве состоит в следующем.
Рассмотрим малые колебания математического маятника с и + 1-мерныы конфигурационньсч пространством. Воспользуемся интегралом энергии для уменьшения на г числа степеней свободы системы. Фазовое пространство, полученное после этой онерации„есть СР", а снмплектическая структура в нем совпадает с описанной выше формой Я с точностью до множителя Еще один сяособ построения свмвлектячееаой структуры нэ СР" состоят в тоы, что это пространство можно представить кэк одну вэ орбит яопрясоедвяевиого представлевия группы Ли, а ва каждой такой орбите всегда есть стандартная свмелектяческая струатура (си.
добавление 2, пункт Л). В качестве групвы Ли можно веять группу унитарных (сохраняющих эривтову метрику) операторов в я + г-ыервоы комплексном пространстве. Орбиты яоприсоедивеявого вредстаэлевия в этом случае такие же, как и у присоединенного. В присоединенном же предстэвленви ояератор отражения в гвперплосяоств (меияющвй эяэк первой координаты и остэвляяяцяй остальные) имеет своей орбитой СР". Ибо оператор отражения в гипервлоскостя одвоэвэчио определяется ортогональной ей комплексной прямой. В.
Симплектические структуры проективиых алгебраических многообразий. Мы получаем теперь симплектическую структуру на любом комплексном подмногообразии М комплексного проективпого пространства. А именно, пусть у: М-э. СР" — вложение комплексного многообразия М в комплексное проективное пространство. Риманова, зрмнтова и симплектическая структуры на проективном пространстве индуцируют на М соответствующие структуры. Например, симплектическая структура на М задается формулой Т е о р е м а.
Дифференциальная форма Им задает на мнозообразии М еимплектичеекую структуру. Д о к а з а т е л ь с т в о. Невырожденность 2-формы ээы следует иэ того, что М вЂ” комплексное подмногообразие. Действительно, квадратичная форма на ТМ„ (5 1) = им (1 (и положительно определена (она инцуцирована римановой метрикой СР"). Следовательно, билинейная форма ($, т)) = ээы (ээ, (т)) нееырождена. Значит, невырождена и форма Йм. Замкнутость формы Йм следует из замкнутости формы ээ. Теорема доказана.
СИМПЛЕКТИ»тискал СТРУКТУРА 3 а м е ч а н и е. Как в комплексном проективном пространстве, так и на его комплексных подмногообравиях мы определили эрмитову структуру в касательных пространствах, ьпппиая часть которой является симплектической структурой. Комплексное многообразие с зрмитовой метрикой, мнимая часть которой является замкнутой формой (т. е.
Симплектической структурой) называется келероеыха мяогообрпзиеха, а его эрматова метрика — келероеой лаетрикой. В геометрии келеровых многообразий получено много важных результатов, в частности они обладают замечательными топо логическими свойствами (см., например: В е й л ь А. Введение в теорию келеровых многообразий.— М.: ИЛ, (961).
Не все симплектические многообразия допускают келерову структуру. Однако неясно, какие из топологических свойств келеровых многообразий зависят лишь от симплектической структуры. 3 а д а ч а 1. Вычислить симплектическую структуру И в аффинвой нарте ш = а ". за проектнаной прямой СР«. Ответ. И = — "х Л еу где и» = х+ 1у. Козффнциент в опрея ('+ х«+уз)' делении формы И выбран так, чтобы получить обычную ориентацию комплексной прямой (а)хЛйу) и чтобы интеграл формы И по всей проевтввной прямой был равен 3 а д ач а 2.
Докажите, что симплентическая структура И в аффивной нарте ши — †«ив (/» = 1, ...,л) проевтивного пространства СР" = = Иае: а, '- ...: «„В задаеася формулой (ши»)ш» — ш»»)шг) Л (ши»Ей) швеи„) И а ецг<еыз 2 е Х (шзшз) а=о 3 а и е ч а н и е.
Дифференциальные формы на комплексном пространстве с комплексными значениями (например, »)шз и ййз) определяются как комплексные линейные функции от касательных векторов: есле иг = = ха+ 1уг, то з з» Пространство таких форм в С" имеет комплексную размерность 2и; С- базис образуют, например, 2и форм йшг, а)шг (й = 1,..., и), либо 2и форм "ю ФаВнешнее умножение определяется обычным обрааом и подчиняегся обычным правилам.
Например, »)ш Л Еш = (да + гну) Л (»)х — Ыу) = — 2»»(х Л а)у. Пусть / — вещественно-гладкая функция на Св (с комплексными, вообпю говоря, аначениями). пример такой функции: ( и» (« = еиз»ша. Дифференциал функции / является комплексной 1 формоп. Следовательно, его можно разложить по базису»)ит, »)шз. Коэффициенты этого разложения называются частными производнымн «по шзз и «по Ыам а(/ = — »)ш + — а)ш. ди~ Зш 314 ДОБАВЛЕНИЕ « Прв нычвслеввв вненжнх производных тевже удобно разделить днфференцнрованнн д' по переыенвыв и н д' — по нереыенвыы Н, так что д = Например, для функции аУ= ды, д(= дн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
