В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. пололштельно определенной квадратичной формой на алгебре Ли. Точнее, мы будем представлять себе геодезические левоинвариантной метрики на группе 6, заданной квадратичной формой (««, а1) на алгебре, как движения твердого тела с группой 6 и кинетической энергией (о„««)/2. Каждому движению 2 д (2) нашего обобщенного твердого тела мы можем сопоставить следующие четыре кривые: г ю,(2)~я, 2 ю,(2)С:-й, М,(2) <-.= а', г ° М,(Г) Е=»*, называемые движениями векторов угловой скорости и момента в теле и в пространстве.
Дифференциальные уравнения, которым подчиняются эти кривые, найдены Эйлером для обычного твердого тела. Однако они справедливы в самом общем случае произвольной группы 6, и мы будем их называть уравнениями Эйлера для обобщенного твердого тела. 3 а и е ч а н и е. В обычной теории твердого тела отождествлены шесть различных пространств размерности 3: В», В»«, а, й«, Тбю Т«6ю Совпадение размерностей пространства В', в котором движется тело, и алгебры Ли й его группы движений— случайное обстоятельство, связанное с трехмерностью пространства: в п-мерном случае я имеет раэыерность п (и — 1)/2. Отождествление алгебры Ли й с дуальным к ней пространством а* имеет более глубокое основание.
Дело в том, что на группе вращений существует (и единственна с точностью до множителя) двусторонне инвариантная риманова метрика. Эта метрика задает раз и навсегда выделенный изоморфизм линейных пространств я и й«(а также Т62 и Т*6«). Она позволяет, следовательно, считать векторы угловой скорости и момента лежащими в одном евклидовом пространстве. В результате отождествления операция (,) превращается в коммутатор алгебры, вэнтый со знаком минус. Двусторонне нявариантная метрика существует на любой компактной группе Ли, поэтому при изучении движений твердых геодезические левоинвлрилнтных митрии 291 тел с компактными группами можно отождествить пространства угловых скоростей и моментов.
Однако мы не будем делать етого отождествления, имея в виду главным образом приложения к некомпактному (и даже бесконечномерному) случаю групп диффеоморфиамов. Г. Уравнения Эйлера. Результаты Эйлера (полученные им в частном случае С = ЯО(3)) можно сформулировать в виде следующих теорем о движении векторов угловой скорости и момента обобщенных твердых тел с группой С. Т е о р е м а 1.
Вектор, момента относитнельно пространства сохранлетсл при движении." т — = О. М Т е о р е м а 2. Вектор момента относительно тела удовлетворяет уравнению Эйлера о'М вс Доказываются зги теоремы для обобщенного твердого тела так же, как для обычного. 3 а м е ч а н и е 1. Вектор угловой скорости в теле ю, линейно выражается через вектор момента в теле М, с помощью оператора, обратного оператору инерции: ю, = А 'М,. Следовательно, уравнение Эйлера можно считать уравнением для одного лишь вектора момента в теле; его правая часть квадратична относительно М,.
Мы можем выразить зтот результат еще следующим образом. Рассмотрим фазовый поток нашего твердого тела. (Его фазовое пространство ТеС имеет размерность вдвое большую, чем размерность п группы С или пространства моментов йе.) Тогда этот фазовый поток в 2п-мерном многообразии факторизуется над потоком, заданным уравнением Эйлера в и-мерном линейном пространстве йе. Факторизацией фазового потоке е~ на многообразии Х нвд фааовым потовом Уг нв многоебревиь и нееыввстся такое гладкое отображение и многообразия Х нв У, при котором движения д" переходят в движения )г, тви что коммутвтивнв диаграмма вг Х Х с с и) я), т.
е. ив =у'я. у +у В нашем случае Х Теб — фввовое пространство тела, У = бе — пров травство кинетических,' моментов. Проекция и: Т*6 Зе определяется левыми сдвигеми (пм = ь м для м т т свд Далее, в~ есть фазовый поток рассматриваемого тела в 2л-мерном пространстве Теб, в Гг — феэовый поток уравнения Эйлера в я-мерном нрострвнстве моментов Зе. 292 доилвлинив з Иными словами, движение вектора момента относительно тела зависит лишь от начального положения вектора момента относительно тела и не зависит от расположения тела в пространстве. 3 а и е ч а н и е 2.
Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве й* сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли а соответствует линейная функция на пространстве 9* и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на 9", как легко сосчитать, сами будут функциями яа й*. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли а, состоящее из всевозможных функций на ав.
Сама алгебра Ли й вложена в это расширение как алгебра Лн линейных функций на б'". Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только и штук. В качестве и независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на б*, образующих базис в а. Имея в виду бесконечномерные приложения, мы хотели бы избавиться от координат и сформулировать утверждение о первых интегралах инвариантно. Это можно сделать, переформулирован теорему 1 следующим образом.
Т е о р е и а 3. Орбиты коприсоединенного представления группы в дуол ьном и алгебре пространстве являются инвариант ними многообразиями для потока в этом пространстве, заданного уравнением Эйлера. Доказательство. М,(е) получается из М,(г) действием коприсоединенного представления, а М, (~) стоит на месте, ч.т.д. П р и м е р. В случае обычного твердого тела орбиты коприсоединенного представления группы в пространстве моментов— это сферы М, + Мг + Мгг = сопз$.
В этом случае теорема 3 превращается в закон сохранения квадрата момента. Она состоит в том, что если начальная точка М, лежит на какой-либо орбите (т. е. е данном случае на сфере Мз = совз1), то и все точки ее траектории под действием уравнения Эйлера лежат на той же орбите. Вернемся теперь к общему случаю произвольной группы О и вспомним, что орбиты коприсоединенного представления имеют симплектическую структуру (см. пункт А). Далее, кинетическую энергию тела можно выразить через момент относительно тела.
В результате мы получаем квадратичную форму на пространстве моментов — (Мы Л Мг)' Зафиксируем какую-нибудь одну,'орбиту $' коприсоединенного пред- геодезические левоинВАгиантных метгик 293 ставления. Рассмотрим кинетическую энергию как функцию на етой орбите: Н: $' К, Н(М,) = —. (М„А ~М,). Т е о р е и а 4. Уравнение Эйлера на каждой орбите У капри соединенного представлвния является гамильтоновым, с функцией Гамильтона Н. Л о к а з а тел ь от в о.
Всякий вектор $, касательный к р в точке М, имеет внд а =(В М), где (в ф В частности, векторное ноле в правой частя ураввенвя эйлера можно записать в виде х = (от, м) (адесь дифференцнал фупкпин Т в точке М линейного пространства З* рассматрнваотсн как вектор пространства, дуэльного к Зь, т. е.
как элемент алгебры Ли З). Из определений симплектнческой структуры () и операции (, ) (см. пункт А) вытекает, что дяя всякого вектора с, касательного к р а точке М, па, Х) = (М, (У, втй = (Вт, ((, М)) = бИ, Р, что и требовалось доказать. Уравнение Эйлера можно перенести из дуального к алгебре пространства в саму алгебру с помощью обращения оператора инерции. В результате получаетси следующая форвтулировка уравнения Эйлера в терминах операции В (стр. 288). Т е о р е и а 5.
Движение вектора уаеовой скорости в теле определяется начальным положением этого веюпора и не зависит от начального полазссния тела. Вектор угловой скорости в теле удовлетворяет уравнению с квадратичной правой частью оз, =В(в„в,). Это уравнение мы будем называть уравнением Эйлера для угловой скорости. Заметим, что орбиты копрнсоединенного представления под действием оператора А ': йа — й переходят в инварпантные многообразия уравнения Эйлера для угловой скорости: эти многообразия имеют симплектеческую структуру и т. д. Однако, в отличие от орбит в йа, зги инвариантные многообразия не определяются самой группой Ли б, но зависят также и от выбора твердого тела (т.
е. оператора инерции). Иа закона сохранения энергии вытекает Т е о р е м а 6. Уравнения Эйлера (для моментов и угловых скоростей) имеют квадратичный первый интеграл, значение катпорого равно кинетической энвргии Т = — (М„А 'М,) = — (Ав„в,). 1 1 Д. ч'тационареые вращения н их устойчивость. Стационарным врал(гнием твердого тела называется такое вращение, при котором угловая скорость тела постоянна (как в теле, так и в пространстве: легко видеть, что одно влечет другое). Из теории обычного твердого тела в 11з мы знаем, чтО Стацианариыми враЩениями явЛяют- довавленке 2 ся вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
