В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 62
Текст из файла (страница 62)
П р и м е р 2. Рассмотрим плоскопараллельное течение на торе ((х, р), х шос( Х, у шод 2л) с полем скоростей х = (вш у, 0), параллельным оси х. Это поле определяется функцией тока ф = — сов у и имеет ротор г = = — сов у. Профиль скоростей имеет две точки перегиба, однако функция тока выражается через функцию ротора.
Отношение рф/7стф равно минус единице Применяя теорему 13, убеждаемся в устойчивости нашего стационарного течения в случае, когда эл х зл Х ~ ~ (А,р)з,1х,1р ~ ~ ~ (У р)э,1хлу с с се для всех функций Ч~ периода Х по х и 2л по р. Легко сосчитать, что последнее неравенство выполнено при Х < 2п и нарушается при Х) 2а. Таким образом, из теоремы 13 вытекает устойчивость синусондального стационарного течения в случае короткого тора, когда период в направлении основного течения (Х) меньше ширины эютока (2п).
С другой стороны, можно непосредственно проверить, что на длинном торе(при Х ) 2п) наше сннусоидальное течение неустойчиво *). Итак, в рассматриваемом примере достаточное условие устойчивости из теоремы 13 оказалось и необходимым. Следует аамстать, что вообще кэ кезкакоопределеквостк квадратичной формы эз1т ке запекает ыце неустойчивость соотэетстеующего течеккя. Вообще, коложевке равпоеескя гамкльтововой системы может быть устойчивым, несмотря ка то, что функция Гамкльтока э атом положении равновесия ле является вк макскыумом, кк мвввмумом. Квадратичный гамкльтоквак Н = рз + Чтэ — рэ — д~ ~— простейшкй пример такого рода. Л. Римановв кривизна группы диффеоморфизмов. Выражение для кривизны группы Ли, снабженной односторонне иквариантной метрикой, приведенное в пункте Е, имеет смысл и для группы Я0111П диффеоморфизмов римановой области П.
Эта группа является конфигурационным пространством для идеальной жидкости, заполняющей область 1г. Кинетическая энергия жидкости определяет на группе Я01111) правоинвариантную метрику. Число, которое получается при формальном применении к атой бесконеч- э) См., например, статью: М е ш ел к и и Л. Д., С к аз й Я. Г. Исследовакке устойчивости стацкокарвого течеккя одной скстемы уравнений плоского декжеввя весжамаеыой вязкой жкдкостк 0 ПММ.— 19б1.— за б.— С.
1140 — М42. довлвллиии 3 номерной группе формулы для кривизны групп Ли, естественно назвать кривизной группы БРН1 Р. До конца вычисление кривианы группы диффеоморфизмов проведено лишь в случае течений на двумерном торе с евклидовой метрикой е). Такой тор получается из евклидовой плоскости В' отождествлением точек, разность которых принадлежит некоторой решетке Г (дискретной подгруппе плоскости). Примером такой решетки является множество точек с целыми координатами.
Рассмотрим теперь алгебру Ли, образованную векторными полями дивергенции нуль на торе с однозначной функцией тока. СоответствУющаЯ гРУппа ЯеРН(Тт состоит нз оставлЯющих ва месте центр тяжести тора и сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов. Она вложена в группу ЯРН(Тз всех сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов как вполне геодезическое подмногообразие (т. е. такое подмногообразие, что каждая его геодезическая является геодезической в объемлющем многообразии). Доиазатачьстзо заключается з том, что если в начальаый момент поле скоростей идеальной жидкости имеет однозначную функцию тока, то и зо асе моменты времени фуиипия тока однозначна; последнее аьпенает иа вакона сохранения имвульса. Мы исследуем теперь кривизны группы ЯеРН1Тт по всевозможным двумерным направлениям, проходящим через единицу группы (кривизна группы ЯРН(Тз по каждому такому направлению та же самая, так как подмногообразие БсР1НТт вполне геодезическое).
Выберем на плоскости В' ориентацию. Тогда элементы алгебры Ли группы оеРН(Тз можно считать вещественными функциями на торе, имеющими среднее значение нуль (поле дизергенции нуль получается из такой функции, если считать ее функцией тока). Следовательно, двумерное направление в касательной плоскости к группе БеР)НТа определяется парой функций на торе со средним значением нуль. Такую функцию мы будем задавать набором ее коэффициентов Фурье.
Все вычисления с рядами Фурье удобно проводить в комплексной области. Обозначим через еь (где йс — точка нашей евклидовой плосности, называемая волновым вектором) функцию, значение которой в точке х нашей плоскости равно ец" >. Такая функция определяет функцию на торе, если она Г-периодична, т. е. если прибавление вектора из решетки Г к аргументу ю не меняет значения функции. Иными словами, скалярное-произведение (й, ж) должно быть кратно 2л для всех ж В= Г. Все такие векторы й принадлежат не- е) Случаи тора Т" и сферы оз рассмотрены А. М. Луиацним (Фуииц.
анализ.— 1979.— Т. 13, № 3; УМН.— 1981.— Т. 39, И 3). Геодезичкские лзвоинвлгилнтных мвтгнн Зоб которой решетке Гв на плоскости К«. Функции е«, где ге ~:в Г*, образуют полную систему в пространстве комплексных функций на торе. Теперь мы комплексифицируем нашу алгебру Ли, скалярное произведение (,), коммутатор (,) и операцию В в алгебре, а также риманову свяжость и тензор кривизны И, тэк что все эти функции станут (поли) линейными в комплексном линейном пространстве комплекснфицировавной алгебры Ли.
Функции е«(где й ~ Гв, й чь О) образуют в этом линейном пространстве базис. Те о р е м а 14. Явные формулы длл скалярного произведенил, коммутатора, операции В, связности и кривизны правоинвариантной метрики на группе Б«ГИНТ« имеют следующий вид." <е«. ег) = О при гс + 7 чь О, <е«, е «) = усгд; )е«.Ы = (йЛг)г«+~', в' Ф~м где д~ (й/~~) ( + (о г и1(и ° о) 7, е~ = дь ьне«~ и где д„,, = « Ю~ Л«,«,~ О, если й+ й+ тгг+ г«~О; если зсе ге+ 1+ я«+ +и=О, то Я«, ц, „= (а~„ар — а~ а~ ) Б (иЛ ор где а„, = — — -~-. В этих формулах Б — площадь тора, а гг г; в — площадь параллелограмма, натянутого на и и и (при выбранной ориентации плоскости Щ.
Круглые скобки означают евклидова скалярное произведение на плоскости, а угловые — в алгебре Ли. Доказательство этой теоремы имеется в цитированной на стр. 284 статье в Анналах института Фурье. Приведенные формулы позволяют вычислить кривизну по любому двумерному направлению. Вычисления показывают, что по большинству направлений кривизна отрицательна, но по некоторым — положительна. Рассмотрим„в частности, какое-либо течение жидкости, т. е. геодезическую нашей группы. Согласно уравнению Якоби, устойчивость этой геодезической определяется кривизнами по направлениям всевозможных двумерных плоскостей, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках.
Предположим теперь, что рассматриваемое течение стационарное. Тогда геодезическая является однопараметрической подгруппой нашей группы. Отсюда следует, что кривизны во всех плоскостях, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках равны кривизнам в соответствующих плоскостях, проведенных через вектор скорости указанной геодезической в 306 ДОБАВЛЕНИЕ 2 начальный момент времени. (Доказательство — правый сдвиг а единицу группы.) Таким образом, на устойчивость стационарного течения влияют лишь кривизны в направлении тех двумерных плоскостей в алгебре Ли, которые содержат вектор алгебры Ли, являющийся полем скоростей стационарного течения.
Рассмотрим, например, простейшее параллельное синусоидальное стационарное течение. Такое течение задается функцией тока еа+е „ 2 Рассмотрим любой другой вещественный вектор иэ алгебры, ц = =Ххгес (так что х г = хг). Из теоремы 14 легко выводится Т е о р е м а 15. Кривизна группы Я П111Т2 во всех двумерных плоскостях, содержащих направление $, нетшложительна. А именно э Ф ($ т)) $, т)) = — 4 ~~ ая, г ! хг + хыгь 12. ! Иэ этой формулы, в частности, вытекает, что: 1) кривизна равна нулю лишь для тех двумерных плоскостей, которые состоят из параллельных течений того же направления, что и $, так что (э„т)1 = О; 2) кривизна з сечении, определенном функциями тока = сов гсю, ц = соз 1ю, есть К = — з1пгаз2пгР, 4Я .где 8 — площадь тора, сс — угол между й и 1, (1 — угол между Ус+1 и ж — 1; 3) в частности, кривизна группы диффеоморфизмов тора -((х, у) шойй 2н) в направлении, определенном полями скоростей (з(п у, О) и (О, з1п х), равна 2 К= — —.
ааг ' М. Обсуждение. Естественно ожидать, что кривизна группы диффеоморфиэмов связана с устойчивостью геодезических линий на втой группе (т. е. с устойчивостью течений идеальной жидкости) таким я е обрааом, как кривизна конечномерной группы Ли — с устойчивостью геодезических на ней. А именно, отрицательность кривизны вызывает экспоненциальную неустойчивость геодезических. При этом характерный путь (средний путь, на котором в е раз нарастают ошибки в начальных условиях) имеет порядок величины 1/у' — К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
